پاسخ معادله درجه دوم

[baby_1]

سلام
در معادلات درجه دوم چرا در کتابهای مهندسی به جای جواب نمایی از فرم سینوسی و کسینوسی استفاده می شود ؟یا شاید من قسمتی را اشتباه می کنم.به عنوان مثال این عبارت را ببینید

این را به صورت درجه دو حل کنیم دو ریشه 0 و 25- خواهیم داشت که جوابها به صورت زیر خواهند بود

این در حالی هست که در کتاب نوشته است


در صورتی که به فرم هایپربولیکی بود کمی می شد با فرض اینکه نمایی های حقیقی به این فرمها رسید اما سینوس و کسینوس با نمایی موهومی تولید می شوند.متن اصلی کتاب


پیشاپیش از پاسختون متشکرم

[ehsan.helli1]

به خاطر اینکه جواب نمایی میشه e به توان i ضرب در یک چیز هایی که اگر بسط تیلور بدی اون عبارت رو یا از قانون دمواور استفاده کنی میتونی اون رو به صورت فرم سینوسی یا کسینوسی بنویسی ولی باید دقت کنی که فقط قسمت حقیقی رو نگه داریم.و یک جواب سینوسی داریم و یک جواب کسینوسی و چون معادله دیفرانسیلمون همگن هستش هر ترکیب خطی این دو جواب یک جواب عمومی خواهد بود!

[electro gravity]

آره دیگه اگه به فرم سینوسی و کسینوسی بری باید نماد های موهومی بکار ببری
بذار از دو راه برات حلش کنم تا کاملا متوجه بشی:
روش اول روشی که شما رفتی:
ابتدا به جای ux کمیت را قرار میدهیم:

همونطور که میدونید

و

بنابرین معادله ساده میشه:

حال از e فاکتور میگیریم:

که پس از حل دو جواب بدست میاد:






و از آنجایی که

پس این دو را جمع کرده و میشود همان جواب شما
ادامه دارد ....

[electro gravity]

فکر کنم مشکلتون از اینجا باشه:
این عبارت اصلا مساوی با عبارت درون کتاب نیست

در کتاب مشتق دوم میشه:



در صورتی که مشتق دوم معادله شما باز هم یک معادله دیفرانسیلیه:



و در نتیجه جواب کتاب درسته مشکل از جواب شماست

[ehsan.helli1]

حق با ایشونه!شما اصلا معادله دیفرانسیل درستی تشکیل ندادی.این معادله دیفرانسیل دقیقا معادله دیفرانسیل یک حرکت نوسانی ساده دو بعدی هستش.یعنی اگر یک جسم رو در این میدان بزاریم شروع به چرخیدن میکنه.یادمه حل اینجور معادلات رو یک بار از طریق کرل دیده بودم ولی الان یادم نمیاد دقیق

[baby_1]

سلام و متشکرم از پاسختون
بله ، حق باشماست ، پس احتمالا این معادله روش خاص دیگری دارد ، منم دقیقا دنبال چگونگی حل شدن جواب های عمومی این مسئله هستم که اگر همراهی یا راهنمایی بفرمایید متشکر می شوم

[electro gravity]

که اگه بخواهیم به فرم نمایی بنویسیم میشه:



نه اون چیزی که شما نوشتی و ما ناچاریم از عبارت موهومی استفاده کنیم
که ایندو خیلی با هم فرق میکنند:
اون یکی برداری خطی و نمایی میشه
ولی در این یکی ما دوره تناوب داریم و بردارش برداری دایره ای شکل و سینوسی میشه

[ehsan.helli1]

حل عمومی این معادله همانی هستش که شما میگی.e به توان st رو در معادله میندازی و معادلت رو تبدیل میکنی به یک معادله توانی.از حل این معادله s به دست میاد.ولی یک سری نکات ظریف داره مثلا وقتی ریشه مضاعف ایجاد شه و .... که خیلی طولانی هستش گفتنش

