هم ارزی تانسور پاد متقارن با شبه بردار دوگان

[Afshin.rk]

کسی میدونه ضریب پشت نماد لوی چویتا تو معادله هم ارزی یک تانسور و شبه بردار دوگان از کجا میاد؟ این ضریب به شکل (!مرتبه تانسور/1 ) هست.مثلا برای یه تانسور پاد متقارن میشه نوشت (حروف کوچک اندیس حروف بزرگ اند) :

Ci = (1/2) £ijk Cjk

[Parmenides]

خوب این راحت با تعریف دوآل وکتور به دست میاد، Dual Vector یه تانسور پادمتقارن برداریه که اگه توی هر بردار a ضرب خارجی بشه، حاصل مقدار اون تانسور به ازای بردار a میشه، با همین تعریف مولفه های دوآل وکتور بر حسب 3 مولفه ی تانسور پادمتقارن بدست میان، وقتی فرمول اندیسی رو برای هر i باز کنی میبینی که برابری صادقه.

[pulsar]

حاصل ضرب خارجی دو بردار مانند

و

، شبه برداری مانند

است:

مؤلفه

اُم آن عبارت است از:

در جمع نخستین به جای

از

و به جای

از

و در دومین جمع به جای

از

استفاده می کنیم:

ماتریس

پاد متقارن است چرا که:

[Parmenides]

این راه حلیه که من میگم، T تانسور پادمتقارن و tA دوآل وکتورشه، سه مولفه دوآل وکتور بر حسب مولفه های تانسور اینجوری به دست میان (e1 و e2 و e3 یکه های دستگاه متعامد راستگرد هستند):



که با نمایش اندیسی مطابقت داره.