فرمولی برای این اعداد...
فرمولی برای این اعداد...
به نام خداوند جان و خرد
با سلام به اساتید و دوستان محترم و عزیز هوپایی
دوستان گلم ؛ فرضا ما یک عدد بزرگتر از 9 در حالی که عضو اعداد حسابی باشد را در نظر میگیریم و آن را به N نام گذاری میکنیم.(نام آن را N می گذاریم)
اگر N دارای ارقام (ارزش های مکانی ) به نام (a,b,...) باشد و هر کدام از ان ارزش های مکانی را به توان خودشان کنیم و با هم جمع کنیم آیا در حالتی عدد به دست امده برابر با N می شود؟(یا به بیان دیگر N برابر با چه اعدادی است و ایا چنین اعدادی فرمول دارند؟آیا بی نهایت عدد از این نوع وجود دارد؟ و ...)
برای مثال ما عدد 123 را N در نظر میگیریم و ارزش های مکانی ان که(1و2و3)است را به توان خودشان می رسانیم و جواب را با هم جمع میکنیم که برابر با 32 میشود که عدد 32 بدست آمده با 123 برابر نیست و بنابراین این عدد ویژگی گفته شده در بالا را ندارد.
یعنی :
N=123
N=1,2,3 ارقام
(1^1)+(2^2)+(3^3)=1+4+27=32
32 برابر با 123 نمی باشد...
حال آیا چنین اعدادی با چنین مشخصه ای وجود دارند؟ آیا این اعداد فرمولی دارند؟ آیا بی نهایت عدد از این نوع وجود دارد ؟ و...
دوستان اگر توانستند این سوال را جواب بدهند من واقعا ممنون میشوم...
[email protected]
با تشکر
با سلام به اساتید و دوستان محترم و عزیز هوپایی
دوستان گلم ؛ فرضا ما یک عدد بزرگتر از 9 در حالی که عضو اعداد حسابی باشد را در نظر میگیریم و آن را به N نام گذاری میکنیم.(نام آن را N می گذاریم)
اگر N دارای ارقام (ارزش های مکانی ) به نام (a,b,...) باشد و هر کدام از ان ارزش های مکانی را به توان خودشان کنیم و با هم جمع کنیم آیا در حالتی عدد به دست امده برابر با N می شود؟(یا به بیان دیگر N برابر با چه اعدادی است و ایا چنین اعدادی فرمول دارند؟آیا بی نهایت عدد از این نوع وجود دارد؟ و ...)
برای مثال ما عدد 123 را N در نظر میگیریم و ارزش های مکانی ان که(1و2و3)است را به توان خودشان می رسانیم و جواب را با هم جمع میکنیم که برابر با 32 میشود که عدد 32 بدست آمده با 123 برابر نیست و بنابراین این عدد ویژگی گفته شده در بالا را ندارد.
یعنی :
N=123
N=1,2,3 ارقام
(1^1)+(2^2)+(3^3)=1+4+27=32
32 برابر با 123 نمی باشد...
حال آیا چنین اعدادی با چنین مشخصه ای وجود دارند؟ آیا این اعداد فرمولی دارند؟ آیا بی نهایت عدد از این نوع وجود دارد ؟ و...
دوستان اگر توانستند این سوال را جواب بدهند من واقعا ممنون میشوم...
[email protected]
با تشکر
پیامبراکرم (صلی الله علیه وآله) :
انسانها چه زود فراموش میکنند برای مدتی محدود میهمان دنیایند؛
بنا میکنند آنچه را در آن سکونت نمیکنند
جمع میکنند، آنچه را که نمیخورند.
و آرزو میکنند، آنچه را که به آن نمیرسند.
انسانها چه زود فراموش میکنند برای مدتی محدود میهمان دنیایند؛
بنا میکنند آنچه را در آن سکونت نمیکنند
جمع میکنند، آنچه را که نمیخورند.
و آرزو میکنند، آنچه را که به آن نمیرسند.
