اثبات مساحت دایره


اثبات مساحت دایره

نوشتهاز سوی slice_of_god در دوشنبه 23 مرداد 1391 - 15:06

تا حالا با خودتون فکر کردین که فرمول مساحت دایره از کجا اومده؟!؟یا مثل من بهش فکرکردین و از معلم خود پرسیدین و معلمتان به شما گفته که ریاضی دان با فرمول های پیچیده اونو ثابت کرده!!
ولی ایا راست می گفت؟!خیر او یک دروغگو است.
===========================================================
تصویر

اما این فرمول از کجا آمده؟ بگذارید پیدا کنیم.
کاری که می خواهیم انجام دهیم شکستن دایره به قسمتهای مساوی و بازآرائی آن به شکل مستطیل می باشد که مساحت آن را می دانیم.
عرض × طول = مساحت

مکن است شما باور نکنید که می شود قطعات یک دایره را به مستطیل تبدیل کرد.
خوب، فقط نگاه کنید ... آسان است.
با دایره ای که می خواهیم بشکنیم شروع می کنیم
تصویر
حالا دایره را به چهار قسمت مساوی تقسیم می کنیم.
تصویر
حالا آنها را طوری کنار هم می گذاریم تا یک مستطیل ایجاد شود
تصویر

دقیقاً یک مستطیل نیست، هست؟
اما کار ما هنوز تمام نشده، بگذارید دایره را به هشت قسمت مساوی تقسیم کنیم.
تصویر
آنها را به شکل مستطیل مرتب می کنیم.

تصویر

مطمئناً شروع کرده که شبیه یک مستطیل بشود، اما هنوز تا آنجا فاصله داریم.
قدم بعدی این است که به عقب برگردیم و دایره را به شانزده قسمت مساوی تقسیم کنیم.
قطعات اینجا هستند.
تصویر
این دفعه وقتی آنها را کنار هم قرار می دهیم. خیلی بیشتر مثل مستطیل به نظر می رسند، ببینید
تصویر
هدف ایجاد شکلی است که تا حد ممکن به مستطیل نزدیک باشد.
تا بتوانیم مساحت آن را با استفاده از فرمول مستطیل محاسبه کنیم.
عرض × طول = مساحت
اما این شکل اضلاع صاف ندارد، بنابراین فرمول حیلی دقیق نمی باشد.
بگذارید یک قدم جلوتر برویم و دایره راه به گروهی خرده های کوچک تقسیم کنیم. وقتی تمام قطعات را کنار هم قرار می دهیم، شکل مانند زیر به نظر می رسد.
تصویر
این خیلی شبیه یک مستطیل کامل است. اما می توانید ببینید که بالا و پائین هنوز کاملاً صاف نیستند. آنها کمی دست انداز دارند.
می توانید تصور کنید که اگر باز هم به کارمان ادامه بدهیم چه اتفاقی خواهد افتاد؟ اگر به شکستن دایره به قطعات کوچکتر و کوچکتر ادامه دهیم؟
دست آخر، دست اندازها آنقدر کوچک می شوند که نمی توانیم آنها را ببینیم، و بالا و پائین شکل کاملاً مستقیم به نظر خواهند رسید. این چیزی است که خواهیم دید.
تصویر

یک مستطیل کامل. حالا تمام کاری که باید انجام دهیم پیدا کردن مساحت مستطیل با استفاده از فرمول عرض × طول = مساحت می باشد.
تصویر

سوال بعدی این است که، طول و عرض مستطیلی که از قطعات دایره ایجاد شده چه اندازه ای دارند؟
اجازه بدهید به عقب برگردیم، تا شما قطعات دایره را واضحتر ببینید.

تصویر
طول بیرونی دایره اصلی، مسافت پیرامون دایره، یا محیط دایره می باشد.

تصویر

نصف این مسافت پیرامون، در بالای مستطیل و نصف دیگر آن در پایین قرار می گیرد.
تصویر
به عبارت دیگر، تمام تکه های آبی و قرمز برابر محیط دایره می باشند.
کناره های مستطیل درست شعاع هر قطعه یا شعاع دایره می باشند.

