قانون بنفورد ؟


قانون بنفورد ؟

نوشتهاز سوی کاوه در شنبه 30 خرداد 1388 - 09:23


درود

از آنجایی که مدیران محترم سایت به مطرح کردن بحث های اعتراض داشتند و این انجمن را یک انجمن علمی داستند تصمیم گرفتم یکی از موضوعات داغ را که در این روزها بسیار مورد بحث است به طور علمی مورد بحث قرار دهیم

در پی جستجوها در این مورد به مطلبی جالب دست یافتم که در پایین آورده شده اما من به درستی آن را متوجه نشدم از کسانی که در مورد این قانون اطلاعتی دارند تقاضا می شود که در مومرد آن توضیح دهند

با سپاس



دانشمند فرانسوي: قانون بنفورد تقلب در انتخابات را ثابت مي‌كند


يك دانشمند فيزيك نجومي فرانسوي در مصاحبه‌اي با روزنامه "استاندارد" اتريش اعلام كرد كه به كمك قانون "بنفورد" توانسته است كشف كند كه در انتخابات رياست‌جمهوري ايران تقلب شده است.

مصاحبه "بودوين اف. روكما" دانشمند فيزيك نجومي را، روزنامه استاندارد روز جمعه (۱۹ ژوئن، ۲۹ خرداد) منتشر كرد. اين دانشمند اعلام كرد كه آراي ريخته شده به ۳۶۶ حوزه انتخاباتي ايران را، كه تعداد آن‌ها بين ۱۰ هزار و ۱۰۰ هزار بوده، براساس قانون بنفورد تحليل كرده است. وي گفت: «براساس قانون بنفورد، اگر آراي احمدي‌نژاد درست باشد، بايد ۳۰ درصد آراي تحليل‌شده با عدد يك آغاز مي‌شد، در حالي كه بسياري از آراي احمدي‌نژاد با عدد ۲ شروع شده است». (كد احمدي‌نژاد در انتخابات ۱ بود).



دانشمند فرانسوي بعد از سال‌ها اقامت و كار در هند و استراليا، اكنون در خدمت انستيتو كوپرنيكوس لهستان است. او در مصاحبه خود اعلام كرد، آنچه او را بيشتر به تقلب‌هاي انتخاباتي مطمئن مي‌كند، تحليل شمار آراي مهدي كروبي در انتخابات سال ۲۰۰۵ رياست‌جمهوري ايران است كه نسبت به انتخابات امسال بسيار بالاتر بود. بر اساس آمار، اين آراء اكثرا با عدد ۷ آغاز مي‌شوند.



براساس قانون بنفورد، در فهرست اعدادي كه در بسياري از پديده‌هاي زندگي واقعي رخ مي‌دهند، رقم اول عددها به طور خاص و يكنواختي توزيع مي‌شوند. به موجب اين قانون، تقريبا در يك سوم موارد عدد ۱ رقم نخست است، در حالي كه عددهاي بزرگ‌تر با بسامد كمتري رخ مي‌دهند و عدد ۹ كمتر از يك بار در هر بيست عدد ظاهر مي‌شود.



اين قانون به ظاهر عجيب، در بسياري از داده‌ها برقرار است، مثلا در صورتحساب‌هاي برق، شماره خيابان‌ها، قيمت سهام، مقدار جمعيت، آمار مرگ و مير، طول رودخانه‌ها، ثابت‌هاي فيزيك و رياضيات. قانون بنفورد به نام "فرانك بنفورد" نامگذاري شده است.



سنت كهن ايرانيان در رياضيات



روزنامه استاندارد از بودوين روكما پرسيده است كه چرا به اين فكر افتاده كه انتخابات ايران را بر اساس آمار بررسي كند؟ دانشمند فرانسوي پاسخ داده است: «تحليل آمارهاي رسمي كار من است. در ايران اين بحث وجود دارد كه آيا انتخابات عادلانه بوده يا نه. من اين را مهم مي‌دانم كه ايراني‌ها از طريق كار من آماري داشته باشند كه بتوانند به اتكاي آن علمي فكر كنند. ايرانيان پيشينه كهني در رياضيات دارند و آفريننده واژه "آلگوريتم" خوارزمي است.



