متناوب بودن تابع مستلزم وجود دوره تناوب اساسی است؟

[Vita]

سلام؛

آیا وجود دوره تناوب اساسی شرط لازم برای متناوب نامیدن یک تابع اس؟

من که مخالفم. کافیه یک T>0 پیدا کنیم که به ازای هر x از دامنه مقدار تابع در x+T = مقدار تابع در x؛ به شرطی که x+T هم در دامنه ی تابع موجود باشه. و نیازی نیست حتماً یک مقدار مینیمم برای T به عنوان دوره تناوب اساسی معرفی کنیم. بنابراین تابع عدد ثابت هم یک تابع متناوبه. چون به ازای هر عدد حقیقی مثبت مقدار تابع ثابت می مونه. یعنی همه ی اعداد حقیقی مثبت دوره تناوب این تابعن. اما دوره تناوب اساسی نداره؛ که به متناوب بودن تابع خللی وارد نمی کنه.

[dusty]

درود

ابتدا باید به این نکته توجه داشت، که اصولا هدف از تعریف تابع متناوب چیست؟

اگر منظور این باشه که عددی مانند t [عضو دامنه] را پیدا کنیم که در شرط "مقدار تابع در x+T = مقدار تابع در x" صدق کنه، و به عبارتی تعبیر جبری مد نظر باشه، در این صورت ایراد شما کاملا موجه و صحیحه.

ولی اگر ایده تناوب رو از روی هندسه تابع تعریف کنیم، بدین صورت که "عددی مثل t را در دامنه تابع پیدا کنیم، به طوری که شکل تابع در بازه های x+nt به صورت متناوب تکرار شود و خود شکل اولیه (از بازه 0 تا t) متناوب نباشد".
در این صورت کاملا واضحه که تابع به ازای هر مقدار nt متناوبه، ولی این مد نظر ما نیست، چون ما (از دید هندسی) کوچکترین شکل تناوب رو مبنا برای تکرار(تناوب) قرار میدیم، پس nt باید مینیمم باشه یعنی 1t ، پس t یگانه است.

ولی در مثالی که شما آوردید(تابع عدد ثابت)، با اینکه تمام اعداد در شرط تناوب صدق می کنند ولی هیچ مقدار مینیمم ی که به t یگانه منجر بشه رو نمی تونی یافت کنی [هیچ شکل اولیه ای که خودش تناوبی از شکل های دیکر نباشد یافت نمی شود]، در صورتی که از دید هندسی خود این مینیمم برای ما و تعیین رفتار تابع و مطالعه اون مهمه، پس حرف شما در اینجا صحیح نیست.

در فیزیک حداقل، ایراد شما وارد نیست، (چون معمولا تعریف دوم مد نظر است.)

[Vita]

در فیزیک حداقل، ایراد شما وارد نیست، (چون معمولا تعریف دوم مد نظر است.)

سپاس از توضیحاتتون
چرا در فیزیک معمولاً تعریف دوم مدنظره؟

[dusty]

چرا در فیزیک معمولاً تعریف دوم مدنظره؟

چون در فیزیک بیشتر با شکل توابع سر و کار داریم تا مفهوم جبری.

به عنوان مثال تابع موج ساده سینوسی (cos(ωt-kx در نظر بگیریم، این تابع از جایی به دست نمیاد، بلکه ابتدا خودمون اونو تعریف می کنیم، تا حالتی رو که مد نظرمون هست رو روی کاغذ بیاریم، بعد برای اجزای این تابع تعببیر فیزیکی به کار می بریم، مثل طول موج، دامنه، فرکانس ...

در اینجا بر خلاف ریاضی دوره تناوب، مفهوم مستقل فیزیکی خودشو داره، به عنوان مثال در این تابع دوره تناوب متغیر x یعنی طول موج، معنی کاملا متفاوتی با دوره تناوب متغیر t یعنی بسامد داره، ولی از دید ریاضی(جبری) تفاوت چندانی وجود نداره.

