زنون و پارادوکس‌هایش

[chester]

این که ریاضیات در پارادکسه شکی نیست....یه نمونه شو همین جا مینویسم:
ببینید از صفر تا یک بی نهایت عدد وجود دارد با توجه به این یک فضای محدود رو میشه بینهایت بار نصف کرد. پس در نتیجه فاصله ی من تا مانیتور بی نهایته(اصلا امکان پذیر نست)......یا یک نمونه ی دیگه:فرض کنید از این جلوی کامپیوتر میخام برم،روی تخت خوابم دراز بکشم. پس وقتی من از همین نقطه ی ثابت حرکت کردم باید در یک فضای بی نهایت گم بشم!!!!!! و هرگز و هرگز به تخت خوابم نرسم. در نتیجه هیچ حرکت و کاری انجام نمیشود...در حالی که حرکت انجام می شود و ما به نقطه ی مورد نظر میرسیم. وقتی ای مشکل در ریاضیات هست چه معنی داره که درباره ی اشتباه انسان ها در مورد ریاضیات بحث کنیم؟

[aalireza]

این که ریاضیات در پارادکسه شکی نیست....یه نمونه شو همین جا مینویسم:
ببینید از صفر تا یک بی نهایت عدد وجود دارد با توجه به این یک فضای محدود رو میشه بینهایت بار نصف کرد. پس در نتیجه فاصله ی من تا مانیتور بی نهایته(اصلا امکان پذیر نست)......یا یک نمونه ی دیگه:فرض کنید از این جلوی کامپیوتر میخام برم،روی تخت خوابم دراز بکشم. پس وقتی من از همین نقطه ی ثابت حرکت کردم باید در یک فضای بی نهایت گم بشم!!!!!! و هرگز و هرگز به تخت خوابم نرسم. در نتیجه هیچ حرکت و کاری انجام نمیشود...در حالی که حرکت انجام می شود و ما به نقطه ی مورد نظر میرسیم. وقتی ای مشکل در ریاضیات هست چه معنی داره که درباره ی اشتباه انسان ها در مورد ریاضیات بحث کنیم؟

مشکل از درکِ به‌شدّت ابتداییِ شما از ریاضیاته، نه از خودِ ریاضیات.

+ احتمالاً منظورت از چیزایی که تلاوت کردی، پارادوکسِ زنونه. تو همین انجمن بگردی هم بیانِ درستِ این به‌اصطلاح پارادوکس رو پیدا می‌کنی و هم جوابش رو.

[chester]

این که ریاضیات در پارادکسه شکی نیست....یه نمونه شو همین جا مینویسم:
ببینید از صفر تا یک بی نهایت عدد وجود دارد با توجه به این یک فضای محدود رو میشه بینهایت بار نصف کرد. پس در نتیجه فاصله ی من تا مانیتور بی نهایته(اصلا امکان پذیر نست)......یا یک نمونه ی دیگه:فرض کنید از این جلوی کامپیوتر میخام برم،روی تخت خوابم دراز بکشم. پس وقتی من از همین نقطه ی ثابت حرکت کردم باید در یک فضای بی نهایت گم بشم!!!!!! و هرگز و هرگز به تخت خوابم نرسم. در نتیجه هیچ حرکت و کاری انجام نمیشود...در حالی که حرکت انجام می شود و ما به نقطه ی مورد نظر میرسیم. وقتی ای مشکل در ریاضیات هست چه معنی داره که درباره ی اشتباه انسان ها در مورد ریاضیات بحث کنیم؟

مشکل از درکِ به‌شدّت ابتداییِ شما از ریاضیاته، نه از خودِ ریاضیات.

+ احتمالاً منظورت از چیزایی که تلاوت کردی، پارادوکسِ زنونه. تو همین انجمن بگردی هم بیانِ درستِ این به‌اصطلاح پارادوکس رو پیدا می‌کنی و هم جوابش رو.

پارادوکس زنون یه چی دیگه،اینم یه چیزه دیگه....متاسفانه حوصله ی خوب نوشتن رو ندارم(نوشتنم خوب نیس)....اما روی کاغذ هیچ جوابی برای این سوال وجود نداره!!!

[aalireza]

این که ریاضیات در پارادکسه شکی نیست....یه نمونه شو همین جا مینویسم:
ببینید از صفر تا یک بی نهایت عدد وجود دارد با توجه به این یک فضای محدود رو میشه بینهایت بار نصف کرد. پس در نتیجه فاصله ی من تا مانیتور بی نهایته(اصلا امکان پذیر نست)......یا یک نمونه ی دیگه:فرض کنید از این جلوی کامپیوتر میخام برم،روی تخت خوابم دراز بکشم. پس وقتی من از همین نقطه ی ثابت حرکت کردم باید در یک فضای بی نهایت گم بشم!!!!!! و هرگز و هرگز به تخت خوابم نرسم. در نتیجه هیچ حرکت و کاری انجام نمیشود...در حالی که حرکت انجام می شود و ما به نقطه ی مورد نظر میرسیم. وقتی ای مشکل در ریاضیات هست چه معنی داره که درباره ی اشتباه انسان ها در مورد ریاضیات بحث کنیم؟

مشکل از درکِ به‌شدّت ابتداییِ شما از ریاضیاته، نه از خودِ ریاضیات.

+ احتمالاً منظورت از چیزایی که تلاوت کردی، پارادوکسِ زنونه. تو همین انجمن بگردی هم بیانِ درستِ این به‌اصطلاح پارادوکس رو پیدا می‌کنی و هم جوابش رو.

پارادوکس زنون یه چی دیگه،اینم یه چیزه دیگه....متاسفانه حوصله ی خوب نوشتن رو ندارم(نوشتنم خوب نیس)....اما روی کاغذ هیچ جوابی برای این سوال وجود نداره!!!