Re: یک سوال جالب
چنین اعدادی نمیتونن وجود داشته باشند. راهِ حلش یهکم طولانیه و جسارتاً اگه میخواییش بگو تا تایپش کنم. (تنبلیم دیگه، چهکنیم! )
Re: یک سوال جالب
به نام خداوند بخشنده مهربانaalireza نوشته شده:چنین اعدادی نمیتونن وجود داشته باشند. راهِ حلش یهکم طولانیه و جسارتاً اگه میخواییش بگو تا تایپش کنم. (تنبلیم دیگه، چهکنیم! )
با سلام و عرض خسته نباشید و احترام به شما استاد و دوست عزیز و گرامی؛
دوست گلم اگه بتوانید اثباتش کنید(راه حلش را بگویید) من ممنون تر می شوم...
پس منتظر جواب مهم شما هستم...
با تشکر
پیامبراکرم (صلی الله علیه وآله) :
انسانها چه زود فراموش میکنند برای مدتی محدود میهمان دنیایند؛
بنا میکنند آنچه را در آن سکونت نمیکنند
جمع میکنند، آنچه را که نمیخورند.
و آرزو میکنند، آنچه را که به آن نمیرسند.
انسانها چه زود فراموش میکنند برای مدتی محدود میهمان دنیایند؛
بنا میکنند آنچه را در آن سکونت نمیکنند
جمع میکنند، آنچه را که نمیخورند.
و آرزو میکنند، آنچه را که به آن نمیرسند.
Re: یک سوال جالب
بسیار خوب، من واست تو حالتِ کلّی نوشتمش (عکسِ شمارهی یک)، منتهی باز کردنِ اون جملات بهشدّت طولانی میشه و چون احتمال دادم شاید درست نگیریش، واست تو حالتِ دو رقمی هم نوشتمش (عکسِ شمارهی دو).
توی هر دو جا با برهانِ خلف رفتم جلو.
بعدنوشت:
من شرمندهم، سؤالت رو درست نخوندم!!! من این سؤال رو حل کردم که مربع عدد با مجموعِ مربعاتِ ارقامِ اون عدد برابر میشه یا نه! الان رویِ سؤالِ اصلیت که فکر میکنم روندش مثلِ همین هست (با برهانِ خلف میری جلو) ولی دیگه باید دسته بندی کنی چون در حالتِ کلّی میرسی بهیه دیوفانتی با m متغیر و درجهی معادله هم معلوم نیست که تا حالا ندیدم چنین چیزی (ولفرام آلفا تا دو رقمشم نتونست حساب کنه. )
حالا روشِ اینم اگه بتونم مینویسم و آپلود میکنم تا کمی دیگه.
بعد بعدنوشت:
اگه بخوام با همین سبک (دستهبندی و بعد گفتنِ اینکه همه همعلامتند و جمعشون صفر نمیشه) برم واسه اعدادی ۷ رقمِ اوّلشون صفرند درست درمیاد فقط . این که میرسن بهتوانِ خودشون کار رو سخت میکنه، حالا فردا بیشتر روش فکر میکنم ولی احتمال نمیدم بتونم حلّش کنم.
توی هر دو جا با برهانِ خلف رفتم جلو.
بعدنوشت:
من شرمندهم، سؤالت رو درست نخوندم!!! من این سؤال رو حل کردم که مربع عدد با مجموعِ مربعاتِ ارقامِ اون عدد برابر میشه یا نه! الان رویِ سؤالِ اصلیت که فکر میکنم روندش مثلِ همین هست (با برهانِ خلف میری جلو) ولی دیگه باید دسته بندی کنی چون در حالتِ کلّی میرسی بهیه دیوفانتی با m متغیر و درجهی معادله هم معلوم نیست که تا حالا ندیدم چنین چیزی (ولفرام آلفا تا دو رقمشم نتونست حساب کنه. )
حالا روشِ اینم اگه بتونم مینویسم و آپلود میکنم تا کمی دیگه.
بعد بعدنوشت:
اگه بخوام با همین سبک (دستهبندی و بعد گفتنِ اینکه همه همعلامتند و جمعشون صفر نمیشه) برم واسه اعدادی ۷ رقمِ اوّلشون صفرند درست درمیاد فقط . این که میرسن بهتوانِ خودشون کار رو سخت میکنه، حالا فردا بیشتر روش فکر میکنم ولی احتمال نمیدم بتونم حلّش کنم.
شما دسترسی جهت مشاهده فایل پیوست این پست را ندارید.