[Vita]

باید بیشتر روش فکر کنم 3:

[Cartouche]

حالا که این سوال برای ِ شما پیش اومده، دوست دارم با معرفی تابع ِ شاخص ِ گویا ِ دیریکله، بیشتر ِ سوالتون رو گره بزنم!
اگر با این تابع آشنا نیستید، در موردش جستجو کنید، اما نکته ی ِ مهم این هست که برخی مردم فکر میکنند که تابع ِ دیریکله، متناوب هست!
راجع به این فکر ِ مردم، فکر کنید، و ببینید اصلن اگر درست هست، میتونید براش یک دوره تناوب ( و همینطور دوره تناوب اساسی) بیابید.

[Vita]

من فکر می کنم منشأ این فکر مردم تصوریه که از نمودار تابع تو ذهنشون دارن. نمودار این تابعو نمی شه رسم کرد، نهایتش چند تا نقطه روی خط y=0 و y=1 می ذاریم؛ این طوری به نظر میاد نقطه های روی هر خط با نظم خاصی تکرار میشن. ولی ما هرگز نمی تونیم فاصله ی بین دو عدد گویای متوالی رو مشخص کنیم (؟)، و نه فاصله ی بین دو عدد گویای گنگ متوالی رو (؟)، و نه فاصله ی بین یک عدد گویا و یک عدد گنگ متوالی رو (؟). فکر می کنم صحبت کردن از دو عدد گویا یا گنگ متوالی، یا یک عدد گویا و یک عدد گنگ متوالی بی معنیه... اگه a یک عدد گویا باشه، نمی شه گفت عدد گویایی که بلافاصله بعدش میاد چیه، میشه؟!؟!؟

[Vita]

هنوزم نمی فهمم وجود دوره ی تناوب اصلی شرط لازم برای متناوب نامیدن تابع هست یا نه!

پاسخ آقای Yellow Rose برام جالب بود، ولی... ای کاش می دونستم چه کسی برای اولین بار تابع متناوبو تعریف کرد.

[Vita]

بابا یکی بیاد منو قانع کنه...!

[user8604]

هنوزم نمی فهمم وجود دوره ی تناوب اصلی شرط لازم برای متناوب نامیدن تابع هست یا نه!

ن

[dusty]

هنوزم نمی فهمم وجود دوره ی تناوب اصلی شرط لازم برای متناوب نامیدن تابع هست یا نه!

نه! شرط لازم نیست.
اما به هر حال، تناوب اصلی ( کوچکترین عدد تناوب )، نقش مهمی در مطالعه تابع داره. بیشتر مواقع هم هدف از تعریف تناوب، همین تناوب اصلیه(اولیه).
---
پس برای تابع ثابت f(x)=c هر عدد x می تونه دوره یک دوره تناوب باشه، ولی دوره تناوب اصلی وجود نیست.

پاسخ آقای Yellow Rose برام جالب بود، ولی... ای کاش می دونستم چه کسی برای اولین بار تابع متناوبو تعریف کرد.

ایده دوره تناوب، ایده دور از ذهنی نیست، که انتظار داشته باشیم شخص خاصی اونو برای اولین بار تعریف کرده باشه.

[Cartouche]

من فکر می کنم منشأ این فکر مردم تصوریه که از نمودار تابع تو ذهنشون دارن. نمودار این تابعو نمی شه رسم کرد، نهایتش چند تا نقطه روی خط y=0 و y=1 می ذاریم؛ این طوری به نظر میاد نقطه های روی هر خط با نظم خاصی تکرار میشن. ولی ما هرگز نمی تونیم فاصله ی بین دو عدد گویای متوالی رو مشخص کنیم (؟)، و نه فاصله ی بین دو عدد گویای گنگ متوالی رو (؟)، و نه فاصله ی بین یک عدد گویا و یک عدد گنگ متوالی رو (؟). فکر می کنم صحبت کردن از دو عدد گویا یا گنگ متوالی، یا یک عدد گویا و یک عدد گنگ متوالی بی معنیه... اگه a یک عدد گویا باشه، نمی شه گفت عدد گویایی که بلافاصله بعدش میاد چیه، میشه؟!؟!؟

نه دیگه. مردم اینقدر ها هم کشکی روی ِ مسائل ِ ریاضی فکر نمیکنن. اتفاقن مردم، در اکثر ِ مواقع خیلی باهوش هستند، بگذریم.
ما تابعی رو متناوب تعریف میکنیم که دو شرط ِ زیر رو داشته باشه:
1) دامنه اش متناوب باشه!
2) T ای وجود داشته باشه، که