معلومه که متفاوتند پارادوکسِ زنون با چیزی که نوشتی، چون چیزی که نوشتی بی‌معنیه ولی حداقل پارادوکسِ زنون معنی‌داره. منم گفتم احتمالاً چون به‌شدّت شبیهِ پارادوکسِ زنونه، منظورت هم همونه
روی کاغذ یا رویِ هوا، کلاً، به‌چیزی که نوشتی نمی‌شه پاسخ داد چون متنت -همون‌طور که احتمالاً خودت هم بهش واقفی- بی‌خوده . چون فاصله‌یِ شما تا کامپیوترت رو بی‌نهایت بار می‌شه نصف کرد، یعنی فاصله‌ت تا کامپیوترت بی‌نهایته؟! بی‌نهایت چیه؟ متر؟ سانتی‌متر؟ وجب؟ نقطه؟...
اونی هم که می‌گی در یک فضایِ بی‌نهایت گم می‌شی( ) هم به‌جز پارادوکسِ زنون نمی‌تونم حالتِ دیگه‌ای رو واسه‌یِ منظورت متصور بشم و به‌همون پاسخ‌ها ارجاعت می‌دم.

[Parmenides]

زنون پربیراه نمیگه، اگه فاصله ی بین شما تا 2 متر اونورتر یه فضای ناپیوسته و تشکیل شده از بی نهایت چیز (نقطه) باشه، بالاخره باید دائما از نقطه ای به نقطه ی دیگه بری، ولی این نقطه ها از اونجا که نامتناهی ان، هیچ وقت تموم نمیشن و بنابراین تو نمیتونی (یا نباید بتونی) به دو متر که چه عرض کنم، به یه میکرومتر اونورتر سفر کنی! البته این مشکلی در ریاضیات نیست.

[aalireza]

زنون پربیراه نمیگه، اگه فاصله ی بین شما تا 2 متر اونورتر یه فضای ناپیوسته و تشکیل شده از بی نهایت چیز (نقطه) باشه، بالاخره باید دائما از نقطه ای به نقطه ی دیگه بری، ولی این نقطه ها از اونجا که نامتناهی ان، هیچ وقت تموم نمیشن و بنابراین تو نمیتونی (یا نباید بتونی) به دو متر که چه عرض کنم، به یه میکرومتر اونورتر سفر کنی! البته این مشکلی در ریاضیات نیست.

عزیزِ برادر؛ تا قبل از مفهومِ حد، حرف تو و زنون درست بود. الان هر بابایی که تا سومِ دبیرستان رسیده باشه می‌دونه مجموعِ بی‌نهایتِ عدد همیشه بی‌نهایت نمی‌شه و این مورد یعنی زمانی که هر عدد از عددِ بعدی‌ش کوچیک‌تر باشه، سری هم‌گراست و حدِ مجموع می‌گیرن و حاصلش رو نمی‌نویسند بی‌نهایت!! تو همین هوپا هم فکر کنم خروش، قبلاً یه‌پستی نوشته بود و گفته بود که فاصله‌یِ زمانی هم به‌صفر متمایل می‌شه و بی‌نهایت زمان هم طول نمی‌کشه تا شما بخوایی رد شی.

این پارادوکس مشکلاتِ دیگه‌ای هم داره، مثلاً الان می‌دونیم فضای ما پیوسته نیست و گسسته‌ست و نتیجتاً به‌یه‌جایی می‌رسیم که نمی‌شه نصفش کرد.

... و امّا من خیلی قبل‌تر از این که اصلاً بفهمم حد یعنی چی، این‌طوری به‌خودم گفتم که «نقطه (صفر بعدی)» در جهانِ خارج وجود نداره، نتیجتاً شما می‌تونی حرکت کنی چون پات یه‌نقطه نیست که بی‌نهایت بار بخوایی قدم بزنی.

+ این ورژنی که شما نوشتی از پارادوکسِ زنون، فقط یکی از انواعِ مختلفشه که اسمِ‌ این نوعش هم دیکوتومی هست، بگردی هم اطلاعاتِ بیشتر در این مورد و هم در موردِ مواردِ دیگه پیدا می‌کنی.


پی‌نوشت: این تاپیک به‌تالارِ ریاضی منتقل می‌شه.

[Parmenides]

کشک بافتی برادر.

1. تو اصلا به استدلال من و زنون نپرداختی، فقط مقداری اظهار فضل کردی که گویا بیشتر از سوم دبیرستان سواد داری و مفهوم حد و حد سری و ... رو میدونی. نه این نشد، بگو مشکل چه جوری حل شده، فقط اسم اوردن از مفاهیم و اشخاص کافی نیست.

3. کسی نگفت "مجموع بینهایت عدد بینهایت میشه"، دوباره استدلال رو بخون، معلوم نیست این موضوع که "مجموع بینهایت عدد بینهایت نمیشه" چطور میخواد استدلال زنون رو رد کنه.

2.

این پارادوکس مشکلاتِ دیگه‌ای هم داره، مثلاً الان می‌دونیم فضای ما پیوسته نیست و گسسته‌ست و نتیجتاً به‌یه‌جایی می‌رسیم که نمی‌شه نصفش کرد.

شوخی میکنی،
فرض استدلال زنون ناپیوسته بودن فضاست، حالا تو اومدی میگی فضا پیوسته نیست پس زنون اشتباه میکنه؟ خوب اونم همینو میگه که. مسئله بی نهایت بودن این نقطه هاست، کسی نگفت میشه این نقطه ها رو نصف کرد!

3. این ورژنی که من نوشتم فقط یکیشه، درسته، خاله ی زنون هم خواهر مامانشه! (ابراز این موضوع که من اطلاعاتم زیاده).

4. جواب حمله ی شخصی از طرف من حمله ی شخصیه، پس حمله ی شخصی موقوف!

[aalireza]

کشک بافتی برادر.

1. تو اصلا به استدلال من و زنون نپرداختی، فقط مقداری اظهار فضل کردی که گویا بیشتر از سوم دبیرستان سواد داری و مفهوم حد و حد سری و ... رو میدونی. نه این نشد، بگو مشکل چه جوری حل شده، فقط اسم اوردن از مفاهیم و اشخاص کافی نیست.

