ماتریس و محور دوران

مدیران انجمن: parse, javad123javad

امید سیدیان

عضویت : پنج‌شنبه ۱۳۹۱/۴/۱۵ - ۲۰:۲۷


پست: 495

سپاس: 565

ماتریس و محور دوران

پست توسط امید سیدیان »

سلام بچه ها،
یک تیپ سوال زیبا با ایده ای بدرد بخور پیدا کرد، گفتم بزارم برای بحث.
این تیپ سوال ِساده و سر راست، به این صورت هست:

دستگاه مختصات (کارتزین) رو ابتدا حول محور

به اندازه ی

رادیان،
و سپس حول محور

(در مختصات جدید)، به اندازه ی

رادیان دوران می دهیم.
الف) ماتریس دوران کلی را با استدلال ارائه بدید.
ب) محوری رو که دوران حول اون انجام شده رو پیدا کنید.
یک روز پادشاهی بهتر از چهل سال بندگی است

نمایه کاربر
Goriz bivaghfe

محل اقامت: تهران

عضویت : پنج‌شنبه ۱۳۹۲/۳/۳۰ - ۰۰:۴۸


پست: 89

سپاس: 41

جنسیت:

تماس:

Re: ماتریس و محور دوران

پست توسط Goriz bivaghfe »

X=xcos(a)+ycos(b)+zcos(c) که aو b و c به ترتیب زوایای محور X با محور z,y,x (محورهای ثابت)هستند
Y=xcos(d)+ycos(e)+zcos(f) که dوeوf به ترتیب زاویه محور Y با z,y,x هست
Z=xcos(m)+ycos(n)+zcos(p)که .................................. Z با z,y,x هستند.
این که نوشتم حالت کلیشه.
اونیم که شما گفتید مثله همینه.که با ماتریس هم بیان میشه.

نمایه کاربر
Ali.T

عضویت : چهارشنبه ۱۳۸۷/۳/۱۵ - ۲۰:۰۸


پست: 398

سپاس: 450

جنسیت:

Re: ماتریس و محور دوران

پست توسط Ali.T »

آقای سیدیان نوشته شده:سلام بچه ها،
یک تیپ سوال زیبا با ایده ای بدرد بخور پیدا کرد، گفتم بزارم برای بحث.
این تیپ سوال ِساده و سر راست، به این صورت هست:

دستگاه مختصات (کارتزین) رو ابتدا حول محور

به اندازه ی

رادیان،
و سپس حول محور

(در مختصات جدید)، به اندازه ی

رادیان دوران می دهیم.
الف) ماتریس دوران کلی را با استدلال ارائه بدید.
ب) محوری رو که دوران حول اون انجام شده رو پیدا کنید.
برای قسمت اول سوالتون که ماتریس دوران چیه :





و با توجه به رابطه ماتریسها در دستگاه قدیم و جدید :





در نتیجه ماتریس دوران به طور کلی برابر است با:









و برای قسمت دوم سوال منظورتون اینه که همین دوران را میشه حول محوری دیگه با زاویه دیگه انجام داد ؟ و حالا اون محورو پیدا کنیم؟

امید سیدیان

عضویت : پنج‌شنبه ۱۳۹۱/۴/۱۵ - ۲۰:۲۷


پست: 495

سپاس: 565

Re: ماتریس و محور دوران

پست توسط امید سیدیان »

Goriz bivaghfe نوشته شده:X=xcos(a)+ycos(b)+zcos(c) که aو b و c به ترتیب زوایای محور X با محور z,y,x (محورهای ثابت)هستند
Y=xcos(d)+ycos(e)+zcos(f)) که dوeوf به ترتیب زاویه محور Y با z,y,x هست
Z=xcos(m)+ycos(n)+zcos(p)که .................................. Z با z,y,x هستند.
این که نوشتم حالت کلیشه.
اونیم که شما گفتید مثله همینه.که با ماتریس هم بیان میشه.
راهی که ارائه دادید به طور کلی درست هست ولی عملی نیست!
توجه داشته باشید من به طور مشخص زوایای دوران رو، هر بار معین کردم،
ولی الآن با این راه شما، به ضرایب a و b و c و ... و p رسیدیم!
همونطور که خودتون اشاره کردید،
اینها (ضرایب a و b و ...) همون کسینوس های ِهادی ِ محور های جدید، تحت دستگاه قدیم اند.
در اینجا اگر صرفاً بخوام کمی جمع و جور تر حرف شما رو بنویسیم باید یه تعریف بکنیم:



در بالا، کسینوس های ِهادی ِمحور i-ام (دستگاه جدید)، نسبت به دستگاه قدیم (محور های j-ام) را تعریف کردیم.
حالا رابطه ای رو که شما در اول نوشتید رو، اگه بخوام به صورت جمع و جور، و با استفاده از اون تعریف بنویسیم، می شه:


باز هم جواب مساله همچنان مجهول هست!
توجه کنید که پیدا کردن کسینوس های هادی با روش ِ درست ِ شما، به این سادگی ها نیست!
یک روز پادشاهی بهتر از چهل سال بندگی است

امید سیدیان

عضویت : پنج‌شنبه ۱۳۹۱/۴/۱۵ - ۲۰:۲۷


پست: 495

سپاس: 565

Re: ماتریس و محور دوران

پست توسط امید سیدیان »

koorosh kabir نوشته شده:برای قسمت اول سوالتون که ماتریس دوران چیه :



خُب تا اینجا رو قبول دارم.
ولی می شه توضیح بدید که چه طور این پایینی رو استنتاج کردید؟
koorosh kabir نوشته شده:و با توجه به رابطه ماتریسها در دستگاه قدیم و جدید :



و در این مورد:
koorosh kabir نوشته شده:و برای قسمت دوم سوال منظورتون اینه که همین دوران را میشه حول محوری دیگه با زاویه دیگه انجام داد ؟ و حالا اون محورو پیدا کنیم؟
بله، دقیقاً
یک روز پادشاهی بهتر از چهل سال بندگی است

نمایه کاربر
Ali.T

عضویت : چهارشنبه ۱۳۸۷/۳/۱۵ - ۲۰:۰۸


پست: 398

سپاس: 450

جنسیت:

Re: ماتریس و محور دوران

پست توسط Ali.T »

این یک رابطه بین ماتریسها در دستگاه چرخیده(

) و دستگاه اولیه(

) می باشد و برابر است با:


که R ماتریس دوران می باشد.

برای اثبات فرض کنید دو بردار A و B و ماتریس D در دستگاه اولیه داریم که با رابطه زیر به هم مربوط هستند:
D.A=B
می دانیم که بردارها در دستگاه اولیه و چرخیده توسط ماتریس دوران R چنین رابطه ای دارند:




حالا داریم:






که

نمایش ماتریس D در مختصات دوران یافته می دانیم.

نمایه کاربر
ehsan.helli1

نام: احسان

محل اقامت: تهران

عضویت : جمعه ۱۳۹۰/۱۰/۳۰ - ۲۱:۳۰


پست: 1688

سپاس: 624

جنسیت:

تماس:

Re: ماتریس و محور دوران

پست توسط ehsan.helli1 »

چند وقت پیش ماتریس دوران حالت کلی رو به دست اوردم و چون خیلی طولانیه عکس گرفتم و گذاشتم براتون
تصویر
تصویر

امید سیدیان

عضویت : پنج‌شنبه ۱۳۹۱/۴/۱۵ - ۲۰:۲۷


پست: 495

سپاس: 565

Re: ماتریس و محور دوران

پست توسط امید سیدیان »

koorosh kabir نوشته شده:این یک رابطه بین ماتریسها در دستگاه چرخیده(

) و دستگاه اولیه(

) می باشد و برابر است با:


که R ماتریس دوران می باشد.

برای اثبات فرض کنید دو بردار A و B و ماتریس D در دستگاه اولیه داریم که با رابطه زیر به هم مربوط هستند:
D.A=B
می دانیم که بردارها در دستگاه اولیه و چرخیده توسط ماتریس دوران R چنین رابطه ای دارند:




حالا داریم:






که

نمایش ماتریس D در مختصات دوران یافته می دانیم.
بله، بله ...
ولی من الآن متوجه شدم که اون فرض اولیه ی ما،
(

