هلمهولتز ( Helmholtz ) می گوید كه با دانستن
گرداب و
چشمه یك
میدان برداری، آن
میدان برداری یگانه (unique ) است (آن میدان و تنها آن را بی برو برگرد می شناسیم) .
در الكترو دینامیك ما با دو میدان سر و كار داریم: میدان كهربایی (الكتریكی) و
میدان آهن ربایی (مغناتیسی) كه ایندو به هم نیز وابسته اند. از اینروست كه ما
چهار همچندی ماكسول داریم. (چار همچندی به فرم دیفرانسیل و چار همچندی
دیگر به فرم انتگرال كه همزاد همچندی های پیشینند). قضیه انتگرال گاوس از چند
و چون چشمه یك میدان برداری سخن می گوید و قضیه استوكس در باره گرداب آن.
بیشتر این دانشمندان دست بالایی در فیزیك داشتند و نخست در هیدرو دینامیك
پی به این قضیه ها بردند. به دید من نباید به این قضیه ها همچون قضیه های
هندسه كه در دبیرستان داشتیم، نگاه كنیم و با سیاه كردن كاغذ در پی اثبات آن براییم.
در بسیاری از كتاب های ریاضی دیدم كه چندین برگ سیاه شده و به درستی هم
اثبات شده، اما در آن افمارش ها (محاسبه ها) همه چیز می بینی جز روشنی و
گویایی سخن.
برای اینكه پیشگفتارم، بیش از این به درازا كشیده نشود، بررسی قضیه گاوس را
درز می گیرم و یكراست به قضیه استوكس می پردازم.
تصور كنید رویه ای (سطحی) داریم و این رویه داری لبه ای هم هست. تصور كنید
برای نمونه كلاه "صمد آقا"، پرویز صیاد را، باری، سطحی داریم همچون كلاه صمد آقا.
بر روی هر نقطه سطح كلاه ما چگالی گرداب ( پیچش = تاو؛ curl=Rotation=Wirbeldichte )
داریم. اگر ما همه این تاو های سطح كلاه را گردآوری كنیم، به زبان دیگر انتگرال بگیریم،
گرداب این سطح را بدست آوردیم. گرداب بدست آمده برابر همان انتگرال بسته ای است كه بر
روی لبه كلاه از حاصلضرب اسكالر بردار میدان در رهپاره (مسیر) لبه كلاه گرفته می شود.
بد نیست كمی قضیه استوكس را در كنار قضیه گاوس بررسی كنیم. در قضیه گاوس
چگالی بار كهربایی، همان دیورژنس میدان را در یك جای سه گسترای (بُعدی، دیمانسیونی)
گردآوری می كنیم، در قضیه استوكس چگالی گرداب، همان تاو میدان را از یك رویه (دو گسترای)
گرد آوری می كنیم. در قضیه گاوس آنچه بدست می آید برابر با شار یا فلوسی است كه از سطح
(پیرامون آن فضا بسته شده) بیرون می ریزد و این یعنی انتگرال سطح آن بردار بر روی
آن سطح (اگر بخواهم باریك بینانه بررسی كنم، باید به بردار نرمال سطح و حاصلضرب اسكالر
آن با بردار میدان و آنگاه انتگرال اشاره كنم ). قضیه گاوس به فارسی یعنی "از كوزه همان برون
تراود كه در اوست". همه این بازی ها در قضیه استوكس یك گسترای (بُعد) پایین تر رخ
می دهد. در اینجا از گردآوری تاو روی سطح (دو گسترای) به گردآوری (انتگرال) رهپاره
(مسیر) می رسیم.
در قضیه گاوس با یك كمیت اسكالر سر و كار داریم، اما در قضیه استوكس با یك كمیت
برداری. دیورژنس یك بردار یعنی دهش و بخشش یك میدان در یك فضای بسیار كوچك (البته
آن اندازه كوچك كه یك ذره بار دار در آن جای گیرد) كه همان چگالی بار است و با
حاصلضرب اسكالر "بردار" نابلا در بردار میدان در آن نقطه بدست می آید. تاو یا چگالی
گرداب یك بردار اما از حاصلضرب برداری "بردار" نابلا در بردار میدان در آن نقطه بدست
می آید، آنچه در اینجا بدست می آید خود بردار است و آنچه در ضرب اسكالر بدست
می آید، اسكالر. واژه بردار را برای اپراتور نابلا در "" گذاشتم، زیرا نابلا بردار به آن مفهوم
كه می شناسیم، كه باید دارای قدر مطلق و راستا باشد و بتوان آن را كشید، نیست.
اما چون در افمارش (محاسبه) و مثلا در ترانسفورماسیون (انتقال)، رفتارش همانند
بردار است، به آن "بردار " نیز می گویند.
نكته دیگر اینكه ضرب یك بردار در یك عدد، خود یك بردار است، بر این پایه از
ضرب "بردار واره" نابلا در تابعی عددی چون تابع پتانسیل در الكترواستاتیك، یك بردار
بدست مي آید كه به آن گرادیان آن تابع می گویند.
كنون می توان گزاره زیر را كه در آنالیز برداری بسیار با ارزش است، فرموله كرد:
میدان گرادیانی گرداب ندارد و میدان گردابی را چشمه ای نیست.
rot grad p = 0
div
rot A = 0
-----------------------
در باره نماد نابلا و اپراتور نابلا نگاه كنید به:
http://en.wikipedia.org/wiki/Del