3. کسی نگفت "مجموع بینهایت عدد بینهایت میشه"، دوباره استدلال رو بخون، معلوم نیست این موضوع که "مجموع بینهایت عدد بینهایت نمیشه" چطور میخواد استدلال زنون رو رد کنه.

2.

این پارادوکس مشکلاتِ دیگه‌ای هم داره، مثلاً الان می‌دونیم فضای ما پیوسته نیست و گسسته‌ست و نتیجتاً به‌یه‌جایی می‌رسیم که نمی‌شه نصفش کرد.

شوخی میکنی،
فرض استدلال زنون ناپیوسته بودن فضاست، حالا تو اومدی میگی فضا پیوسته نیست پس زنون اشتباه میکنه؟ خوب اونم همینو میگه که. مسئله بی نهایت بودن این نقطه هاست، کسی نگفت میشه این نقطه ها رو نصف کرد!

3. این ورژنی که من نوشتم فقط یکیشه، درسته، خاله ی زنون هم خواهر مامانشه! (ابراز این موضوع که من اطلاعاتم زیاده).

4. جواب حمله ی شخصی از طرف من حمله ی شخصیه، پس حمله ی شخصی موقوف!

۱و۴ (با هم): راستش من تو پستِ قبل حمله‌یِ شخصی نکردم و گفتم پارادوکسِ زنون تا قبل از تا قبل از مفهومِ حد پارادوکس بوده و بعد از مفهومِ حد بهش پاسخ داده شده. این برداشتِ شماست که به‌قدری ظرفیّتت پایینه که تا یه‌نفر کوچیک‌تر از خودت ایرادت رو گرفت، فوری هول می‌کنی (شماره‌گذاری‌هات رو می‌گم!) و مطلب رو کامل نمی‌خونی و پست می‌دی. نیازی هم نمی‌بینم بخوام با حمله‌یِ شخصی و یاوه هم جوابت بدم، خودت قبلاً این‌کار رو واسم کردی!

۳- چرا گفت و اون شخص هم خودتی و من هم تو پستم واست حرفت رو درشت آوردم:

بالاخره باید دائما از نقطه ای به نقطه ی دیگه بری، ولی این نقطه ها از اونجا که نامتناهی ان، هیچ وقت تموم نمیشن و بنابراین تو نمیتونی (یا نباید بتونی) به دو متر که چه عرض کنم، به یه میکرومتر اونورتر سفر کنی!

این «نتوانستن» زمانی صلاحیت داره که طرف ندونه حدِ مجموع چیه. به‌این صورت که می‌تونی موقعیتِ خودت رو تا تا هدفت (فاصله هم یه‌واحد واسه راحتی) به‌این صورت بنویسی:



حالا زنون تو مدل‌های قبلی چون تعدادِ جمع‌ها بی‌نهایت بودند در جا زده، این‌جا ولی بیشتر، چون قدمِ اوّلی رو واستش نمی‌تونسته متصور بشه. تو بیا این‌طور حدِ مجموعش رو بگیر:



qی ما هم می‌شه

. حاصلش این عبارت مگه ۱-۲ مساویِ ۱ نمی‌شه؟!

من الان که گفتی بیشتر رفتم و تو فکر و وقتی که گشتم، افرادی بودند (http://arxiv.org/abs/0804.2934v2) که بدونِ کلکِ شرعی زدن، حالاتِ قوی‌ترِ این‌بابا رو بررسی کردند و قدم‌هایِ اوّل و ایناش رو نشون دادند ظاهراً، البته من که چیزی متوجه نمی‌شم و البته به‌همین راضی‌ام فعلاً.

۲- نه‌برادر، شوخی نمی‌کنم. زنون خواسته نشون بده که حرکت غیر ممکنه، زنون اصلاً در حدی نبوده بخواد در اون زمان فکرِ گسسته‌بودنِ فضا به‌طورِ جدی بزنه به‌سرش. گسسته‌بودنِ فضا مطرح می‌شه تا نشون بده چرا حرکت می‌کنیم.

۳ (و یه‌قسمتی از ۱)- این اسامی مالِ این هستند که شما شاید اگه بخوایی یه‌تکونی به‌خودت بدی، بدونی دنبالِ چی باید بگردی که سریع‌تر به‌جواب برسی نه این‌که بخوام بگم من اطلاعاتم زیاده!!

[Parmenides]

1. عذرخواهیتو نمی پذیرم، لزومی نداشت حرفی از سوم دبیرستان بزنی، مظلوم نمایی نکن.

2.این 1 و 1/2 و... آیا فاصله هایی پیوسته اند یا گسسته؟ فرض استدلال گسسته بودن فضاست، اگر دو فرض ما (من و زنون) یعنی "گسسته بودن فضا" و "بی نهایت بودن نقطه ها" رو درست بگیری، این عددها معنی ندارند، نمیتوان هیچ حرکتی انجام داد و هیچ مقداری را (نه 1 را نه 1/2 را نه ... را) طی کرد. این استدلال با استدلال آخیلس و لاک پشت فرق میکنه: حدس میزنم این برهان رو با برهان آخیلس و لاک پشت قاطی کرده ای (یا اصلا خبر از وجود این برهان نداشتی)، اینکه گیر دادی به 1/2 و نصف کردن، ظن من رو تقویت میکنه.
(راستی باید بگم آفرین که از حد مجموع سری هندسی اطلاع داری، احسنت)

3. با عرض معذرت این حرفت که میگی "زنون اصلاً در حدی نبوده بخواد در اون زمان فکرِ گسسته‌بودنِ فضا به‌طورِ جدی بزنه به‌سرش. گسسته‌بودنِ فضا مطرح می‌شه تا نشون بده چرا حرکت می‌کنیم" ، رسما از کم سوادیت نشات میگیره، زنون علاوه بر اینکه میخواست نشون بده حرکت غیر ممکنه، میخواست این فرض کثرت انگارانه ی فیثاغوریان رو که خط از بینهایت نقطه ی منفصل تشکیل شده رو به تناقض برسونه.