[electro gravity]

سلام و متشکرم از پاسختون
بله ، حق باشماست ، پس احتمالا این معادله روش خاص دیگری دارد ، منم دقیقا دنبال چگونگی حل شدن جواب های عمومی این مسئله هستم که اگر همراهی یا راهنمایی بفرمایید متشکر می شوم

راه حلش که زیاده
از دو سه راه میشه حلش کرد که یکیش همان اضافه کردن e است
از راه لاپلاس و روش انتگرالی و ... هم حل میشه که خیلی طولانیه
بهترینش همین روش اضافه کردن e است
کجای حلش مشکل دارید؟

[baby_1]

سلام و متشکرم از پاسخ هاتون
مشکل اصلی من این هست که چرا در ای معادله که به فرم درجه دوم هست و جواب ریشه های حقیقی شده است به صورت e به توان عدد موهومی بنویسیم؟ چون اگر حتی ریشه ها مختلط شود به فرم

نوشته می شود که در آن a قسمت حقیقی ریشه و b قسمت موهومی جواب هست اما در این معادله ریشه ها
1-به صورت حقیقی به دست آمدند
2-قسمت موهومی برابر صفر دارند.
پس همین فرم سینوس و کسینوسی آن هم باید صفر لحاظ شود.

پس به طبع نمایی با ریشه های حقیقی ، جواب برای راحتی نباید توان موهومی نباید ظاهر شود.

اگر بدین صورت بخوایم حتما شیوه ی حلی ارائه بدیم شاید نه زیاد یادگیری در کار باشد و نه بتوان ان را جامعیت برای معادلاتی به این فرم داد و این گونه می شود که هم برای معادلات معمولی و بدین شکل نتوان تفاوت یا جواب درستی قائل شد.

پس به صورت کلی سوالات
1-چرا به فرم معادله درجه دوم در این سوال به جواب نرسیدیم؟
2-چه موقع از فرم e به توان موهومی ریشه ها استفاده می کنیم؟ معادلات باید دارای چه خصوصیاتی باشند؟
3-این فرم از جواب از چه دسته معادلاتی و به چه نامی نشات گرفته اند؟ و شیوه حل کلی آنها به چه صورت هست( به عنوان مثال لاگرانژ و ....)
4-رفرنس یا منبع آموزشی که این قسمت را به خوبی پوشش داده باشد؟

پیشاپیش از پاسختون سپاسگزارم

[ehsan.helli1]

سلام و متشکرم از پاسخ هاتون
مشکل اصلی من این هست که چرا در ای معادله که به فرم درجه دوم هست و جواب ریشه های حقیقی شده است به صورت e به توان عدد موهومی بنویسیم؟ چون اگر حتی ریشه ها مختلط شود به فرم
[ تصویر ]
نوشته می شود که در آن a قسمت حقیقی ریشه و b قسمت موهومی جواب هست اما در این معادله ریشه ها
در معادله شما همین a که خودتون نوشتید صفره
1-به صورت حقیقی به دست آمدند
2-قسمت موهومی برابر صفر دارند.
پس همین فرم سینوس و کسینوسی آن هم باید صفر لحاظ شود.

پس به طبع نمایی با ریشه های حقیقی ، جواب برای راحتی نباید توان موهومی نباید ظاهر شود.

اگر بدین صورت بخوایم حتما شیوه ی حلی ارائه بدیم شاید نه زیاد یادگیری در کار باشد و نه بتوان ان را جامعیت برای معادلاتی به این فرم داد و این گونه می شود که هم برای معادلات معمولی و بدین شکل نتوان تفاوت یا جواب درستی قائل شد.

