همونطور که جناب AliHagigat گفت بینهایت ها یکی نیستند و صرف به کار بردن کلمه بینهایت به یک مقدار اشاره نمی کند .
فرض کنید ظرف 1 لیتری دارید . در این صورت 2 و 3 لیتری هر دو نسبت به گنجایشه ظرف نامتناهی هستند ( فقط مثاله برای درک بهتر )
تعداد عضوهای مجموعه R با N برابر نیست هر چند هر دو بینهایته .
اقلیدس موضوع زیر رو بدیهی می دونست :
"هر چیز از هر جز خودش همیشه بزرگتره "
برای مقادیر متناهی درسته اما در بینهایت نه .
با فرض مجموعه ای بودن ( مثله سوال شما که در اینجا مجموعه جواب های معادله مجموعه مورد بحث هستند ) هر مجموعه نامتناهیه اگه با دست کم یکی از زیر مجموعه های خودش هم اندازه باشه .
مثله مجموعه N و مجموعه اعداد فرد .
* برای این کار کافیه تابعی یک به یک از یکی به دیگری تعریف کنید *
با اینکه مجموعه ی N عضوی مانند 2 و 4 و ... داره اما به تعداد مجموعه ی اعداد فرد که زیر مجموعه اش هست عضو داره .
تا مبحث سو تفاهم وسطه به این سو تفاهم هم فکر کنید .
عدد اصلی یک مجموعه تعداد عضوهای یک مجموعه است و عضو N باشد .
عدد اصلی مجموعه N رو K فرض می کنیم ( K متناهی نیست ) و K عضو N است ( خط بالا ) با این فرض که هر عدد رو بشماریم در واقع K بزرگترین عدد N است .( شروع کنید به شمردن اعضای مجموعه ی N ـ 1 و 2 و 3 و 4 و . . . )
از طرفی می دانیم عدد اصلی مجموعه R بزرگتر از K است . ( دو به توان K ~ از طریق مجموعه ی توانی می توانید به این اعداد برسید ) مثلا P اما P عضو N بود پس در واقع P بزرگترین عدد N است نه K ( توجه کنید که P و K نابرابر هستند ) پس تعداد اعضای R هم بیشتر از N خواهد بود .
اما به مساله دقت کنید ، P خود عددی از N بود و لزوما N باید از 1 و 2 و ..... و P تشکیل شده باشد پس به همین تعداد هم عضو خواهد داشت و این به این معناست که مجموعه N و R هم اندازه هستند .
کجا اشتباه رخ داده ؟ و چرا ؟
اینکه بی نهایت ها را بشود مقایسه کرد دلیلش همون مثالی است که دوستمون زد. واقعیت انکار ناپذیر آنستکه به نظر میرسد یک معادله تعداد جوابهای بیشتری از معادلهٔ دیگر دارد. هر چند که هر دو این ها بی شمار جواب دارند. پس راه حل این مشکل چیست؟ آیا نمی توانیم مفاهیم و حساب جدیدی برای رفع این ابهام وضع کنیم؟
به نظر من دید عددی به بینهایت باید بیشر باشه . تعریف شده اما بی مقدار .
فرض کنید بینهایت قسمتی از محور هست که از هر مقدار متناهی از محور دور تر هست به این ترتیب قوانین هر کجای دیگر محور ( متناهی ها ) به بینهایت ها نیز قابل تعمیم است .( ما در مورد بینهایت معمولا ابتدای محور رو می بینیم و بعد از یک مقدار چند تا نقطه می گذاریم چون نهایت ندارد اما حالا فرض کنید این چد نقطه را وسط محور گذاشتیم و سر محور وجود دارد )
بینهایت -1 ، بینهایت قبلی نیست اما مقدار یک عدد برابر فاصله ی آن تا مبدا ( 0 ) است و از آنجا که این قسمت محور از هر عدد به مبدا دورتر بود پس قائدتا قابل بیان با ابزار مورد نظر ( اعداد ) نیستند .