4. چرا باید به خودم "یه تکونی" بدم؟ علم غیب هم که داری انگار، تو از کجا فهمیدی من از برهانای دیگه ی زنون خبر ندارم؟

[aalireza]

1. عذرخواهیتو نمی پذیرم، لزومی نداشت حرفی از سوم دبیرستان بزنی، مظلوم نمایی نکن.

عذرخواهی نبود راستش و فکر می‌کنم یادآوریِ این‌که شما تو سومِ دبیرستان چی خوندی بتونه کمکت کنه تو مسئله، چون ظاهراً یادت نیست.

2.این 1 و 1/2 و... آیا فاصله هایی پیوسته اند یا گسسته؟ فرض استدلال گسسته بودن فضاست، اگر دو فرض ما (من و زنون) یعنی "گسسته بودن فضا" و "بی نهایت بودن نقطه ها" رو درست بگیری، این عددها معنی ندارند، نمیتوان هیچ حرکتی انجام داد و هیچ مقداری را (نه 1 را نه 1/2 را نه ... را) طی کرد. این استدلال با استدلال آخیلس و لاک پشت فرق میکنه: حدس میزنم این برهان رو با برهان آخیلس و لاک پشت قاطی کرده ای (یا اصلا خبر از وجود این برهان نداشتی)، اینکه گیر دادی به 1/2 و نصف کردن، ظن من رو تقویت میکنه.
(راستی باید بگم آفرین که از حد مجموع سری هندسی اطلاع داری، احسنت)

واسه‌یِ من تیکه‌یِ اوّلش که می‌گه ۱ و ۱/۲ و بقیه فاصله‌هایی پیوسته‌ند یا گسسته معنی نداره. بلکه این ۱ و ۱/۲ و بقیه نقطه‌هستند و مکانِ شما در بینِ فاصله‌یِ دو نقطه که گرفتیمش ۱. متوجه هم نمی‌شم تو فضایِ گسسته، چه‌طور نقاط می‌تونن بی‌نهایت بشن و این‌که چرا تو فضایِ گسسته این عددها معنی‌ای ندارند. من طرفِ حسابم زنونه که چیزی تو این مایه‌ها می‌گه:

«اگه بخوایی یه‌متر جابه‌جا بشی، اوّل باید نیم‌متر اوّل رو بری بعد نیم‌مترِ دوم رو بری؛ ولی اگه بخوایی نیم‌مترِ اوّل رو بری باید اوّل ربع‌مترِ اوّل رو بری و بعد ربعِ مترِ دوم که نیم‌متر اوّل طی بشه؛ و اگه بخوایی ربع مترِ اوّل رو بری باید ۱/۸ متر اوّل رو بری و به‌همین ترتیب»

پاسخی که دادم به این سؤاله، که چرا با وجودِ تعدادِ نقاطِ بی‌نهایت می‌تونی حرکت کنی. اگه شما متوجه‌ش نمی‌شی تقصیرِ‌ من نیست خب. راستش هم نه این رو با آشیل یا به‌قولِ تو آخیلیس و لاک‌پشت قاطی نکردم و شما که اطلاع داری باید متوجه بشی پاسخی که آوردم اصلاً ربطی به آشیل که نوعِ اوّلشه، نداره.
+ الان می‌خواستی بگی به‌عنوانِ دانشجویِ مملکت حدِ مجموع بلدی با وجودی که نمی‌تونی در موقعِ لازم ازش استفاده کنی و یه‌دبیرستانی ایرادت رو می‌گیره دیگه، نه؟ احسنت!

3. با عرض معذرت این حرفت که میگی "زنون اصلاً در حدی نبوده بخواد در اون زمان فکرِ گسسته‌بودنِ فضا به‌طورِ جدی بزنه به‌سرش. گسسته‌بودنِ فضا مطرح می‌شه تا نشون بده چرا حرکت می‌کنیم" ، رسما از کم سوادیت نشات میگیره، زنون علاوه بر اینکه میخواست نشون بده حرکت غیر ممکنه، میخواست این فرض کثرت انگارانه ی فیثاغوریان رو که خط از بینهایت نقطه ی منفصل تشکیل شده رو به تناقض برسونه.

ظاهراً درسته، البته وقتِ مطالعه‌یِ دقیقش رو ندارم ولی بدترین حالت رو در نظر می‌گیرم و به‌سوادِ کمِ تاریخیِ خودم اعتراف می‌کنم تو این‌زمینه. البته بحثِ ما تاریخی نیست و با ایراد گرفتن از فرعی‌جاتش، خودش رو نمی‌شه زیرِ سؤال برد.

4. چرا باید به خودم "یه تکونی" بدم؟ علم غیب هم که داری انگار، تو از کجا فهمیدی من از برهانای دیگه ی زنون خبر ندارم؟

اوّلاً که من آوردم «دیکوتومی» که پاسخِ‌ همین رو سریع بتونی متوجه بشی و تو این بحث هم کاری به‌انواعِ دیگه‌شون نداریم و ثانیاً فکر نمی‌کنم هم به‌جز جنبه‌یِ فلسفه‌بافانشون ازشون خبر داشته باشی یا حداقل بتونی از نظر ریاضیاتی بررسی‌شون کنی، چون با تجربه‌ای که از بحثِ صفر به‌توانِ صفرمون داشتم (http://www.hupaa.com/forum/viewtopic.ph ... 6&start=30)، زیاد علاقه‌ای به جنب و جوشِ علمی نداری و یه‌تیکه ور می‌داری و پس از اتمامِ خیال‌پردازی در مغزت، دستت رو می‌گذاری رو گوش‌هات و مثلِ پستِ قبلت به‌طرفِ مقابلت اظهارِ محبّت می‌کنی و به‌موازاتِ اون حرفِ خودت رو مداوم تکرار و تکرار می‌کنی.



