درود بر جناب مفتاح پور ، يار ارجمند و كم پيدا
بسيار خوشحال شدم كه پس از مدتها ، دوباره در هوپا ديدمتان . جايتان سبز بود.
نوشته تان را خواندم . راه حلتان بسيار زيبا بود و لطف كرديد كه مختصر نوشتيد.
بايد زودتر مي آمدم و بابت زمان و فكري كه روي پرسش صرف كرده ايد ، قدرداني
شايسته اي ميكردم اما اوضاع اينترنت مساعد نبود . تشكر بنده را [با كمي تاخير]
بپذير.
در كنار نوشته شما ، بد نيست كه بنده هم اثبات گام به گام ديگري قرار دهم .
به اين منظور،6 تصوير رسم كرده ام كه به ترتيب شماره توضيح مي دهم . در هر
تصوير ، خصوطي كه مورد بحث نيستند (يا آنهايي در گامهاي قبلي توضيح داده
شده اند) را به رنگ خاكستري درآورده و اضلاع يا زوايايي كه با هم برابر باشند را
نيز با همان نمادهاي متعارفي شان در هندسه نشان داده ام.
. توضيح شكل اول:
ابتدا نقطه دلخواه D بر ضلع BC را به عنوان نقطه اي ثابت در نظر گرفته و دو نقطه G,H را چنان
مي يابيم كه محيط DHG را كمينه سازد. به اين منظور، از نقطه ثابت D به اضلاع AB و AC عمود
و اندازه خود ادامه مي دهيم تا نقاط Eو F بدست آيد . اين دو نقطه را به هم وصل كرده و محل برخود
آنان با اضلاع مثلث را G و H مي ناميم . پس اگر نقطه D ثابت باشد ، مثلث DHG داراي كمترين
محيط خواهد بود.
.
توضيح شكل دوم:
از تشابه مثلثها به سادگي معلوم است كه DG=GE و DH=HF و لذا محيط مثلث DHG برابر با طول
پاره خط FE خواهد بود . پس بايد كاري كرد (با تغيير دادن نقطه D ) تا FE كمينه شود.
.
توضيح گام سوم:
نقطه A را به E و F و D وصل ميكنيم. از متساوي الساقين بودن دو مثلث AFD و ADE ميتوان
دريافت كه اولا AF=AD=AE و ثانيا معلوم ميشود كه زاويه FAE دو برابر زاويه راس مثلث
) زاويه CAB ) و لذا مقداري ثابت دارد (حتي اگر نقطه D را جابجا كنيم)
.
توضيح گام چهارم:
پاره خط FE (كه قرار است كمينه شود) ، در واقع قاعده مثلث متساوي الساقين AFE است. گفتيم
كه زاويه راس اين مثلث نيز همواره مقداري ثابت است . پس قاعده زماني كمينه ميشود كه ساق هاي
آن مثلث (AF و AE ) كمينه شوند . اما طول هردوي آنها با AD برابر است و AD زماني كمينه ميشود
كه عمود بر ضلع BC باشد . پس مكان درست نقطه D بدست آمد (نقطه K ) .
.
توضيح گام پنجم:
حال با نقطه K همان مي كنيم كه در گام نخست با نقطه D كرديم . اين بار نقاط نهايي (M و N ) يافت
ميشوند. پس مثلث KMN داراي كمترين محيط و پاسخ نهايي پرسش خواهد بود .
.
توضيح گام ششم:
از نقطه C به M و از نيز از B به N وصل مي كنيم . به راحتي ميتوان نشان دارد كه اين دو پاره خط
بر اضلاع مثلث عمود هستند و لذا سه نقطه M,N,K در واقع پاي ارتفاع هاي مثلث ABC هستند. براي
نمونه ، در اينجا عمود بودن CM بر AB را تحقيق ميكنيم . گيريم:
زاويه ACM =x
زاويه PKB= زاويه Z= KAB
زاويه QKC = زاويه Y= CAK
دو خط KQ و AB با يكديگر نميتوانند موازي باشند(چرا؟) پس يكديگر را در نقطه اي مانند O
( در خارج از مثلث ABC) قطع مي كنند . و خواهيم داشت : زاويه AOK =x (چراكه اضلاع اين
دو زاويه ، بر هم عمود هستند) . از طرفي داريم : زاويه OKB= y(متقابل به راس) . پس
x+z+y=90 و لذا زاويه CMA قائمه بوده و خط CM ارتفاع مثلث است. به روشي مشابه
ميتوان نشان داد كه BN نيز ارتفاع ديگر مثلث است.
تا اينجا دو راه حل (يا تقريبا سه راه حل) بيان شد . باز هم راه حل هايي هست و ديگر دوستان
علاقه مند نيز ميتواند بخت خود را بيازمايند.
براي آشنايي با پيشينه پرسش:
http://mathworld.wolfram.com/FagnanosProblem.html
http://www.cut-the-knot.org/triangle/Fagnano.shtml
--------------------------------------------------------------------------------------------------
- در اين تاپيك اجمالا به نمونه هايي از مسائل بنام يا گمنامي كه برهان
هندسي داشتند پرداختيم . دوست دارانش ميتوانند بطور مفصل تر روي
هركدام تحقيق كرده و تاپيكي يا مقاله اي را به آن اختصاص دهند) .
مباحث بسياري هستند كه به كمك هندسه اثبات ميشوند يا هندسه،
فهم آنها را ساده تر ميكند اما لااقل تا جايي كه من ميشناسم ، مرجع
مشخصي براي اين حيطه از رياضيات وجود ندارد . بنده هم تنها تعداد
محدودي كه در خاطرم مانده بود را اينجا آوردم . در تاپيك هاي ديگر
نيز جسته و گريخته به برخي از آنها اشارهشده مثل
كمينه شدن مجموع فواصل يك نقطه از سه راس يك مثلث تند
برهان هندسي بزرگتر بودن ميانگين حسابي از ميانگين هندسي
كمينه شدن مجموع فاصله يك نقطه از رئوس يك چهارضلعي محدب
ياقتن بيشترين سطح سايه
كمينه فاصله دو نقطه بر يك مخروط
با اين حال ، عرصه برهان هاي هندسي بسيار فراخ تر از اينهاست . مسائل بسياري را
همچنان دست نخورده گزارديم منجمله
میز ابن حيثم يا
آیینه بيضي شكل يا...
اينگونه پرسشها در گذشته سوژه بسياري از مسابقات انجمن رياضي ايران بوده اند .از
وضعيت فعلي البته خبر ندارم .
-همچنين بايد از دوستان عزيزي چون جناب مفتاح پور و پالسار گرامي قدرداني
كنم که كمك كردند تا اين تاپيك پيش رود و به منبري براي يك متكلم وحده
هم تبديل نشود .
شب رفت و حديث ما به پايان نرسيد
شب را چه گنه ، حديث ما بود دراز
