Re: پیدا کردن محیط بیضی
ارسال شده: سهشنبه ۱۴۰۱/۶/۱ - ۱۷:۳۸
$E(e)=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1-e^2\sin^2\theta}d\theta$روش معمول محاسباتی
روشها زیاده ابتدا روش انتگرال دوم
محیط یک بیضی با محورهای نیمه اصلی و نیمه فرعی a,b شروع کنیم
$P(a,b)=\int_0^{2\pi}\sqrt{a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta}~\mathrm d\theta$
که با جمع و تفریق $a^2\sin^2$ دوباره میارمش
$P(a,b)=\int_0^{2\pi}\sqrt{a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta}~\mathrm d\theta$
خوب میدونم میشه از $\cos^2+\sin^2=1$، عبارت کسینوس را حذف کرد
$P(a,b)=\int_0^{2\pi}\sqrt{a^2+(b^2-a^2)\sin^2\theta}$
فرمول دوباره میارم اینجا ساده تر
$P(a,b)=a\int_0^{2\pi}\sqrt{1-\left(1-\frac{b^2}{a^2}\right)\sin^2\theta}$
اما به دلیل تقارن بیضی میدونم که این فقط چهار برابر انتگرال گرفته شده از 0 تا$\pi/2$ است، پس
$P(a,b)=4a\cdot \int_0^{\pi/2}\sqrt{1-\left(1-\frac{b^2}{a^2}\right)\sin^2\theta}~\mathrm d\theta$
اما این فقط انتگرال بیضوی کامل از نوع دومه
$P(a,b)=4a\cdot \operatorname{Eli}_2\left(\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\right)$
تقریب ها
$\operatorname{Eli}_2(z)=\frac{\pi}{2}\left[1-\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{(2n-1)!_2}{(2n)!_2}\right)^2\frac{1}{2n-1}z^{2n}\right]$
جایی که !2 یک فاکتوریل دوگانه است. $z=\sqrt{1-b^2/a^2}$ را انتخاب کنید و برای تقریبی که می خواهید استفاده کنید.
روش دقیقتر $p=2πa(1-(\frac{1}{2})^2ε^2-{(\frac{1.3}{2.4})}^2\frac{ε^4}{3}-\cdots)$ روش سوم خیلی دقیق $\begin{align}
K(\gamma) \stackrel{def}{=}
\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{(1-x^2)(1-\gamma^2x^2)}} &= \frac{\pi}{2\verb/AGM/(1,\beta)}\\
E(\gamma) \stackrel{def}{=}
\int_0^1 \sqrt{\frac{1-\gamma^2 x^2}{1-x^2}}dx
&= \frac{\pi \verb/MAGM/(1,\beta^2)}{2\verb/AGM/(1,\beta)}
\end{align}
\quad\text{ where }\quad\beta = \sqrt{1-\gamma^2}$ نکته $\gamma = e $ خروج از مرکزeccentricity of the ellipse هستش
$\require{enclose} \\
\begin{align}
e &= \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}} \\
C &= 4aE(e) = 4a\int^{\pi/2}_{0}{\sqrt{1-e^2 \sin^2 \theta} \;d\theta} \tag{1} \\
C &= 2 \pi a \left(1-\sum^{\infty}_{n=1}{\left(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right)^2 \frac{e^{2n}}{2n-1}}\right) \tag{2} \\
h &= \frac{(a-b)^2}{(a+b)^2} \\
C &= \pi (a + b) \left( 1 + \sum^{\infty}_{n=1} { \left( \frac{(2n-1)!!}{2^n n!} \right)^2 \frac{h^n}{(2n-1)^2} } \right) \tag{3} \\
C &= \pi (a + b) \sum^{\infty}_{n=0} { \binom{1/2}{n}^2 h^n } \tag{4} \\
\enclose{horizontalstrike}{C} &\enclose{horizontalstrike}{\approx \pi \left( 3(a+b) - \sqrt{(3a+b)(a+3b)} \right)} \\
C &\approx \pi (a+b) \left( 1+ \frac{3h}{10 + \sqrt{4-3h}} \right) \tag{5}
\end{align}$helped you understand the question. Roham Hesami, sixth