پی‌نوشت: اینی که من و تو بزنیم تو سرِ هم فقط توهینِ بیشتر به‌شعورِ خواننده‌هاست، فلذا شما پست بزن و من پست‌هات رو کامل و بادقت می‌خونم، ولی به‌هیچ کدومشون جواب نمی‌دم تا زمانی که شما نشون بدی چرا با حسابان نمی‌شه گفت پارادوکسِ زنون یه‌پارادوکس نیست و این پاسخ رو -که موردِ قبولِ ریاضی‌دانانه و شما عملاً همه‌جا پیداش می‌کنی- با استدلالِ ریاضی رد کنی. این‌طوری نه زیاد به‌شما واسه تحسینِ بنده فشار میاد و نه وقتِ من با خوندنِ مطالبِ تکراری و بعضاً بی‌ربط تلف می‌شه.

[Parmenides]

«اگه بخوایی یه‌متر جابه‌جا بشی، اوّل باید نیم‌متر اوّل رو بری بعد نیم‌مترِ دوم رو بری؛ ولی اگه بخوایی نیم‌مترِ اوّل رو بری باید اوّل ربع‌مترِ اوّل رو بری و بعد ربعِ مترِ دوم که نیم‌متر اوّل طی بشه؛ و اگه بخوایی ربع مترِ اوّل رو بری باید ۱/۸ متر اوّل رو بری و به‌همین ترتیب»

زنون همچین چیزی نگفته، این برهان فرق میکنه. فرض گسسته بودن یه فرض اساسیه نه فقط یه نکته ی تاریخی فرعی. اینکه میگم ریاضیات نقض نمیشه به خاطر همینه، چون ما توی ریاضی فاصله ها رو پیوسته در نظر میگیریم. استدلال کامل اینه:
فاصله ی شما تا 1 متر جلوتر، تشکیل شده از بینهایت نقطه ی (شی ءِ) مجزا، یعنی هر عددی که تصور کنید، تعداد نقاط از آن عدد بیشتر است.
حالا اگه بخوای 1 متر رو طی کنی، اول باید از نقطه ی اول عبور کنی، بعد باید از نقطه ی دوم عبور کنی، بعد باید از نقطه ی سوم عبور کنی، ...، فرض کن به نقطه ی nام رسیدی، اما چون n+1 از n بزرگتره، پس بنا به فرض بینهایت بودن نقاط، نقطه ی n+1امی هم هست که مجبوری از اون عبور کنی، پس هیچ نقطه ای نمیتونه نقطه ی پایان باشه، چون بعد از هر نقطه لزوما نقطه ی دیگری هست.
اینجا جمع زدن یه سری عدد هیچ ربطی به این برهان پیدا نمیکنه، استدلال میگه این نقطه ها یکی یکی باید گذرانده بشن، کاری با طولهای 1/2 و 1/4 و... نداریم، متوجهی؟

[aalireza]

«اگه بخوایی یه‌متر جابه‌جا بشی، اوّل باید نیم‌متر اوّل رو بری بعد نیم‌مترِ دوم رو بری؛ ولی اگه بخوایی نیم‌مترِ اوّل رو بری باید اوّل ربع‌مترِ اوّل رو بری و بعد ربعِ مترِ دوم که نیم‌متر اوّل طی بشه؛ و اگه بخوایی ربع مترِ اوّل رو بری باید ۱/۸ متر اوّل رو بری و به‌همین ترتیب»

زنون همچین چیزی نگفته، این برهان فرق میکنه. فرض گسسته بودن یه فرض اساسیه نه فقط یه نکته ی تاریخی فرعی. اینکه میگم ریاضیات نقض نمیشه به خاطر همینه، چون ما توی ریاضی فاصله ها رو پیوسته در نظر میگیریم. استدلال کامل اینه:
فاصله ی شما تا 1 متر جلوتر، تشکیل شده از بینهایت نقطه ی (شی ءِ) مجزا، یعنی هر عددی که تصور کنید، تعداد نقاط از آن عدد بیشتر است.
حالا اگه بخوای 1 متر رو طی کنی، اول باید از نقطه ی اول عبور کنی، بعد باید از نقطه ی دوم عبور کنی، بعد باید از نقطه ی سوم عبور کنی، ...، فرض کن به نقطه ی nام رسیدی، اما چون n+1 از n بزرگتره، پس بنا به فرض بینهایت بودن نقاط، نقطه ی n+1امی هم هست که مجبوری از اون عبور کنی، پس هیچ نقطه ای نمیتونه نقطه ی پایان باشه، چون بعد از هر نقطه لزوما نقطه ی دیگری هست.
اینجا جمع زدن یه سری عدد هیچ ربطی به این برهان پیدا نمیکنه، استدلال میگه این نقطه ها یکی یکی باید گذرانده بشن، کاری با طولهای 1/2 و 1/4 و... نداریم، متوجهی؟

راستش قبل از این‌که پاسخم رو بدم باید بگم که بنده این دیکوتومی رو تو کتابِ ۱۰۱مسئله‌یِ فلسفیِ مارتین‌کوهن خوندم و قبل از نوشتنم دوباره از ویکی‌پدیا (https://en.wikipedia.org/wiki/Zeno%27s_paradoxes) هم چک کردم:

Suppose Homer wants to catch a stationary bus. Before he can get there, he must get halfway there. Before he can get halfway there, he must get a quarter of the way there. Before traveling a quarter, he must travel one-eighth; before an eighth, one-sixteenth; and so on.

والله رویِ این منابع می‌گم زنون چی گفته و چی نگفته.