البته ممکنه بگید که دامنه متناوب یعنی چی! ما که هنوز تابع ِ متناوب رو تعریف نکردیم، در این مورد باید بگم، سوال ِ خوبی پرسیدید، در این صورت، فعلن دامنه ِ متناوب رو شرطی مثل ِ گزاره ِ (2) بگیرید.
اونها میگویند:
حالا در مورد ِ تابع ِ دیریکله داریم :





حالا یک عدد ِ گویا T در نظر بگیرید.
اگر x گویا باشد، آنگاه x+T هم گویاست، و اگر x گویا نباشد، آنگاه x+T هم گویا نیست،
در نتیجه شرط ِ f(x+T)=f(x) :2 ؛ صادق هست.

حالا ما برای ِ T تنها فرض کردیم که عدد گویاست، حالا T میتونه هر عضوی از مجموعه ِ اعداد ِ گویا بزرگتر ( نه بزرگتر مساوی) از صفر باشه.
اما مجموعه این اعداد ِ گویا، کمترین مقدار ندارد، ( آیا اینفیمم دارد؟) پس ما تناوب ِ اصلی برای ِ T نیافتیم.

شد قضیه ای شبیه به همون تابع ثابت با یک تفاوت ِ اندک ( هم آن قضیه ِ اینفیمم).

پس به این نتیجه رسیدیم، که با تعریفی که از تابع ِ متناوب کردیم، لزومی برای ِ وجود ِ تناوب ِ اصلی، جهت ِ متناوب بودن ِ تابع نیست.
پس فکر میکنم، شما به پاسخ ِ سوال ِ خود رسیدید، ( احتمالن پیشتر هم رسیده بودید)

[Vita]

نه دیگه. مردم اینقدر ها هم کشکی روی ِ مسائل ِ ریاضی فکر نمیکنن. اتفاقن مردم، در اکثر ِ مواقع خیلی باهوش هستند، بگذریم.

اتفاقن منم این حرفو کشکی نزدم. خیلی ها رو دیدم که اینجوری فکر می کنن.

ما تابعی رو متناوب تعریف میکنیم که دو شرط ِ زیر رو داشته باشه:
1) دامنه اش متناوب باشه!
2) T ای وجود داشته باشه، که


...
پس به این نتیجه رسیدیم، که با تعریفی که از تابع ِ متناوب کردیم، لزومی برای ِ وجود ِ تناوب ِ اصلی، جهت ِ متناوب بودن ِ تابع نیست.
پس فکر میکنم، شما به پاسخ ِ سوال ِ خود رسیدید، ( احتمالن پیشتر هم رسیده بودید)

[/quote]
مشکل این جاست که اگه وجود دوره ی تناوب اصلی شرط لازم برای متناوب نامیدن تابع باشه، حتماً در تعریف تابع متناوب ذکر میشه. بنابراین شما نمی تونید اول خودتون تابع متناوبو تعریف کنید، بعد بیاین نتیجه بگیرین که پس نیازی به دوره ی تناوب اصلی نداریم.

[Cartouche]

مشکل این جاست که اگه وجود دوره ی تناوب اصلی شرط لازم برای متناوب نامیدن تابع باشه، حتماً در تعریف تابع متناوب ذکر میشه. بنابراین شما نمی تونید اول خودتون تابع متناوبو تعریف کنید، بعد بیاین نتیجه بگیرین که پس نیازی به دوره ی تناوب اصلی نداریم.

بله، حق با شماست، طبیعی هست که شما میتونید مطابق ِ خواسته ی ِ خودتون تعریف کنید.
من هم در انتها، ( که خودتون بُلد کردید) عرض کردم که :نتیجه گرفتم که از روی ِ تعریف ِ من ( که تعریف ِ استاندارد هست) نمیشه نتیجه گرفت.
بدیهی هست که شما میتونید تابع ِ متناوب رو طور ِ دیگه ای تعریف کنید و اون شرط هم بگنجونین، اما من ندیدم کسی تابع متناوب رو اونطوری تعریف کنه، و همین تعریفی که من کردم، رایج هست.