Re: یک سوال جالب
به نام خداوند بخشنده مهربان
واقعا متشکرم از شما دوست عزیز به خاطر توجه ویژه شما به این بحث؛
دوست عزیز و گلم اگه تواسنسی طبق این سوالی که من دادم جواب را حل کنید من خیلی خیلی ممنون می شوم .
البته تا اینجا هم که شما حل کرده اید من را شرمنده کرده اید.
پس من منتظر جواب طبق سوال گفته شده هستم اگر می شود دوست گلم...
همچنین اساتید و دوستان عزیز و گرامی دیگر...
با تشکر و قدردانی
واقعا متشکرم از شما دوست عزیز به خاطر توجه ویژه شما به این بحث؛
دوست عزیز و گلم اگه تواسنسی طبق این سوالی که من دادم جواب را حل کنید من خیلی خیلی ممنون می شوم .
البته تا اینجا هم که شما حل کرده اید من را شرمنده کرده اید.
پس من منتظر جواب طبق سوال گفته شده هستم اگر می شود دوست گلم...
همچنین اساتید و دوستان عزیز و گرامی دیگر...
با تشکر و قدردانی
پیامبراکرم (صلی الله علیه وآله) :
انسانها چه زود فراموش میکنند برای مدتی محدود میهمان دنیایند؛
بنا میکنند آنچه را در آن سکونت نمیکنند
جمع میکنند، آنچه را که نمیخورند.
و آرزو میکنند، آنچه را که به آن نمیرسند.
انسانها چه زود فراموش میکنند برای مدتی محدود میهمان دنیایند؛
بنا میکنند آنچه را در آن سکونت نمیکنند
جمع میکنند، آنچه را که نمیخورند.
و آرزو میکنند، آنچه را که به آن نمیرسند.
Re: یک سوال جالب
نه متأسفانه، با این سبک رفتن فقط تمامِ عددهایی درست در میاد که هفت رقمِ اوّلشون صفره. چون بهتوانِ خودشون میرسن کار سخته و شرمنده سواد و بهموازاتش فرصتِ کافی واسهی مطالعهیِ ابزارِ لازمِ حلّش رو ندارم.
Re: فرمولی برای این اعداد...
فرض کنید
، در اینصورت می توان نوشت:
همچنین مجموع مورد نظر شما که با (S(N نمایش می دهیم، برابر است با:
نامگذاری
و
تنها برای سادگی ادامه کار است. مسئله شما اینست که آیا N صحیح بزرگتر از 9 وجود دارد که داشته باشیم S(N)=N؟
پاسخ منفی است. برای اثبات، توجه کنید که برای i=0 داریم
. نشان می دهیم برای
داریم
:
ها رقم هستند، پس
. طرفین نامساوی مثبت است، بنابراین میتوان طرفین را به توان i رساند و در نتیجه
. با ضرب طرفین در
بدست می آید
و این یعنی
.
در نتیجه برای N>9، چون n>0 است،
.
در ضمن، ارزش مکانی یک رقم بر اساس ضریب
آن تعیین می شود، بنابراین آنچه که شما نوشتید، در واقع ارزش مکانی+1 است. به همین خاطر در مجموع (S(N، جملات به صورت
در نظر گرفته شد.
، در اینصورت می توان نوشت:
و
تنها برای سادگی ادامه کار است. مسئله شما اینست که آیا N صحیح بزرگتر از 9 وجود دارد که داشته باشیم S(N)=N؟
پاسخ منفی است. برای اثبات، توجه کنید که برای i=0 داریم
. نشان می دهیم برای
داریم
:
ها رقم هستند، پس
. طرفین نامساوی مثبت است، بنابراین میتوان طرفین را به توان i رساند و در نتیجه
. با ضرب طرفین در
بدست می آید
و این یعنی
.
در نتیجه برای N>9، چون n>0 است،
.
در ضمن، ارزش مکانی یک رقم بر اساس ضریب
آن تعیین می شود، بنابراین آنچه که شما نوشتید، در واقع ارزش مکانی+1 است. به همین خاطر در مجموع (S(N، جملات به صورت
در نظر گرفته شد.
Re: فرمولی برای این اعداد...
