قضیه گودل

[professor.freak]

کسی میتونه توضیح بده که چیه؟چی میگه؟چرا میگه؟

[BLUE]

این قضایا برای این است که نشان دهد همه ی نظریه هایی که شامل
گزاره های بدیهی اند و حتمن باید دارای اصول سازگار باشند، اغلب غیر ممکن
هستند. یعنی در رد "برنامه ی هیلبرت" استفاده شده اند.

در کل این قضیه در شاخه ای از ریاضیات که ارتباط میان منطق و ریاضی را
بررسی میکند، مطرح شده. یعنی "منطق ریاضی" (symbolic logic) که یک رشته
از ریاضیات است و ارتباط نزدیکی با مبانی ریاضیات، منطق فلسفه و علوم کامپیوتر
دارد. یعنی به ترتیب دارای زمینه هایی از نظریه ی مجموعه ها که بنای ریاضیات جدید
است، نظریه ی مدل (1) و برهان و نظریه ی محاسبه پذیری است.

حال این قضایای گودل بیشتر در "فلسفه ی ریاضی" اهمیت پیدا می کنند. فلسفه ای که
به پرسش های بنیادی در ریاضیات می پردازد. (2)
و شامل 2 قضیه است که توسط kurt godel اثبات شدند.

-قضیه ی 1:
یک نظریه که قادر به بیان اصول حساب است، نمی تواند هم سازگار (دارای تناقض نباشد)
و هم کامل (بیشترین سازگاری را داشته باشد. تناقضی را بیان و اثبات نکند) باشد.

در واقع این یک قضیه است که از چند اصل دیگر استنتاج شده. یعنی یک گزاره نیز هست.
حال این گزاره می تواند به صورت یک اصل در علوم مختلف باشد که ما آن را می پذیریم.
اما این گزاره با این نظریه اثبات نمی شود.
عبارت صحیح است، اما غیر قابل اثبات. که باتوجه به قضیه، اغلب به عنوان "حکم گودل"
شناخته می شود.
و . . .

-قضیه ی 2:
گزاره ها همه می توانند شامل یک "نظریه" باشند. حال اگر این "نظریه" سازگار
نباشد، پس باید شامل گزاره ای در مورد ناسازگار بودن خود باشد.


اینها قضیه های ناتمامیت بود. قضیه ی تمامیت گودل نیز هست که قبل از ناتمامیت،
توسط گودل اثبات شد.
و این نیز یک نظریه ی بنیادی در منطق ریاضیست. که ارتباطی بین حقیقت معنایی
(معنا شناسی) و قواعد قابل اثبات در منطق صوری بوجود می آورد.




---
1) در واقع همان مطالعه ی ساختار های جبر ریاضی است، که ساختارها را از نظر "علم مطالعه ی معنا" (semantics)
در منطق ریاضی بررسی می کند.

2) می توان گفت که هدف فلسفه ی ریاضیات، ارائه اصول بنیادی در ریاضیات و فهم و درک جایگاه ریاضیات در زندگی
است.

[professor.freak]

ممنون ولی هیلبرت چی هست؟

[BLUE]

اتفاقا امروز بهش برخوردم ممنون ازتوضیحتون

---

همه ی نظریه هایی که شامل گزاره های بدیهی اند
و حتمن باید دارای اصول سازگار باشند [...]

این برنامه ی هیلبرت است. (هیلبرت، ریاضیدانی آلمانی است که این برنامه را فرمول بندی کرد).

بفرمایید، در سایت دانشگاه استنفورد، همه چیز توضیح داده شده:

stanford.edu_hilbert program



سپاس

[slice_of_god]

کسی اثبات این قضیه رو دارد؟

[jhvh]

کسی اثبات این قضیه رو دارد؟

اثبات چیه

اومده یه چرتی گفته

بیشتر این کارا واسه اینه که چشم ندارن گلدباخو ببینن تلاش می کنن این طوری حلش کنن
کتاب عمو پتروس هم بر این اساسه