)، به طور کلی اشتباه بوده.
چرا که ما این رابطه رو اثبات نکردیم! اصلاً از کجا این رابطه یکدفعه در اومد؟
من تلاش می کنم که ثابت کنم که رابطه ی فوق نادرست هست.
ببینید، همونطور که می دونیم، دوران یک تبدیل خطی هست.
وقتی که یک بردار (محور) در یک دستگاه دوران پیدا می کنه،
معادله ی تبدیل به صورت ضرب ماتریس دوران، در مختصات نقطه ی قدیم ظاهر می شه.
پس معادله ی دوران اول (حول x) به این شکل در می آد:


اما یک دوران دیگه هم داریم: دوران محور جدید (

) حول محور y که می شه:


از ترکیب دو معادله ی ماتریسی فوق و استفاده از خاصیت شرکت پذیری ِضرب ماتریس ها داریم:




پس ماتریس دوران ِکلی، می شه ضرب ماتریس دوران ِ[دوران دوم]، در ماتریس دوران ِ [دوران اول]، از چپ!
همونطور که مشاهده می کنیم، می بینیم که غلط بودن ِاولین معادله ای که نوشتیم، منجر شده که به جواب نادرست برسیم.
یک روز پادشاهی بهتر از چهل سال بندگی است

نمایه کاربر
Ali.T

عضویت : چهارشنبه ۱۳۸۷/۳/۱۵ - ۲۰:۰۸


پست: 398

سپاس: 450

جنسیت:

Re: ماتریس و محور دوران

پست توسط Ali.T »

رابطه :


درست و منطقی هستش و تو ریاضیات ازش استفاده میشه.

نمایه کاربر
ehsan.helli1

نام: احسان

محل اقامت: تهران

عضویت : جمعه ۱۳۹۰/۱۰/۳۰ - ۲۱:۳۰


پست: 1688

سپاس: 624

جنسیت:

تماس:

Re: ماتریس و محور دوران

پست توسط ehsan.helli1 »

بله درسته!

امید سیدیان

عضویت : پنج‌شنبه ۱۳۹۱/۴/۱۵ - ۲۰:۲۷


پست: 495

سپاس: 565

Re: ماتریس و محور دوران

پست توسط امید سیدیان »

koorosh kabir نوشته شده:رابطه :


درست و منطقی هستش و تو ریاضیات ازش استفاده میشه.
من هم ابتدا همین فکر می کردم، ولی در این صورت استدلال بالایی که کردم بی پاسخ می ماند.
در ثانی چرا باید این رابطه درست باشه؟
من با استدلال، فرم ماتریس دوران رو ثابت کردم.
یک روز پادشاهی بهتر از چهل سال بندگی است

نمایه کاربر
Ali.T

عضویت : چهارشنبه ۱۳۸۷/۳/۱۵ - ۲۰:۰۸


پست: 398

سپاس: 450

جنسیت:

Re: ماتریس و محور دوران

پست توسط Ali.T »

آقای سیدیان نوشته شده:
koorosh kabir نوشته شده:رابطه :


درست و منطقی هستش و تو ریاضیات ازش استفاده میشه.
من هم ابتدا همین فکر می کردم، ولی در این صورت استدلال بالایی که کردم بی پاسخ می ماند.
در ثانی چرا باید این رابطه درست باشه؟
من با استدلال، فرم ماتریس دوران رو ثابت کردم.
در استدلال شما دوران دوم حول محور y دستگاه اولیه است ولی در سوال گفته شده که دوران حول محور y در دستگاه چرخیده می باشد یعنی :


که در مرحله بعد می توان ماتریس فوق را به ماتریس در دستگاه اولیه مربوط کرد.

امید سیدیان

عضویت : پنج‌شنبه ۱۳۹۱/۴/۱۵ - ۲۰:۲۷


پست: 495

سپاس: 565

Re: ماتریس و محور دوران

پست توسط امید سیدیان »

koorosh kabir نوشته شده:
آقای سیدیان نوشته شده:
koorosh kabir نوشته شده:رابطه :


درست و منطقی هستش و تو ریاضیات ازش استفاده میشه.
من هم ابتدا همین فکر می کردم، ولی در این صورت استدلال بالایی که کردم بی پاسخ می ماند.
در ثانی چرا باید این رابطه درست باشه؟
من با استدلال، فرم ماتریس دوران رو ثابت کردم.
در استدلال شما دوران دوم حول محور y دستگاه اولیه است ولی در سوال گفته شده که دوران حول محور y در دستگاه چرخیده می باشد یعنی :


