اثبات عکس سینوس مساوی با ...

[mahsan]

سلام

کسی می تونه به طور کامل اثبات زیر رو انجام بده برام

عکس سینوس
z
مساوی میشود با

iLn(iz+(1-z^2)^1/2-

[آسمان سرخ]

ببین، یه گزینه به نام tex در نوار کاربریتان وجود دارد که اگر نوشته تان را در آن قرار دهید به این شکل زیبا می شود:



هر چند رابطه را ناقص نوشتید، اما از رابطه زیر استفاده کن





را بگذار

و تابع را معکوس کن و سپس بجای



قرار دهید.

[mahsan]

ممنون

[امید سیدیان]

از رابطه زیر استفاده کن

متاسفانه رابطه رو غلط نوشتید!
در حقیقت، توی مبحث توابع مختلط، برای سینوس نتیجه می شه:

برای اینکه این نتیجه رو با قرینش، یعنی برای تابع کسینوس اشتباه نگیریم،
یادآوری می کنم که:

در واقع، این دو نتیجه، مستقیماً از رابطه ی معروف اویلر بدست می آن.
خود رابطه ی اویلر هم، همونطور که می دونید هست:

یک کم که باهاش کار کنید، به سادگی دو نتیجه ی بالا بدست می آد.

[sha-y-an]

[; y=\sin^{-1}{x}\Rightarrow \sin{y}=x \Rightarrow x=\frac{e^{iy}-e^{-iy}}{2i} \Rightarrow 2i x e^{iy}=e^{2iy}-1 \Rightarrow e^{2iy}-2ixe^{iy}-1=0 \Rightarrow e^{iy}=\frac{2ix \pm \sqrt{-4x^2+4}}{2} \Rightarrow y=-i \ln({\frac{2ix \pm \sqrt{-4x^2+4}}{2} }) \Rightarrow y=-i \ln(ix \pm \sqrt{1-x^2});]

[آسمان سرخ]

از گزینه tex در نوار کاربریتان استفاده کنید