semester of aerospace engineering
رهام حسامی ترم ششم مهندسی هوافضا
روشها زیاده ابتدا روش انتگرال دوم
محیط یک بیضی با محورهای نیمه اصلی و نیمه فرعی a,b شروع کنیم
$P(a,b)=\int_0^{2\pi}\sqrt{a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta}~\mathrm d\theta$
که با جمع و تفریق $a^2\sin^2$ دوباره میارمش
$P(a,b)=\int_0^{2\pi}\sqrt{a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta}~\mathrm d\theta$
خوب میدونم میشه از $\cos^2+\sin^2=1$، عبارت کسینوس را حذف کرد
$P(a,b)=\int_0^{2\pi}\sqrt{a^2+(b^2-a^2)\sin^2\theta}$
فرمول دوباره میارم اینجا ساده تر
$P(a,b)=a\int_0^{2\pi}\sqrt{1-\left(1-\frac{b^2}{a^2}\right)\sin^2\theta}$
اما به دلیل تقارن بیضی میدونم که این فقط چهار برابر انتگرال گرفته شده از 0 تا$\pi/2$ است، پس
$P(a,b)=4a\cdot \int_0^{\pi/2}\sqrt{1-\left(1-\frac{b^2}{a^2}\right)\sin^2\theta}~\mathrm d\theta$
اما این فقط انتگرال بیضوی کامل از نوع دومه
$P(a,b)=4a\cdot \operatorname{Eli}_2\left(\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\right)$
تقریب ها
$\operatorname{Eli}_2(z)=\frac{\pi}{2}\left[1-\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{(2n-1)!_2}{(2n)!_2}\right)^2\frac{1}{2n-1}z^{2n}\right]$
جایی که !2 یک فاکتوریل دوگانه است. $z=\sqrt{1-b^2/a^2}$ را انتخاب کنید و برای تقریبی که می خواهید استفاده کنید.
روش دقیقتر $p=2πa(1-(\frac{1}{2})^2ε^2-{(\frac{1.3}{2.4})}^2\frac{ε^4}{3}-\cdots)$ روش سوم خیلی دقیق $\begin{align}
K(\gamma) \stackrel{def}{=}
\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{(1-x^2)(1-\gamma^2x^2)}} &= \frac{\pi}{2\verb/AGM/(1,\beta)}\\
E(\gamma) \stackrel{def}{=}
\int_0^1 \sqrt{\frac{1-\gamma^2 x^2}{1-x^2}}dx
&= \frac{\pi \verb/MAGM/(1,\beta^2)}{2\verb/AGM/(1,\beta)}
\end{align}
\quad\text{ where }\quad\beta = \sqrt{1-\gamma^2}$ نکته $\gamma = e $ خروج از مرکزeccentricity of the ellipse هستش
$\require{enclose} \\
\begin{align}
e &= \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}} \\
C &= 4aE(e) = 4a\int^{\pi/2}_{0}{\sqrt{1-e^2 \sin^2 \theta} \;d\theta} \tag{1} \\
C &= 2 \pi a \left(1-\sum^{\infty}_{n=1}{\left(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right)^2 \frac{e^{2n}}{2n-1}}\right) \tag{2} \\
h &= \frac{(a-b)^2}{(a+b)^2} \\
C &= \pi (a + b) \left( 1 + \sum^{\infty}_{n=1} { \left( \frac{(2n-1)!!}{2^n n!} \right)^2 \frac{h^n}{(2n-1)^2} } \right) \tag{3} \\
C &= \pi (a + b) \sum^{\infty}_{n=0} { \binom{1/2}{n}^2 h^n } \tag{4} \\
\enclose{horizontalstrike}{C} &\enclose{horizontalstrike}{\approx \pi \left( 3(a+b) - \sqrt{(3a+b)(a+3b)} \right)} \\
C &\approx \pi (a+b) \left( 1+ \frac{3h}{10 + \sqrt{4-3h}} \right) \tag{5}
\end{align}$helped you understand the question. Roham Hesami, sixth
semester of aerospace engineering
رهام حسامی ترم ششم مهندسی هوافضا