محاسبه به كمك اكسل



در پاسخ اين پرسش كه دسترسي به آمارها و تحليل آن، چگونه ظرف يك هفته پس از انجام انتخابات امكان‌پذير بوده است، دانشمند فرانسوي پاسخ داده است: «محاسبه براي من دشوار نبود. مسئله در اساس بيشتر به يك عملكرد پايه‌اي برنامه اكسل مربوط مي‌شود. اما روشن است كه من وقت زيادي صرف انديشيدن كرده‌ام».



خبرنگار استاندارد سپس پرسيده است: «فيزيك نجومي چه رابطه‌اي با انتخابات در ايران دارد؟».



روكما در پاسخ گفته است: «عنوان پژوهش من نشان مي‌دهد كه كار بر اساس قانون بنفورد پيش رفته است. فرانك بنفورد يك فيزيكدان نجومي بود. اساسا مي‌توان گفت كه فيزيك نجومي مي‌تواند به همه چيز علاقمند باشد. ما مي‌توانيم چيزي را تحليل كنيم، پس اين كار را مي‌كنيم».



در پايان اين مصاحبه، دانشمند فرانسوي گفته است: «ايراني‌ها اكنون مي‌توانند ارقامي را كه من ارائه داده‌ام تفسير كنند. اميدوارم كه اين كار را بكنند».
[center]کاربر گرامی در صورت مشاهده پستهای ناقض قوانین آن را توسط کلید ! به مدیریت اطلاع دهید
نماد کاربر
مدير انجمن

مدير انجمن
 
سپـاس : 817 times

ارسـال : 2390


نام: (radical) سابق
سن: 28 سال
شهر: تهران
نام نویسی: 86/3/2

مرد

Re: قانون بنفورد ؟؟؟؟؟؟؟

نوشتهاز سوی خروش در شنبه 30 خرداد 1388 - 10:20

راديكال درود بر شما،
اين درست است و بررسی آن بسيار آسان. از اين شيوه همه حسابرسان بهره می برند.
آنها بجای بررسی تك تك data record (فارسی؟) ، نخست با يك نگاه بر پايه ای
"قانون" بن فورد پی می برند كه آن آمار ساختگی هست يا نه.
و بسياری از كلاه برداری ها شركت ها با اين شيوه آشكار شد. اكنون كمتر آمار سازی
می كنند...

برای من جالب است كه من دو هفته پيش برای يكی از هوپايان عزيز در پيغامی
نوشتم:



خروش نوشته است:
[...]
من چند روزی است با موضوعی به نام "قانون بن فورد"
آشنا شدم و [...] بسيار
جالب است. به ويژه آنكه چگونه Simon Newcomb با ديدن
كتاب سياهه (جدول) لگاريتم به اين قانون پی برد. من تنها كمی
خواندم و لذت بردم، اما زمان فكر كردن بسنده و آماده كردن آن
برای هوپا را ندارم. گذشته از آن خواننده ای هم نخواهد داشت.
جوانها گرفتاری های خودشان را دارند و ...
اما شما اگر زمان بسنده داشتيد و هنوز در اين باره نخوانديد،
به گمانم بد نخواهد بود، دست كم يك ساعتی وقت صرف كنيد.

هميشه تندرست و شاد باشيد.


برای نمونه شما می توانيد يك شمارك (عدد) چار رقمی دلبخواه برگزينيد (مثلا3972)
و آنگاه يكبار شمارك 1 به سوی چپ آن ببنديد، می شود: 13972 و اكنون اين شمارك
را در گوگل جستجو كنيد، من اكنون اين كار را كردم و 1800000 بار اين شمارك پيدا
شد. اينك به جای 1، شمارك 2 را به آن شمارك چار رقمی می چسبانم، می شود: 23972
دوباره در گوگل: 809000 بار و همينجور تا 9 را خود دنبال كنيد، زيبا نيست؟
Simon_Newcomb.jpg
Simon_Newcomb.jpg (29.71 KIB) بازدید 6891 بار

در نگاره پايين، پيداست كه برای يافتن لگاريتم به رويه های نخست كتاب
بيشتر مراجعه شده و اين انگيزه ی پژوهش Simon Newcomb در اين باره بود.