که در مرحله بعد می توان ماتریس فوق را به ماتریس در دستگاه اولیه مربوط کرد.
من اینطوری نگفتم.
کم کم دارم فکر می کنم که شما اثبات من رو دقیق نخوندید، پس دوباره بیان می کنم.
عرض کردم:
ابتدا یک دوران حول x داریم:


حالا برای دستگاه جدید، یک دوران حول y داریم:


از ترکیب دو معادله داریم:




در اینجا من دوران دوم رو حول محور y جدید گرفتم.
به هر حال این روش ترتیب درست ضرب ماتریس ها رو بهمون نشون می ده:


دقت کنید که توی معادله ی بالا، y برای دستگاه جدید هست؛

البته نظرمن نسبت به معادله ای که اول نوشتید عوض شده، چرا که همین الآن اثباتش کردیم!!!
اگر دقت کنیم می بینیم که این اثبات من دقیقاً منجر به همون معادله ای شده که نوشتید.اینطور نیست؟
من در اینجا، برای جلوگیری از هر گونه ابهام قصد دارم تا ماتریس دوران حول (مثلاً) x رو بنویسم:


منتها حالا می مونه روشن کردن معنی آخرین معادله، از اولین پست شما!
یک روز پادشاهی بهتر از چهل سال بندگی است

نمایه کاربر
Ali.T

عضویت : چهارشنبه ۱۳۸۷/۳/۱۵ - ۲۰:۰۸


پست: 398

سپاس: 450

جنسیت:

Re: ماتریس و محور دوران

پست توسط Ali.T »

آقای سیدیان نوشته شده:منتها حالا می مونه روشن کردن معنی آخرین معادله، از اولین پست شما
با توجه به اثباتی که نوشتم اومدم ماتریس دوران را برحسب ماتریسها در دستگاه اولیه نوشتم.

نمایه کاربر
Goriz bivaghfe

محل اقامت: تهران

عضویت : پنج‌شنبه ۱۳۹۲/۳/۳۰ - ۰۰:۴۸


پست: 89

سپاس: 41

جنسیت:

تماس:

Re: ماتریس و محور دوران

پست توسط Goriz bivaghfe »

[quote="آقای سیدیان"][quote="Goriz bivaghfe"]X=xcos(a)+ycos(b)+zcos(c) که aو b و c به ترتیب زوایای محور X با محور z,y,x (محورهای ثابت)هستند
Y=xcos(d)+ycos(e)+zcos(f)) که dوeوf به ترتیب زاویه محور Y با z,y,x هست
Z=xcos(m)+ycos(n)+zcos(p)که .................................. Z با z,y,x هستند.
این که نوشتم حالت کلیشه.
اونیم که شما گفتید مثله همینه.که با ماتریس هم بیان میشه.[/quote]
راهی که ارائه دادید به طور کلی درست هست ولی عملی نیست!
توجه داشته باشید من به طور مشخص زوایای دوران رو، هر بار معین کردم،
ولی الآن با این راه شما، به ضرایب a و b و c و ... و p رسیدیم!
همونطور که خودتون اشاره کردید،
اینها (ضرایب a و b و ...) همون کسینوس های ِهادی ِ محور های جدید، تحت دستگاه قدیم اند.
در اینجا اگر صرفاً بخوام کمی جمع و جور تر حرف شما رو بنویسیم باید یه تعریف بکنیم:

[center][tex]\lambda_{i,j} \equiv \cos~(\acute{x}_{i} ,x_{j} )[/tex][/center]
در بالا، کسینوس های ِهادی ِمحور i-ام (دستگاه جدید)، نسبت به دستگاه قدیم (محور های j-ام) را تعریف کردیم.
حالا رابطه ای رو که شما در اول نوشتید رو، اگه بخوام به صورت جمع و جور، و با استفاده از اون تعریف بنویسیم، می شه:

[center][tex]\acute{x}_{i}=\sum_{j=1}^{3}\lambda_{i,j}~x_{j}[/tex][/center]
باز هم جواب مساله همچنان مجهول هست!
توجه کنید که پیدا کردن کسینوس های هادی با روش ِ درست ِ شما، به این سادگی ها نیست![/quote]
a,b,c,d... این زوایایی که گفتم براحتی بر حسب اون زوایایی که گفتید قابل تشخیص هستند.فکر نکم مشکل باشه.

ارسال پست