مسئله اینجاست که مثالی که ایشون زدند مثالِ جالبی نیست، من از لفظِ «رقم» و «ارزشِ مکانی» این رو برداشت میکنم که:
نه چیزی که شما نوشتی؛ یعنی مثلاً ۹۵۶ نمیشه ۹ بهتوانِ ۳ بهاضافهیِ ۵ به توانِ ۲ بهاضافهیِ ۶ بهتوانِ ۱، بلکه ارزشِ مکانی رو باید بهتوانِ خودش کنیم (که همینه که مسئله رو سخت میکنه) و میشه ۹ بهتوانِ ۹ بهاضافهی ۵ به توانِ ۵ بهاضافهیِ ۶ به توانِ ۶.
نه چیزی که شما نوشتی؛ یعنی مثلاً ۹۵۶ نمیشه ۹ بهتوانِ ۳ بهاضافهیِ ۵ به توانِ ۲ بهاضافهیِ ۶ بهتوانِ ۱، بلکه ارزشِ مکانی رو باید بهتوانِ خودش کنیم (که همینه که مسئله رو سخت میکنه) و میشه ۹ بهتوانِ ۹ بهاضافهی ۵ به توانِ ۵ بهاضافهیِ ۶ به توانِ ۶.
Re: فرمولی برای این اعداد...
خب اگر سوال این باشد، ابتدا باید تکلیف ارقام صفر روشن شود. (توجه کنید که 12 را میتوان 012، 0012 و... نیز در نظر گرفت.) در هر صورت، مجموعه این اعداد متناهی خواهد بود: از آنجا که N یک عدد n+1 رقمی است، یک کران پایین برای N عبارت است از
و یک کران بالا برای (S(N برابر است است با
. در نتیجه (با حل نامعادله) برای n>9 داریم (N>S(N. بنابراین N حداکثر 10 رقمی است و از اینجا میتوان با یک جستجوی ساده کامپیوتری، مجموعه این اعداد را پیدا کرد. راه حل تحلیلی هم شاید داشته باشد، نمی دانم.
و یک کران بالا برای (S(N برابر است است با
. در نتیجه (با حل نامعادله) برای n>9 داریم (N>S(N. بنابراین N حداکثر 10 رقمی است و از اینجا میتوان با یک جستجوی ساده کامپیوتری، مجموعه این اعداد را پیدا کرد. راه حل تحلیلی هم شاید داشته باشد، نمی دانم.
Re: فرمولی برای این اعداد...
به نام خداوند بخشنده مهربان
با سلام و عرض خسته نباشید و احترام خدمت تمامی دوستان و عزیزان و اساتید گل و محترم ؛
دوست گلم باید به مطالبم این را اضافه کنم که:
با تشکر
با سلام و عرض خسته نباشید و احترام خدمت تمامی دوستان و عزیزان و اساتید گل و محترم ؛
دوست گلم باید به مطالبم این را اضافه کنم که:
با تشکر
پیامبراکرم (صلی الله علیه وآله) :
انسانها چه زود فراموش میکنند برای مدتی محدود میهمان دنیایند؛
بنا میکنند آنچه را در آن سکونت نمیکنند
جمع میکنند، آنچه را که نمیخورند.
و آرزو میکنند، آنچه را که به آن نمیرسند.
انسانها چه زود فراموش میکنند برای مدتی محدود میهمان دنیایند؛
بنا میکنند آنچه را در آن سکونت نمیکنند
جمع میکنند، آنچه را که نمیخورند.
و آرزو میکنند، آنچه را که به آن نمیرسند.
Re: فرمولی برای این اعداد...
شانسی گذرم افتاد به اینمقاله (http://arxiv.org/abs/0911.3038) و یادِ این تاپیک افتادم! به اینا ظاهراً میگن «اعدادِ مونشهاوزن». در هر مبنایی که بزرگتر مساویِ ۲ باشه فقط تعدادِ متناهی از این مدل اعداد وجود داره در بازهیِ
که تو مبنایِ ده هم فقط همین عدد ۳۴۳۵ وجود داره و ۱ (شرطِ شما رو نگذاشته که عدد بزرگتر از ۹ باشه، ولی قراردادت رو که
باشه رو گرفته)
Re: فرمولی برای این اعداد...
سورس maple ش این میشه:
شما دسترسی جهت مشاهده فایل پیوست این پست را ندارید.