Logbuch.jpg
Logbuch.jpg (18.63 KIB) بازدید 6893 بار

Benford.jpg
Benford.jpg (10.67 KIB) بازدید 6895 بار
گفتم به شیخ شهر كه كارت ریاست، گفت
آنكس كه شیخ هست و ریاكار نیست، كیست
نماد کاربر
 
سپـاس : 2194 times

ارسـال : 3009


نام نویسی: 86/1/23

ذکر نشده

Re: قانون بنفورد ؟؟؟؟؟؟؟

نوشتهاز سوی doost در شنبه 30 خرداد 1388 - 13:40

smile072
درود من هم تو این بحث شرکت میکنم ومثالهایی دارم سعی میکنم تهیه کنم
البته با سلام صلوات
 
سپـاس : 4 times

ارسـال : 235


نام نویسی: 87/8/22

ذکر نشده

Re: قانون بنفورد ؟؟؟؟؟؟؟

نوشتهاز سوی خروش در شنبه 30 خرداد 1388 - 16:30

اگر شما يك صفحه روزنامه را باز كنيد، و شماره های سال و ساعت و ماه را به كنار بگذاريد،
شمار عدد های كه با يك آغاز می شود بيشتر از شمار عدد های است كه با6 ويا 7 و يا 8 و يا 9
آغاز می شود. در هر چيزی چنين است شمار مردمان شهر ها، درازی رودخانه های جهان.

http://fa.wikipedia.org/wiki/%D9%82%D8% ... 8%B1%D8%AF
http://en.wikipedia.org/wiki/Benford%27s_law
http://mathworld.wolfram.com/BenfordsLaw.html
http://www.rexswain.com/benford.html
گفتم به شیخ شهر كه كارت ریاست، گفت
آنكس كه شیخ هست و ریاكار نیست، كیست
نماد کاربر
 
سپـاس : 2194 times

ارسـال : 3009


نام نویسی: 86/1/23

ذکر نشده

Re: قانون بنفورد ؟؟؟؟؟؟؟

نوشتهاز سوی پين در شنبه 30 خرداد 1388 - 17:01

درود خروش عزيز smile072

گويا اين قاعده حتي جزو قواعد پذيرفته شده حسابداري ايران نيز هست.
هرچند فعلا نتوانسته ام راهي قانون مدار (محكمه پسند!) براي پيوند دان
اين قاعده با مساله انتخابات بيابم اما بايد بيشتر كلنجار رفت.


اين مقاله نيز پيرامون همين موضوع است كه هنوز نتوانسته ام آن را تا آخر
مطالعه كنم :

نام: Note on the presidential election in Iran

لينك دريافت:
http://www-personal.umich.edu/~wmebane/ ... un2009.pdf
سرپرست تالار ریاضیات

سرپرست تالار ریاضیات
 
سپـاس : 567 times

ارسـال : 970


شهر: تهران
نام نویسی: 86/10/7

مرد

Re: قانون بنفورد ؟؟؟؟؟؟؟

نوشتهاز سوی خروش در شنبه 30 خرداد 1388 - 17:33

نوشته ای را در اين باره می خواندم كه با پيش گفتار زير آغاز شد:
"شرط بندی"
فرض كنيد كه كسی شرط بندی زير را به شما پيشنهاد كند:
"يه صفحه دلبخواه روزنامه امروز را باز كنيد، نخستين عدد را در آن جستجو كنيد.
شرط می بندم كه، نخستين رقم اين عدد از 4 كوچكتر است. برای آنكه همه چيز راست و
درست پيش رود، اگر آن عدد سال، تاريخ و ساعت و يا شمار تلفن بود به كنار می گذاريم
(چون اينها معمولا با رقم های 1 تا 3 آغاز می شوند )."

آيا شما در اين شرط بندی شركت می كرديد؟
به نظر می رسد، داد و ستدی پر سود باشد، هر چه باشد شش امكان، اينكه عدد
با 4، 5، 6، 7، 8، و يا 9 آغاز شود، بيشتر از آن است كه آن عدد با 1 ، 2 و يا 3 آغاز شود.
سفارش من به شما آن است كه در اين شرط بندی شركت نكنيد، زيرا كه شانس بردن شما 40%
است.