چیزی که شما می‌گی هم به‌نوعی به‌زنون مرتبطه (منتهی نوعِ اوّلش که به‌وجودِ نقاطِ بی‌شمارِ خارج از دو نقطه اشاره می‌کنه نه بینِ دو نقطه)، ولی به‌نظرِ من با قرائتِ شما هیچ نتیجه‌ای گرفته نمی‌شه و هیچ عملی صورت نمی‌گیره، به‌دلیلی که در زیر می‌گم:

در اصولِ موضوعه‌یِ هندسه‌یِ اقلیدسی از هیلبرت یه‌اصلی هست به‌نامِ اصلِ بینیّت (فکر کنم!) که می‌گه بینِ هر دو نقطه‌یِ A و C یک نقطه مانند ‌B وجود دارد که فاصله‌اش از A و C به‌یک اندازه‌است و یک‌نقطه مانندِ D وجود دارد به‌طوری که B میان D و A باشد. نتیجتاً شما اگه یه‌سرِ پاره‌خط به‌ایستی و بخوایی بری اون‌ور، هیچ نقطه‌یِ اوّلی نداری که بخوایی روش قدم بگذاری و نقطه‌ی دومی هم حتی نداریم: اینا و بقیه‌یِ چیزایی که بی‌نهایت‌تان و هم‌وزنِ اونان با زندگیِ روزمره‌یِ ما متفاوتند خب.

به‌همین وزن (اون قسمتی که بولد کردم از نوشته‌هات رو) اصلاً نمی‌تونی نقطه‌یِ اوّل رو مشخص کنی که بخوایی بری نقطه‌یِ دوم و بعد بگی همیشه تو راهی. از اون‌جایی که هیچ اطلاعاتی هم در موردِ این نقاط در دسترس نیست، نمی‌دونیم سریِ ما هم‌گرا هست یا نه، پس هیچی نمی‌تونیم بگیم و راه واسه برهانِ «گسسته‌بودنِ فضا» باز می‌شه تا بیاد و قضیه رو حل کنه که شما هم همین‌کار رو به‌خوبی کردی.

امّا چون تو پارادوکس‌هایِ زنون، صرفاً نگفته بی‌نهایت نقطه داری و تمّت، و روابطِ بینِ نقطه‌ها رو گفته و دقیق مشخص کرده، دیگه لازم نیست رویِ نقطه‌یِ اوّل و دوم متمرکز بشیم و می‌تونیم جواب سری رو به‌دست بیاریم.

ضمناً؛ دوباره واسه همون تیکه‌ای که بولد کردم، این استدلالی که کردی واسه همیشه در راه بودن، فرضِ واگرا بودن رو به‌قولِ خودت تو شکمش داره فاصله‌ی ما بی‌نهایت تکه شده، ولی اگه مثلِ زنون مشخص کنی که هر تکه از تکه‌یِ قبلش کوچیک‌تره چی؟
اصلاً زیباییِ این پارادوکسِ زنون اینه که به‌قولِ تو این بی‌نهایت‌تا نقطه یکی یکی گذرانده می‌شن ولی بی‌نهایت تو راه نیستیم و مجموعِ بی‌نهایت‌تا چیز الزاماً بی‌نهایت نمی‌شه.

[Parmenides]

اول بگم که خواننده اگه این پست من رو نخونه مطلبی رو از بحث اصلی از دست نمیده.

عذرخواهی نبود راستش و فکر می‌کنم یادآوریِ این‌که شما تو سومِ دبیرستان چی خوندی بتونه کمکت کنه تو مسئله، چون ظاهراً یادت نیست.

این جمله بهش نمیاد صرفا جهت یادآوری گفته شده باشه:

الان هر بابایی که تا سومِ دبیرستان رسیده باشه می‌دونه...

شکی نیست که این عبارت به قصد تمسخر گفته شده، نویسنده داره به مخاطبش میگه اگه این مطلب رو نمیدونی (و بنا به پست بعدش به درستی این فرض معتقد بوده) یعنی هنوز در حد سوم دبیرستان سواد نداری، من وقتی دیدم از این موضع تهاجمی کوتاه اومدی (توی پست بعدت)، اینو یه عذرخواهی تلقی کردم.

+ الان می‌خواستی بگی به‌عنوانِ دانشجویِ مملکت حدِ مجموع بلدی با وجودی که نمی‌تونی در موقعِ لازم ازش استفاده کنی و یه‌دبیرستانی ایرادت رو می‌گیره دیگه، نه؟ احسنت!

1. برهانی که من گفتم ربطی به حد مجموع سری پیدا نمیکرد که بخوام ازش استفاده کنم.
2. تو هم برهانی رو خوندی، بعد جوابی که با استفاده از حد سری بهش داده شده رو خوندی، بعد برات روشن شد که این پارادوکس جواب داره، نمیخوای که بگی خودت جوابشو مستقل از ریاضیدانان فهمیدی؟ تو حد مجموع رو به کار نبردی، فقط کاربردشو "دیدی".
3. دانشجوی مملکت؟! الان یعنی خواستی به سیستم آموزشی انتقاد کنی؟ قبول داری خیلی جوگیر شدی؟

اوّلاً که من آوردم «دیکوتومی» که پاسخِ‌ همین رو سریع بتونی متوجه بشی و تو این بحث هم کاری به‌انواعِ دیگه‌شون نداریم و ثانیاً فکر نمی‌کنم هم به‌جز جنبه‌یِ فلسفه‌بافانشون ازشون خبر داشته باشی یا حداقل بتونی از نظر ریاضیاتی بررسی‌شون کنی، چون با تجربه‌ای که از بحثِ صفر به‌توانِ صفرمون داشتم (viewtopic.php?f=16&t=22636&start=30)، زیاد علاقه‌ای به جنب و جوشِ علمی نداری و یه‌تیکه ور می‌داری و پس از اتمامِ خیال‌پردازی در مغزت، دستت رو می‌گذاری رو گوش‌هات و مثلِ پستِ قبلت به‌طرفِ مقابلت اظهارِ محبّت می‌کنی و به‌موازاتِ اون حرفِ خودت رو مداوم تکرار و تکرار می‌کنی.