حالا می توانیم مساحت شکل را با فرمول مستطیل محاسبه کنیم
تصویر
و در اینجا ما فرمول مساحت دایره ای را که با آن شروع کردیم، داریم.
کسی که سکوت می کند
بازی را مسخره کرده
ما که حرف می زنیم
باخته ایم .
نماد کاربر
 
سپـاس : 1531

ارسـال : 1166


نام نویسی: 90/12/12

ذکر نشده

Re: اثبات مساحت دایره

نوشتهاز سوی brando در دوشنبه 23 مرداد 1391 - 15:53

جالب بود . مرسی smile072 smile072
نماد کاربر
 
سپـاس : 114

ارسـال : 176


سن: 21 سال
نام نویسی: 91/4/24

مرد

Re: اثبات مساحت دایره

نوشتهاز سوی Amir75 در دوشنبه 23 مرداد 1391 - 17:02

مرسی خوب بود smile072
درواقع اومدی انتگرال گیری توضیح دادی! smile018
امیدواری به خداوند، ارزشمندترین چیزها و نردبان عزت است. "امام جواد(ع)"


سرگشته بودن در وادی امید، بهتر از بدبینی است. "ویل دورانت"
نماد کاربر
 
سپـاس : 205

ارسـال : 298


نام نویسی: 91/4/6

زن

Re: اثبات مساحت دایره

نوشتهاز سوی m77m در سه شنبه 24 مرداد 1391 - 01:12

این درس دوم راهنمایی هستش هنزو یادمه.فکر کنم یه سوال هم اومده بود تو ورودی
دلا خو کن به تنهایی که از تنها بلا خیزد سعادت آن کسی دارد که از تنها بپرهیزد
درد عشقی کشیده‌ام که مپرس زهر هجری کشیده‌ام که مپرس
نماد کاربر
 
سپـاس : 226

ارسـال : 712


سن: 22 سال
نام نویسی: 90/11/23

مرد

Re: اثبات مساحت دایره

نوشتهاز سوی slice_of_god در سه شنبه 24 مرداد 1391 - 01:33

m77m نوشته است:این درس دوم راهنمایی هستش هنزو یادمه.فکر کنم یه سوال هم اومده بود تو ورودی

تو زمان ما نبود فک کنم
کسی که سکوت می کند
بازی را مسخره کرده
ما که حرف می زنیم
باخته ایم .
نماد کاربر
 
سپـاس : 1531

ارسـال : 1166


نام نویسی: 90/12/12

ذکر نشده

Re: اثبات مساحت دایره

نوشتهاز سوی امواج در سه شنبه 24 مرداد 1391 - 20:48

هر چقدر هم که اینها را ریز کنید باز دست اندازها را نمی توان کاملا صاف کرد و مستطیل شکل تقریبی دایره خواهد بود.
قدم نخست اثبات این موضوع است که محیط دایره دوپی برابر شعاع است.چگونه می توان به این موضوع پی برد؟
چگونه ما به عدد تقریبی pi دست یابیم؟
راه حلش مشاهده و اندازه گیری شعاع و محیط دایره های مختلف برای پی بردن به این عدد ثابت است؟
 
سپـاس : 37

ارسـال : 41


شهر: تهران
نام نویسی: 91/5/24

ذکر نشده

Re: اثبات مساحت دایره

نوشتهاز سوی m77m در چهارشنبه 25 مرداد 1391 - 11:45

عدد پی هیچ وقت ثابت نبوده بلکه همیشه تقریبی است.عدد پی 3.14 نیست بلکه نزدیک به این عدد است دانشمندان اعداد مختلف درباره این عدد مطرح کرده اند که هیچ کدام درست نبوده بلکه تقریبی بوده است.دلیلش اینکه دایره هیچ وقت به اون مقدار ریز نمیشه که مستطیل به وجود بیاد. برای همین پی تقریبی هستش.
دلا خو کن به تنهایی که از تنها بلا خیزد سعادت آن کسی دارد که از تنها بپرهیزد
درد عشقی کشیده‌ام که مپرس زهر هجری کشیده‌ام که مپرس
نماد کاربر
 
سپـاس : 226

ارسـال : 712


سن: 22 سال
نام نویسی: 90/11/23

مرد

Re: اثبات مساحت دایره

نوشتهاز سوی امواج در چهارشنبه 25 مرداد 1391 - 13:41

تقریبی بودن تضادی با ثابت بودن ندارد.ثابت(constant) در برابر متغیر(variable) استفاده می شود.به هرحال پی یک عدد است و اعداد ثابت هستند.
 
