صفحه 1 از 2

اثبات مساحت دایره

نوشتهنوشته شده در: دوشنبه 23 مرداد 1391 - 15:06
از سوی slice_of_god
تا حالا با خودتون فکر کردین که فرمول مساحت دایره از کجا اومده؟!؟یا مثل من بهش فکرکردین و از معلم خود پرسیدین و معلمتان به شما گفته که ریاضی دان با فرمول های پیچیده اونو ثابت کرده!!
ولی ایا راست می گفت؟!خیر او یک دروغگو است.
===========================================================
تصویر

اما این فرمول از کجا آمده؟ بگذارید پیدا کنیم.
کاری که می خواهیم انجام دهیم شکستن دایره به قسمتهای مساوی و بازآرائی آن به شکل مستطیل می باشد که مساحت آن را می دانیم.
عرض × طول = مساحت

مکن است شما باور نکنید که می شود قطعات یک دایره را به مستطیل تبدیل کرد.
خوب، فقط نگاه کنید ... آسان است.
با دایره ای که می خواهیم بشکنیم شروع می کنیم
تصویر
حالا دایره را به چهار قسمت مساوی تقسیم می کنیم.
تصویر
حالا آنها را طوری کنار هم می گذاریم تا یک مستطیل ایجاد شود
تصویر

دقیقاً یک مستطیل نیست، هست؟
اما کار ما هنوز تمام نشده، بگذارید دایره را به هشت قسمت مساوی تقسیم کنیم.
تصویر
آنها را به شکل مستطیل مرتب می کنیم.

تصویر

مطمئناً شروع کرده که شبیه یک مستطیل بشود، اما هنوز تا آنجا فاصله داریم.
قدم بعدی این است که به عقب برگردیم و دایره را به شانزده قسمت مساوی تقسیم کنیم.
قطعات اینجا هستند.
تصویر
این دفعه وقتی آنها را کنار هم قرار می دهیم. خیلی بیشتر مثل مستطیل به نظر می رسند، ببینید
تصویر
هدف ایجاد شکلی است که تا حد ممکن به مستطیل نزدیک باشد.
تا بتوانیم مساحت آن را با استفاده از فرمول مستطیل محاسبه کنیم.
عرض × طول = مساحت
اما این شکل اضلاع صاف ندارد، بنابراین فرمول حیلی دقیق نمی باشد.
بگذارید یک قدم جلوتر برویم و دایره راه به گروهی خرده های کوچک تقسیم کنیم. وقتی تمام قطعات را کنار هم قرار می دهیم، شکل مانند زیر به نظر می رسد.
تصویر
این خیلی شبیه یک مستطیل کامل است. اما می توانید ببینید که بالا و پائین هنوز کاملاً صاف نیستند. آنها کمی دست انداز دارند.
می توانید تصور کنید که اگر باز هم به کارمان ادامه بدهیم چه اتفاقی خواهد افتاد؟ اگر به شکستن دایره به قطعات کوچکتر و کوچکتر ادامه دهیم؟
دست آخر، دست اندازها آنقدر کوچک می شوند که نمی توانیم آنها را ببینیم، و بالا و پائین شکل کاملاً مستقیم به نظر خواهند رسید. این چیزی است که خواهیم دید.
تصویر

یک مستطیل کامل. حالا تمام کاری که باید انجام دهیم پیدا کردن مساحت مستطیل با استفاده از فرمول عرض × طول = مساحت می باشد.
تصویر

سوال بعدی این است که، طول و عرض مستطیلی که از قطعات دایره ایجاد شده چه اندازه ای دارند؟
اجازه بدهید به عقب برگردیم، تا شما قطعات دایره را واضحتر ببینید.

تصویر
طول بیرونی دایره اصلی، مسافت پیرامون دایره، یا محیط دایره می باشد.

تصویر

نصف این مسافت پیرامون، در بالای مستطیل و نصف دیگر آن در پایین قرار می گیرد.
تصویر
به عبارت دیگر، تمام تکه های آبی و قرمز برابر محیط دایره می باشند.
کناره های مستطیل درست شعاع هر قطعه یا شعاع دایره می باشند.

حالا می توانیم مساحت شکل را با فرمول مستطیل محاسبه کنیم
تصویر
و در اینجا ما فرمول مساحت دایره ای را که با آن شروع کردیم، داریم.

Re: اثبات مساحت دایره

نوشتهنوشته شده در: دوشنبه 23 مرداد 1391 - 15:53
از سوی brando
جالب بود . مرسی smile072 smile072

Re: اثبات مساحت دایره

نوشتهنوشته شده در: دوشنبه 23 مرداد 1391 - 17:02
از سوی Amir75
مرسی خوب بود smile072
درواقع اومدی انتگرال گیری توضیح دادی! smile018

Re: اثبات مساحت دایره

نوشتهنوشته شده در: سه شنبه 24 مرداد 1391 - 01:12
از سوی m77m
این درس دوم راهنمایی هستش هنزو یادمه.فکر کنم یه سوال هم اومده بود تو ورودی

Re: اثبات مساحت دایره

نوشتهنوشته شده در: سه شنبه 24 مرداد 1391 - 01:33
از سوی slice_of_god
m77m نوشته است:این درس دوم راهنمایی هستش هنزو یادمه.فکر کنم یه سوال هم اومده بود تو ورودی