--------------------------
برگردان صفحه نخست نوشته زير:
http://www.redscope.org/files/Benfords%20law.pdf
گفتم به شیخ شهر كه كارت ریاست، گفت
آنكس كه شیخ هست و ریاكار نیست، كیست
نماد کاربر
 
سپـاس : 2194 times

ارسـال : 3009


نام نویسی: 86/1/23

ذکر نشده

Re: قانون بنفورد ؟؟؟؟؟؟؟

نوشتهاز سوی خروش در شنبه 30 خرداد 1388 - 17:50

اگر d رقم "1" تا "9" باشد، آنگاه پُـرگاهی (احتمال ) وابخشی (توزيع) بن فورد برابر است با:
BenfordWahrscheinlichkeitsfunktion.jpg
BenfordWahrscheinlichkeitsfunktion.jpg (2.95 KIB) بازدید 6821 بار


BenfordWahrscheinlichkeitsfunktion2.jpg
BenfordWahrscheinlichkeitsfunktion2.jpg (30.99 KIB) بازدید 6809 بار
گفتم به شیخ شهر كه كارت ریاست، گفت
آنكس كه شیخ هست و ریاكار نیست، كیست
نماد کاربر
 
سپـاس : 2194 times

ارسـال : 3009


نام نویسی: 86/1/23

ذکر نشده

Re: قانون بنفورد ؟؟؟؟؟؟؟

نوشتهاز سوی کاوه در شنبه 30 خرداد 1388 - 23:12

درود
smile072
از خروش عزیز سپاسگذارم smile072
smile072
[center]کاربر گرامی در صورت مشاهده پستهای ناقض قوانین آن را توسط کلید ! به مدیریت اطلاع دهید
نماد کاربر
مدير انجمن

مدير انجمن
 
سپـاس : 817 times

ارسـال : 2390


نام: (radical) سابق
سن: 28 سال
شهر: تهران
نام نویسی: 86/3/2

مرد

Re: قانون بنفورد ؟؟؟؟؟؟؟

نوشتهاز سوی pegah.p در يكشنبه 31 خرداد 1388 - 13:29

خیلی جالب بود...

این قانون دلیلی هم داره؟
نماد کاربر
 
سپـاس : 0 time

ارسـال : 79


نام نویسی: 87/4/28

ذکر نشده

Re: قانون بنفورد ؟؟؟؟؟؟؟

نوشتهاز سوی doost در يكشنبه 31 خرداد 1388 - 15:54

pegah.p نوشته است:این قانون دلیلی هم داره؟

مثلا هوش بهر اکثریت ادما طبق یکی از ازمون ها 100 است یعنی وقتی به طور تصادفی فردی را انتخاب میکنیداحتمال اینکه اون فرد از نظر هوش بهر 100 باشد بیشتره تا اینکه نابغه یا کم توان ذهنی باشد
یعنی انباشت حول میانگین صورت میگیره و نیز تغییرات حول میانگین ناچیزه .
توزیع نرمال وشکل زنگوله رو اشنایی دارین؟
جالبه که احتمال ازقام در رقم یکان یکسان است چرا ؟
چون تغییر دررقم یکان باعث تغییرات در اندازه بزرگی در عدد نمیشود ولی تغییر دررقم سمت راست باعث تغییرات زیاد میشود نمیدونم کمی به موضوع نزدیک شدم یا نه البته به زبان ساده
 
سپـاس : 4 times

ارسـال : 235


نام نویسی: 87/8/22

ذکر نشده

Re: قانون بنفورد ؟؟؟؟؟؟؟

نوشتهاز سوی pegah.p در دوشنبه 1 تير 1388 - 15:21

سلام...

خیلی ممنون.

اگر درست فهمیده باشم منظورتون اینه که مثلا با تغییر یکان یک عدد سه رقمی فقط 1 تا 9 واحد تغییر میکنه ولی اگر صدگانش رو تغییر بدیم بین 100 تا 900 واحد تغییر میکنه.

خوب حالا چه دلیلی داره که مثلا تو یه صفحه روزنامه اعداد 100 تا 200 بیشتر از اعداد 900 تا 1000 بکار بره؟؟!!!

اینکه میگید انباشت حول میانگین صورت میگیره... تو یه صفحه روزنامه میانگین چیه؟
نماد کاربر
 
سپـاس : 0 time

ارسـال : 79


نام نویسی: 87/4/28

ذکر نشده

Re: قانون بنفورد ؟؟؟؟؟؟؟

نوشتهاز سوی خروش در شنبه 6 تير 1388 - 14:07

نوشته ای
در باره همان مقاله ای كه پين گرامی در بالا معرفی كرد:



یکی از بزرگترین متخصصین تحلیل آماری انتخابات جهان: به احتمال بسیار زیاد در ایران تقلب شده

dr_walter01.jpg
dr_walter01.jpg (6.83 KIB) بازدید 6629 بار


picks.kodoom.com : دکتر والتر میبین استاد دانشگاه میشیگان آمریکا که از معروفترین متخصصین تحلیل آماری انتخابات در جهان است دیروز نتایج بررسیهای آماری خود را در مورد انتخابات ریاست جمهوری ایران به صورت یک گزارش آکادمیک 27 صفحه ای بر روی سایتش
http://www-personal.umich.edu/~wmebane/ ... un2009.pdf
گذاشت. وی اطلاعات رسمی منتشر شده توسط وزارت کشور را در سطح استان، بخشداری، شهری و صندوق به صندوق با استفاده از آزمون قانون آماری بنفورد Second-digit Benford’s Law برای تک تک کاندیداها و همچنین در مقایسه با انتخابات 4 سال پیش محک میزند.
دکتر میبین که همزمان استاد دانشکده های آمار و علوم سیاسی دانشگاه میشیگان میباشد (هر دوی این دانشکده ها بالاترین رتبه های جهانی در آن زمینه را دارند)، اذعان میکند که البته این احتمال وجود دارد که احمدی نژاد به صورت معجزه آمیزی خارج از تمامی احتمالات آماری بواسطه تغییرات کلان در استقبال مردم از او، آرا اعلام شده را کسب کرده باشد اما نتیجه قطعی تستهای وی حاکی بر "احتمال بسیار بالای تقلب" در یک سری صندوقها میباشد. خلاصه بعضی یافته های دیگر در گزارش علمی آکادمیک طولانی وی:


* احتمال زیاد دور ریختن یک سری آرا (مخصوصاً کروبی و تا حدی رضایی و موسوی) و در عوض افزودن اضافه آرای احمدی نژاد

* بیشترین احتمال و ریشه تقلب را باید در صندوقهایی جست که آمار باطله آنها بسیار کم (زیر 3 درصد) میباشد. در بین این صندوقها احمدی نژاد بالای 70 درصد رای آورده است (منحنی در شکل) در حالیکه در قسمتهای بعدی آمار وی به 45 درصد میرسد. به عبارت دیگر در حوزه هایی که احمدی نژاد رای کمتر آورده درصد زیادتری از آرا باطل اعلام شده اند که میتوانسته اند متعلق به سایر کاندیداها باشند.

* آمار واقعی احتمالاً نزدیک به 45 درصد موسوی، 45 درصد احمدی نژاد، کروبی 4 درصد، رضایی 3 درصد و مابقی ابطالی بوده است.

دکتر میبین که بسیاری از انتخابات دیگر دنیا را هم بررسی کرده اشاره میکند که ناهنجاری های آماری در سایر انتخابات دنیا هم دیده میشوند مثلاً در چند انتخاب روسیه بررسی های آماری نشاندهنده احتمال تقلب بوده اند. در انتخابات سال پیش آمریکا هم نتیجه رای کاندیداهای گمنام و احزاب کوچک (و نه از 2 حزب جمهوریخواه یا دمکرات) تا حدی ناهنجار به نظر میرسید اما به گفته وی "هیچ چیز انتخابات ایران و منحنی های آن به انتخابات آمریکا شباهت ندارد!" وی اظهار تاسف میکند که تا در محیطی کاملاً آزاد و شفاف آمار و شکایات بررسی نشوند توجیه و یا آزمایش واقعی این مطالعات آماری غیرممکن خواهد بود.

amar_candid_00027_1.jpg
amar_candid_00027_1.jpg (23.74 KIB) بازدید 6627 بار


http://picks.kodoom.com/424328
پیوست ها
note14jun2009.pdf
(169.26 KIB) دانلود 661 باز
گفتم به شیخ شهر كه كارت ریاست، گفت
آنكس كه شیخ هست و ریاكار نیست، كیست
نماد کاربر
 
سپـاس : 2194 times

ارسـال : 3009


نام نویسی: 86/1/23

ذکر نشده

Re: قانون بنفورد ؟؟؟؟؟؟؟

نوشتهاز سوی pulsar در يكشنبه 21 تير 1388 - 21:22

درباره ی اعداد اول چطور؟ این قانون صدق می کند؟
Beauty is truth, truth beauty
That is all ye know on earth
and all ye need to know
نماد کاربر
 