پس به صورت کلی سوالات
1-چرا به فرم معادله درجه دوم در این سوال به جواب نرسیدیم؟
2-چه موقع از فرم e به توان موهومی ریشه ها استفاده می کنیم؟ معادلات باید دارای چه خصوصیاتی باشند؟
3-این فرم از جواب از چه دسته معادلاتی و به چه نامی نشات گرفته اند؟ و شیوه حل کلی آنها به چه صورت هست( به عنوان مثال لاگرانژ و ....)
4-رفرنس یا منبع آموزشی که این قسمت را به خوبی پوشش داده باشد؟

پیشاپیش از پاسختون سپاسگزارم

[electro gravity]

سلام و متشکرم از پاسخ هاتون
مشکل اصلی من این هست که چرا در ای معادله که به فرم درجه دوم هست و جواب ریشه های حقیقی شده است به صورت e به توان عدد موهومی بنویسیم؟ چون اگر حتی ریشه ها مختلط شود به فرم
[ تصویر ]
نوشته می شود که در آن a قسمت حقیقی ریشه و b قسمت موهومی جواب هست اما در این معادله ریشه ها
1-به صورت حقیقی به دست آمدند
2-قسمت موهومی برابر صفر دارند.
پس همین فرم سینوس و کسینوسی آن هم باید صفر لحاظ شود.

پس به طبع نمایی با ریشه های حقیقی ، جواب برای راحتی نباید توان موهومی نباید ظاهر شود.

اگر بدین صورت بخوایم حتما شیوه ی حلی ارائه بدیم شاید نه زیاد یادگیری در کار باشد و نه بتوان ان را جامعیت برای معادلاتی به این فرم داد و این گونه می شود که هم برای معادلات معمولی و بدین شکل نتوان تفاوت یا جواب درستی قائل شد.

پس به صورت کلی سوالات
1-چرا به فرم معادله درجه دوم در این سوال به جواب نرسیدیم؟
2-چه موقع از فرم e به توان موهومی ریشه ها استفاده می کنیم؟ معادلات باید دارای چه خصوصیاتی باشند؟
3-این فرم از جواب از چه دسته معادلاتی و به چه نامی نشات گرفته اند؟ و شیوه حل کلی آنها به چه صورت هست( به عنوان مثال لاگرانژ و ....)
4-رفرنس یا منبع آموزشی که این قسمت را به خوبی پوشش داده باشد؟

پیشاپیش از پاسختون سپاسگزارم

خیر ریشه ها به صورت موهومی بدست می آیند:
5i و 5i-



که طبق فرمول اویلر یعنی:



تبدیل میشود به:

دسته بندیشون میکنیم:

اما در اینجا کتاب دوباره به جای c1+c2 حرف c1 را تعریف کرده و به جای i(c1+c2) ، c2 را تعریف کرده که میشه همون جواب کتاب ولی در اصل به این صورته:

که موهومی شدنش به این دلیله که توان 2 برابر با عددی منفی شده یعنی:



که در نتیجه ریشه ها میشه i5 و i5-

[baby_1]

سلام
جناب electro gravity از اینکه مثل همیشه همراه و به نحوی استاد من در انجن هستین بسیار سپاسگزارم
در معادله ی

معادله مشخصه برابر است با

که یکی از ریشه ها صفر و دیگری 5 هست و این معادله مشخصه ریشه موهومی ندارد.اگر عبارت به صورت

بود معادله مشخصه به صورت زیر

و همانطور که مشخص است دو ریشه موهومی و مثبت و منفی 5i دارد اما در معادله اصلی ریشه ها غیر مختلط هستند

[ehsan.helli1]

معادله شما اشتباه هستش خوب و با معادله کتاب فرق داره!شما حل کدوم رو میخوای؟

[baby_1]

سلام جناب ehsan.helli1
دنبال روش کلی حل این گونه از معادلات هستم که چرا با شیوه معادله درجه دوم که حل می کنم به تناقض در جواب می رسم ، می خوام ببینم جواب عمومی کتاب را چگونه از معادله ابتدای این پست بتوان به دست آورد ؟