1. جنبه ی فلسفه بافانه ی برهانای زنون با جنبه ی غیر فلسفه بافانشون چه فرقی با هم دارن؟ این تقسیم بندی هیچ معنی ای نداره.
2. این اتهام ها رو (علاقه به جنب و جوش علمی نداری، حرفت رو تکرار میکنی، دستتو میذاری رو گوشتو حرف خودتو میزنی، ...) هر کسی میتونه به خصمش بزنه.اگه حرفی تکرار شده حتما (احتمالا به دلیل اینکه مخاطب حرف من رو مکررا متوجه نمیشده) لازم دونسته شده، میتونی به بحثای دیگه ی من مراجعه کنی تا ببینی جاهای دیگه بحثم رو چه طوری پیش بردم.

پی‌نوشت: اینی که من و تو بزنیم تو سرِ هم فقط توهینِ بیشتر به‌شعورِ خواننده‌هاست، فلذا شما پست بزن و من پست‌هات رو کامل و بادقت می‌خونم، ولی به‌هیچ کدومشون جواب نمی‌دم تا زمانی که شما نشون بدی چرا با حسابان نمی‌شه گفت پارادوکسِ زنون یه‌پارادوکس نیست و این پاسخ رو -که موردِ قبولِ ریاضی‌دانانه و شما عملاً همه‌جا پیداش می‌کنی- با استدلالِ ریاضی رد کنی. این‌طوری نه زیاد به‌شما واسه تحسینِ بنده فشار میاد و نه وقتِ من با خوندنِ مطالبِ تکراری و بعضاً بی‌ربط تلف می‌شه.

اینجا هم سفسطه کردی و پای "همه ی ریاضیدانا" رو کشیدی وسط، منم میتونم برات عباراتی از افراد موجه بیارم که بعضی برهانای زنون تا کنون جواب داده نشدن.
قبوله، تو سر هم زدن بسه.

[Parmenides]

والله رویِ این منابع می‌گم زنون چی گفته و چی نگفته.

به هر حال این برهانی که من میگم با اون یکی که تو نوشتی فرق میکنه، زنون 40 تا برهان داره و منم هر 40 تاشو نخوندم.

در اصولِ موضوعه‌یِ هندسه‌یِ اقلیدسی از هیلبرت یه‌اصلی هست به‌نامِ اصلِ بینیّت (فکر کنم!) که می‌گه بینِ هر دو نقطه‌یِ A و C یک نقطه مانند ‌B وجود دارد که فاصله‌اش از A و C به‌یک اندازه‌است و یک‌نقطه مانندِ D وجود دارد به‌طوری که B میان D و A باشد. نتیجتاً شما اگه یه‌سرِ پاره‌خط به‌ایستی و بخوایی بری اون‌ور، هیچ نقطه‌یِ اوّلی نداری که بخوایی روش قدم بگذاری و نقطه‌ی دومی هم حتی نداریم: اینا و بقیه‌یِ چیزایی که بی‌نهایت‌تان و هم‌وزنِ اونان با زندگیِ روزمره‌یِ ما متفاوتند خب.

من متوجه نشدم چه طور بنا به این اصل نقطه ی اول نداریم، نقاط دو سر پاره خط (همون A و C) مشخص نیستن؟ ما روی A ایستادیم و میخوایم به c برسیم، قدم هم میتونیم بر نداریم میتونیم با اسکیت بریم مثلا! (منظور اینه که بحث فیزیک مسئله رو نمیکنیم). در مورد نقطه ی دوم بنا به این اصل باهات موافقم، ولی زنون مجبور نبود چنین اصلی رو بپذیره!

امّا چون تو پارادوکس‌هایِ زنون، صرفاً نگفته بی‌نهایت نقطه داری و تمّت، و روابطِ بینِ نقطه‌ها رو گفته و دقیق مشخص کرده، دیگه لازم نیست رویِ نقطه‌یِ اوّل و دوم متمرکز بشیم و می‌تونیم جواب سری رو به‌دست بیاریم.

روابط رو دقیق مشخص کرده؟ بیشتر توضیح میدی؟

ضمناً؛ دوباره واسه همون تیکه‌ای که بولد کردم، این استدلالی که کردی واسه همیشه در راه بودن، فرضِ واگرا بودن رو به‌قولِ خودت تو شکمش داره فاصله‌ی ما بی‌نهایت تکه شده، ولی اگه مثلِ زنون مشخص کنی که هر تکه از تکه‌یِ قبلش کوچیک‌تره چی؟

زنون توی این برهان همچین فرضی نکرده، این فرض یعنی یه نقطه از نقطه ی کناریش بزرگتره یا کوچکتره، با "تکه" کاری نداریم، با "نقطه" کار داریم.
در ضمن هر سری ای که جمله های دنباله ی متناظرش دائما در حال کوچکتر شدن باشن همگرا نیست، مواظب باش!

[aalireza]

aalireza نوشته است:والله رویِ این منابع می‌گم زنون چی گفته و چی نگفته.


به هر حال این برهانی که من میگم با اون یکی که تو نوشتی فرق میکنه، زنون 40 تا برهان داره و منم هر 40 تاشو نخوندم.

زنون سه‌تا پارادوکس داره: ۱- آشیل و لاک‌پشت/ ۲- دیکوتومی (دو بخشه‌، یکی‌ش همونی بود که پاسخش رو دادم و دیگری هم دقیقاً شبیه‌ش هست و یه‌باباییه که هر قدمش نصفِ قدمِ‌ بعدشه)/۳- پیکان (که نتیجه می‌گیره تیری که پرتاب می‌شه ثابته نه متحرک)
من از ۳۷ یا ۳۶تایِ دیگه‌شون اطلاع ندارم و فقط راجع به‌همین‌ها می‌تونم صحبت کنم.

aalireza نوشته است:در اصولِ موضوعه‌یِ هندسه‌یِ اقلیدسی از هیلبرت یه‌اصلی هست به‌نامِ اصلِ بینیّت (فکر کنم!) که می‌گه بینِ هر دو نقطه‌یِ A و C یک نقطه مانند ‌B وجود دارد که فاصله‌اش از A و C به‌یک اندازه‌است و یک‌نقطه مانندِ D وجود دارد به‌طوری که B میان D و A باشد. نتیجتاً شما اگه یه‌سرِ پاره‌خط به‌ایستی و بخوایی بری اون‌ور، هیچ نقطه‌یِ اوّلی نداری که بخوایی روش قدم بگذاری و نقطه‌ی دومی هم حتی نداریم: اینا و بقیه‌یِ چیزایی که بی‌نهایت‌تان و هم‌وزنِ اونان با زندگیِ روزمره‌یِ ما متفاوتند خب.