سپـاس : 37

ارسـال : 41


شهر: تهران
نام نویسی: 91/5/24

ذکر نشده

Re: اثبات مساحت دایره

نوشتهاز سوی m77m در چهارشنبه 25 مرداد 1391 - 14:19

بله من هم نگفتم تضادی دارد.عدد پی ثابتی هست که ما هنوز بدست نیاوردیمش.عدد پی رو ما تقریبی تو دست داریم نه عدد پی تقریبیست. اگه آزمون ها رو با دقت بخونی نوشته مساحت دایره گنگ است یعنی عدد پی در دسترس نیست و ما اونو تقریبی در دست داریم.
دلا خو کن به تنهایی که از تنها بلا خیزد سعادت آن کسی دارد که از تنها بپرهیزد
درد عشقی کشیده‌ام که مپرس زهر هجری کشیده‌ام که مپرس
نماد کاربر
 
سپـاس : 226

ارسـال : 712


سن: 22 سال
نام نویسی: 90/11/23

مرد

Re: اثبات مساحت دایره

نوشتهاز سوی امواج در چهارشنبه 25 مرداد 1391 - 19:58

m77m نوشته است:بله من هم نگفتم تضادی دارد.عدد پی ثابتی هست که ما هنوز بدست نیاوردیمش.عدد پی رو ما تقریبی تو دست داریم نه عدد پی تقریبیست. اگه آزمون ها رو با دقت بخونی نوشته مساحت دایره گنگ است یعنی عدد پی در دسترس نیست و ما اونو تقریبی در دست داریم.


دوست عزیز،بدیهیات را می فرمایید؟هرکسی که ذره ای سواد ریاضیاتی داشته باشد می داند که مقدار دقیق عدد پی مشخص نیست.

شما گفتید عدد پی هیچگاه ثابت نبوده و تقریبی است من هم توضیح دادم که معنای عدد ثابت در ریاضیات چیست.
کاملا متوجه منظور شما هستم اما شما خیلی ساده و دقیق می توانید بگویید عدد پی یک عدد گنگ است که اعشارش هیچگاه پایان نمی پذیرد و تکرار نمی شود.
بحث سر کاربرد درست و دقیق اصطلاحات ریاضی است.

از این گذشته به چه دلیل شما به بیان این موضوع پرداختید که عدد پی فلان و بهمان است؟
می خواهم بدانم آیا پست قبلی شما جواب پست من بود؟اگر بله ارتباطش با پست من چی بود؟
 
سپـاس : 37

ارسـال : 41


شهر: تهران
نام نویسی: 91/5/24

ذکر نشده

Re: اثبات مساحت دایره

نوشتهاز سوی maaaaahsa در شنبه 18 آبان 1392 - 16:45

واقعا ممنونم smile124 به این اثبات احتیاج فووووری داشتم smile043 smile043 smile043 smile043 smile043 smile043 smile043
 
سپـاس : 0

ارسـال : 2


نام نویسی: 92/8/18

ذکر نشده

Re: اثبات مساحت دایره

نوشتهاز سوی غلامعلی نوری در شنبه 18 آبان 1392 - 17:17

آیا می توان گستره ی گوی ( مساحت کره) را به روشی همسان این پایور کرد ؟
نماد کاربر
 
سپـاس : 1078

ارسـال : 1035


سن: 51 سال
نام نویسی: 91/4/20

مرد

Re: اثبات مساحت دایره

نوشتهاز سوی ehsan.helli1 در شنبه 18 آبان 1392 - 17:22

بله میشه مساحت کره رو با اصل کاوالیری به دست اورد.اگر خیلی براتون مهمه اسکن کنم بزارم
نماد کاربر
 
سپـاس : 646

ارسـال : 1688


نام: احسان
سن: 22 سال
شهر: تهران
نام نویسی: 90/10/30

مرد

Re: اثبات مساحت دایره

نوشتهاز سوی maaaaahsa در شنبه 18 آبان 1392 - 17:31

ببخشید اقا احسان اگه میشه بذارین منم باید جواب این سوالو بدونم smile072
 
سپـاس : 0

ارسـال : 2


نام نویسی: 92/8/18

ذکر نشده

Re: اثبات مساحت دایره

نوشتهاز سوی غلامعلی نوری در شنبه 18 آبان 1392 - 18:53

ehsan.helli1 نوشته است:بله میشه مساحت کره رو با اصل کاوالیری به دست اورد.اگر خیلی براتون مهمه اسکن کنم بزارم


تو نیکی می کن و در اسکن انداز smile072 که ایزد در خیابانت دهد باز smile072
نماد کاربر
 
سپـاس : 1078

ارسـال : 1035


سن: 51 سال
نام نویسی: 91/4/20

مرد

بعدی

بازگشت به رياضيات در فيزيك

چه کسی هم اکنون اینجاست ؟

کاربرانی که در این تالار هستند: بدون کاربران عضو شده و 3 مهمان