سپـاس : 198 times

ارسـال : 380


شهر: تبریز
نام نویسی: 86/2/20

ذکر نشده

Re: قانون بنفورد ؟؟؟؟؟؟؟

نوشتهاز سوی خروش در شنبه 11 مهر 1388 - 15:33

pulsar نوشته است:درباره ی اعداد اول چطور؟ این قانون صدق می کند؟


در اين باره دو رياضيدان Bartolo Luque و Lucas Lacasa از دانشگاه Politécnica در مادريد
پژوهش های كردند. پژوهش آنان بر روی پيش رقم شماركان (عددهای) نخست بود. [ برای نمونه پيش رقم
شماركان نخست 23 و 271 و 2087 دو (2 ) می باشد] . فراوانی پيش رقم های 1 تا 9 را در انبوهه (مجموعه)
بی پايان ِ شماركان ِ نخست يكسان بوده و برای همه يك نهم است. اما فراوانی آنها در يك انبوهه شماركان ِ
نخست كه از بالا مرزمند است، از قانون بنفورد پی روی می كند.

13% شماركان نخست زير 10000 دارای پيش رقم 1 و 10،3 درسد آنان پيش رقم 9 دارند. با بزرگ شدن مرز
بالا، فراوانی پيش رقم ها به وابخشي (توزيع) يكنواخت نزديك می شوند. برای نمونه اين بررسی ها برای
نخست شماركان تا مرز 100 ميليارد نشان می دهد كه فراوانی پيش رقم 1 به 11،7 درسد و پيش رقم 9،
10،8 درسد است.

بنمايه:
http://www.georgeszpiro.com/index.asp?p ... zahlen.htm
گفتم به شیخ شهر كه كارت ریاست، گفت
آنكس كه شیخ هست و ریاكار نیست، كیست
نماد کاربر
 
سپـاس : 2194 times

ارسـال : 3009


نام نویسی: 86/1/23

ذکر نشده

Re: قانون بنفورد ؟؟؟؟؟؟؟

نوشتهاز سوی pulsar در شنبه 11 مهر 1388 - 19:09

خروش نوشته است:
pulsar نوشته است:درباره ی اعداد اول چطور؟ این قانون صدق می کند؟


در اين باره دو رياضيدان Bartolo Luque و Lucas Lacasa از دانشگاه Politécnica در مادريد
پژوهش های كردند. پژوهش آنان بر روی پيش رقم شماركان (عددهای) نخست بود. [ برای نمونه پيش رقم
شماركان نخست 23 و 271 و 2087 دو (2 ) می باشد] . فراوانی پيش رقم های 1 تا 9 را در انبوهه (مجموعه)
بی پايان ِ شماركان ِ نخست يكسان بوده و برای همه يك نهم است. اما فراوانی آنها در يك انبوهه شماركان ِ
نخست كه از بالا مرزمند است، از قانون بنفورد پی روی می كند.

13% شماركان نخست زير 10000 دارای پيش رقم 1 و 10.3 درسد آنان پيش رقم 9 دارند. با بزرگ شدن مرز
بالا، فراوانی پيش رقم ها به وابخشي(توزيع) يكنواخت نزديك می شوند. برای نمونه اين بررسی ها برای
نخست شماركان تا مرز 100 ميليارد نشان می دهد كه فراوانی پيش رقم 1 به 11.7 درسد و پيش رقم 9،
10.8 درسد است.

بنمايه:
http://www.georgeszpiro.com/index.asp?p ... zahlen.htm


هیچ هدیه ای با ارزش تر از این نیست که به کسی دانش هدیه بدهی!
سپاس گزارم خروش عزیز! smile072

برای کسانی که مثل من سواد آلمانی ندارند:
http://translate.google.com/translate?h ... zahlen.htm
--------------------------------------------------------------------------------------
امیدوارم مسئولان هوپا فکری اساسی برای این اوضاع خمود و خمول هوپا بکنند!
فروم هوپا که باید محل مباحث علمی باشد، شده بیلبورد مشتی اسپمر!!!
کاربران هم اشتیاق چندانی برای فعالیت ندارند!
تعجبی هم ندارد وقتی مدیران اصلی، هوپا را به حال خود رها کرده اند...
Beauty is truth, truth beauty
That is all ye know on earth
and all ye need to know
نماد کاربر
 
سپـاس : 198 times

ارسـال : 380


شهر: تبریز
نام نویسی: 86/2/20

ذکر نشده

بعدی

بازگشت به رياضيات در فيزيك

چه کسی هم اکنون اینجاست ؟

کاربرانی که در این تالار هستند: بدون کاربران عضو شده و 9 مهمان