من متوجه نشدم چه طور بنا به این اصل نقطه ی اول نداریم، نقاط دو سر پاره خط (همون A و C) مشخص نیستن؟ ما روی A ایستادیم و میخوایم به c برسیم، قدم هم میتونیم بر نداریم میتونیم با اسکیت بریم مثلا! (منظور اینه که بحث فیزیک مسئله رو نمیکنیم). در مورد نقطه ی دوم بنا به این اصل باهات موافقم، ولی زنون مجبور نبود چنین اصلی رو بپذیره!

ببین تو می‌خوایی دو سرِ پاره‌خط AD رو بری دیگه، خب؟ حالا فرض کن نقطه‌یِ اوّلت C باشه، اون‌وقت حتماً یه‌نقطه مثلِ B وجود داره که نصفِ فاصله‌یِ خودت و نقطه‌یِ اوّله. یعنی به‌این صورت شما نقطه‌یِ اوّلی نخواهی داشت. از اون‌جایی که ما با مسیر هم کار داریم، تو چه بری چه با مترو بری، مسیرت رو فقط عوض کردی و بلاخره باید نقطه‌یِ اوّل دوم و اینا کنی.
- شرمنده رفیق، مگه ما قراره خودمون رو بگذاریم جایِ زنون؟ با دانشِ زمانِ زنون فکر نکنم بشه چیزی گفت خب.
+ تو پستِ قبلی‌م گفتم که این قرائتت که نقطه بعد از نقطه بخوایی بری نتیجه‌ای نمی‌گیری، نقطه‌یِ اوّلِ شما کوچک‌ترین عددِ بزرگ‌تر از صفره یعنی

، هنوز پنجاه سال نیست که می‌تونی با این عددها با دقتِ لازم کار کنی و تا الان هم من آنالیزِ سورئال ندیدم. نمی‌گم نمی‌شه، ولی نیازی نیست نقطه‌یِ اوّل دوم کنی چون راهِ راحت‌تری داری نظر به‌این‌که اطلاعاتِ بیشتری مسئله داده بهت.

aalireza نوشته است::!: امّا چون تو پارادوکس‌هایِ زنون، صرفاً نگفته بی‌نهایت نقطه داری و تمّت، و روابطِ بینِ نقطه‌ها رو گفته و دقیق مشخص کرده، دیگه لازم نیست رویِ نقطه‌یِ اوّل و دوم متمرکز بشیم و می‌تونیم جواب سری رو به‌دست بیاریم.


روابط رو دقیق مشخص کرده؟ بیشتر توضیح میدی؟

والله حقیقتاً و جسارتاً نمی‌دونم چه‌طور باید توضیح داد!! خودِ صورتِ پارادوکس‌ها خب، مثلِ یه‌مسئله‌یِ ریاضی. توی هیچ کدوم از اون سه‌تا ننوشته تویی و هدفت و بی‌نهایت نقطه و تمام. بلکه مثلِ الان یک‌دوم یک‌دوم کرده و الخ.

aalireza نوشته است:ضمناً؛ دوباره واسه همون تیکه‌ای که بولد کردم، این استدلالی که کردی واسه همیشه در راه بودن، فرضِ واگرا بودن رو به‌قولِ خودت تو شکمش داره فاصله‌ی ما بی‌نهایت تکه شده، ولی اگه مثلِ زنون مشخص کنی که هر تکه از تکه‌یِ قبلش کوچیک‌تره چی؟


زنون توی این برهان همچین فرضی نکرده، این فرض یعنی یه نقطه از نقطه ی کناریش بزرگتره یا کوچکتره، با "تکه" کاری نداریم، با "نقطه" کار داریم.
در ضمن هر سری ای که جمله های دنباله ی متناظرش دائما در حال کوچکتر شدن باشن همگرا نیست، مواظب باش!

فضایِ عادی که نقطه نیست و قاعدتاً یه‌نقطه‌یِ بزرگ‌تر و کوچیک‌تر هم ربطی ندارند به‌بحثِ ما. مگه این نقطه‌ها مکانِ ما نیستند رویِ پاره خط؟ مگه ما نمی‌خواییم این فاصله رو بپیماییم؟ با توجه به صورتِ مسئله، اندازه‌هایِ متفاوتِ این فاصله به‌ما داده شده که یعنی «تکه».
+ حواسم هست عزیز. ما فرض کردیم که طولِ منفی نداریم دیگه؟ خب قدر نسبت همیشه بزرگ‌تر از صفره. از طرفی دنباله‌یِ ما نزولیه، پس قدرِ نسبت هم کوچیک‌تر از یکه. شرطِ همگراییِ سریِ هندسی هم اینه که قدرِ مطلقِ قدرِ نسبتش کوچیک‌تر از یک باشه که این‌جا هم برقراره، پس تو چنین وضعیتی همیشه سری همگراست.


---
یادآوری، جهتِ رفعِ ابهام: اگه مسئله‌ای که شما داری روش بحث می‌کنی اینه که فقط ماییم و هدف و بی‌نهایت نقطه‌ی وسط بدونِ هیچ‌گونه اطلاعاتی؛ چه از زنون باشه چه نباشه، بنده اطلاعاتی راجع بهش ندارم و نمی‌تونم صحبت کنم. تمامِ پست‌هایِ من تو این تاپیک مالِ نوعِ دومِ دیکوتومی هست، همین و بس. اگه مسئله‌ی شما این نیست، پس موضوعِ بحثِ ما هم یکسان نیست.


پی‌نوشت: پست‌هایِ مربوط به‌زنون به یه‌تاپیکِ جدید منتقل خواهند شد.