تو زمان ما نبود فک کنم

Re: اثبات مساحت دایره

نوشتهنوشته شده در: سه شنبه 24 مرداد 1391 - 20:48
از سوی امواج
هر چقدر هم که اینها را ریز کنید باز دست اندازها را نمی توان کاملا صاف کرد و مستطیل شکل تقریبی دایره خواهد بود.
قدم نخست اثبات این موضوع است که محیط دایره دوپی برابر شعاع است.چگونه می توان به این موضوع پی برد؟
چگونه ما به عدد تقریبی pi دست یابیم؟
راه حلش مشاهده و اندازه گیری شعاع و محیط دایره های مختلف برای پی بردن به این عدد ثابت است؟

Re: اثبات مساحت دایره

نوشتهنوشته شده در: چهارشنبه 25 مرداد 1391 - 11:45
از سوی m77m
عدد پی هیچ وقت ثابت نبوده بلکه همیشه تقریبی است.عدد پی 3.14 نیست بلکه نزدیک به این عدد است دانشمندان اعداد مختلف درباره این عدد مطرح کرده اند که هیچ کدام درست نبوده بلکه تقریبی بوده است.دلیلش اینکه دایره هیچ وقت به اون مقدار ریز نمیشه که مستطیل به وجود بیاد. برای همین پی تقریبی هستش.

Re: اثبات مساحت دایره

نوشتهنوشته شده در: چهارشنبه 25 مرداد 1391 - 13:41
از سوی امواج
تقریبی بودن تضادی با ثابت بودن ندارد.ثابت(constant) در برابر متغیر(variable) استفاده می شود.به هرحال پی یک عدد است و اعداد ثابت هستند.

Re: اثبات مساحت دایره

نوشتهنوشته شده در: چهارشنبه 25 مرداد 1391 - 14:19
از سوی m77m
بله من هم نگفتم تضادی دارد.عدد پی ثابتی هست که ما هنوز بدست نیاوردیمش.عدد پی رو ما تقریبی تو دست داریم نه عدد پی تقریبیست. اگه آزمون ها رو با دقت بخونی نوشته مساحت دایره گنگ است یعنی عدد پی در دسترس نیست و ما اونو تقریبی در دست داریم.

Re: اثبات مساحت دایره

نوشتهنوشته شده در: چهارشنبه 25 مرداد 1391 - 19:58
از سوی امواج
m77m نوشته است:بله من هم نگفتم تضادی دارد.عدد پی ثابتی هست که ما هنوز بدست نیاوردیمش.عدد پی رو ما تقریبی تو دست داریم نه عدد پی تقریبیست. اگه آزمون ها رو با دقت بخونی نوشته مساحت دایره گنگ است یعنی عدد پی در دسترس نیست و ما اونو تقریبی در دست داریم.


دوست عزیز،بدیهیات را می فرمایید؟هرکسی که ذره ای سواد ریاضیاتی داشته باشد می داند که مقدار دقیق عدد پی مشخص نیست.

شما گفتید عدد پی هیچگاه ثابت نبوده و تقریبی است من هم توضیح دادم که معنای عدد ثابت در ریاضیات چیست.
کاملا متوجه منظور شما هستم اما شما خیلی ساده و دقیق می توانید بگویید عدد پی یک عدد گنگ است که اعشارش هیچگاه پایان نمی پذیرد و تکرار نمی شود.
بحث سر کاربرد درست و دقیق اصطلاحات ریاضی است.

از این گذشته به چه دلیل شما به بیان این موضوع پرداختید که عدد پی فلان و بهمان است؟
می خواهم بدانم آیا پست قبلی شما جواب پست من بود؟اگر بله ارتباطش با پست من چی بود؟

Re: اثبات مساحت دایره

نوشتهنوشته شده در: شنبه 18 آبان 1392 - 16:45
از سوی maaaaahsa
واقعا ممنونم smile124 به این اثبات احتیاج فووووری داشتم smile043 smile043 smile043 smile043 smile043 smile043 smile043

Re: اثبات مساحت دایره

نوشتهنوشته شده در: شنبه 18 آبان 1392 - 17:17
از سوی غلامعلی نوری
آیا می توان گستره ی گوی ( مساحت کره) را به روشی همسان این پایور کرد ؟

Re: اثبات مساحت دایره

نوشتهنوشته شده در: شنبه 18 آبان 1392 - 17:22
از سوی ehsan.helli1
بله میشه مساحت کره رو با اصل کاوالیری به دست اورد.اگر خیلی براتون مهمه اسکن کنم بزارم

Re: اثبات مساحت دایره

نوشتهنوشته شده در: شنبه 18 آبان 1392 - 17:31
از سوی maaaaahsa
ببخشید اقا احسان اگه میشه بذارین منم باید جواب این سوالو بدونم smile072

Re: اثبات مساحت دایره

نوشتهنوشته شده در: شنبه 18 آبان 1392 - 18:53
از سوی غلامعلی نوری
ehsan.helli1 نوشته است:بله میشه مساحت کره رو با اصل کاوالیری به دست اورد.اگر خیلی براتون مهمه اسکن کنم بزارم


تو نیکی می کن و در اسکن انداز smile072 که ایزد در خیابانت دهد باز smile072