هوپا، انجمن علم ایران

اگر بخواهیم یک جمع بندی نسبی از بحث داشته باشیم، میتوان گفت
که تا کنون آن پارادوکس از دو جهت مورد انتقاد بوده:

*انتقاد اول، صحت عبارت "x-بار" را بطور جداگانه مورد پرسش و تردید قرار میدهد
و استفاده از چنان عبارت یا مفهومی را محدود به اعداد صحیح میداند.
اگر این انتقاد بخواهد درست باشد، باید ثابت شود که "x-بار" برای x های غیر
صحیح، به لحاظ جبری یا آنالیز از پایه نادرست محسوب میشود. و در اینصورت،
پرونده پارادوکس همینجا بسته شده و نیازی به بررسی ادامه محاسبات نخواهد بود.

*انتقاد دوم، خود مفهوم عبارت "x-بار" را بطور مستقیم هدف قرار نمیدهد
بلکه مشکل را از آنجا میداند که در سراسر محاسبات، آن عبارت در مشتق گیری
به هیچ نحوی لحاظ نشده است (به بیان دیگر: تغییرات "x-بار" در محاسبات نیامده).
این ایراد البته وارد است و مثالی که جناب مفتاح پور آوردند، موضوع را روشن تر میکند.
اگر این انتقاد هم بخواهد پایان بخش پارادوکس باشد، آنگاه باید دید که تغییرات "x-بار"
را به چه نحو میتوان در آن محاسبات اضافه کرد و آیا با چنان تغییری، نهایتا پاسخ درست
(2x ) حاصل می آید؟


------------------------------------------------------------------------------------------------------------
سپاس از دوستان که بحث را با نگاه چند جانبه پیش میبرند. به هر روی، اینگونه موضوع ها مانند
سفر به ریشه های ریاضیات هستند، سفری که برای هرکس میتواند تجربه و دستاورد خاصی
به دنبال بیاورد. از اینرو آنها را نمیتوان هیچگاه دست کم گرفت.

خروش نوشته شده:"بار" در شمردن شماره هایی از مجموعه ناشمارا هم به کار می رود؟

Kardinalzahlen.jpg

دقیقا خروش عزیز، اینها مسائلی هستند که می باید به آنها پرداخت. نمونه زیر هم
پرسش دیگریست که شاید بتواند برای گسترش بیشتر بحث سودمند باشد:

یه چیزی رو نادیده میگیرید و اون گسستگی و پیوستگی تابع ضرب و شمارشه.
مثل تفاوت سیگما و انتگرال

با سلام
اگر تعریف ما از بار همان ضرب باشد قاعدتا فرقی نمی کند. فکر کنم بیشتر به تعریف این مفهومها برای حالت غیر صحیح دارد. مثلا ما فاکتوریل رو برای اعداد از ضرب متوالی آنها تعریف می کنیم.
n!=1*2*...*n ولی میتوانیم برای اعداد منفی و یا غیر طبیعی هم بسط دهیم. مثلا یک دوم فاکتوریل برابر رادیکال پی دوم

برا وارد کردن بارها خودتون بهتر می دونید که از مشتق. u*v
استفاده می کنیم


اصلا پی تا صد یا صد تا پی هیچ فرقی ندارند


همان طور که عدد پی گنگ است تعداد پی بار گنگ است

یا همان قدر که دویست عدد خوش رفتاریست تعداد دویست هم خوب است

در ادامه ی صحبت های jhvh و پاسخ به:

دقیقا خروش عزیز، اینها مسائلی هستند که می باید به آنها پرداخت. نمونه زیر هم
پرسش دیگریست که شاید بتواند برای گسترش بیشتر بحث سودمند باشد:

و

*انتقاد اول، صحت عبارت "x-بار" را بطور جداگانه مورد پرسش و تردید قرار میدهد
و استفاده از چنان عبارت یا مفهومی را محدود به اعداد صحیح میداند.
اگر این انتقاد بخواهد درست باشد، باید ثابت شود که "x-بار" برای x های غیر
صحیح، به لحاظ جبری یا آنالیز از پایه نادرست محسوب میشود. و در اینصورت،
پرونده پارادوکس همینجا بسته شده و نیازی به بررسی ادامه محاسبات نخواهد بود.

1-در جبر مقدماتی اعداد حقیقی میدونیم ضرب دو عدد جابجا پذیره(xy=yx)
2-تعریف ضرب:(ویکی پدیا)به چند بار جمع کردن یک عدد با خودش ضرب می‌گویند.
از دو تعریف بالا در می یابیم که:
طبق 1: [tex]A=200\pi =\pi 200[/tex]
و طبق 2: تفاوتی میان "200 بار پی باخودش جمع شود"و "پی بار 200 با خودش جمع شود" نیست.
و در مورد انتقاد اول باید بگم اگر "x-بار" جمع تابعی را فقط برای اعداد صحیح بدانیم در واقع با تعریف های ضرب اعداد حقیقی(تعریف های 1و2) مشکل پیدا خواهیم کرد.
ما میدونیم ضرب اعداد حقیقی جابجا پذیره و از تعریف 2 هم پیروی میکنه.(به قول jhvh :خواه عدد گنگ باشه یا نه)
پس تابع مشکلی نداره!

mmeftahpour نوشته:

عملگر ایکس بار جمع رو اگر معادل سیگما بگیریم،شاید به راحتی نتونیم بگیم معادل ضرب هست

ولی ما ضرب رو این طور تعریف می کنیم.



به نظر من انتقاد دوم درسته
ما میتونیم این عبارت رو به این شکل بنویسیم:
[tex]f(x)=\sum_{i=1}^{x}x_{i}\; \; ,x_{i}=x[/tex]
و مشتق ان:
[tex]f'(x)=(\sum_{i=1}^{x}x_{i})'\; \; ,x_{i}=x[/tex]
حالا این که چطور پرانتز رو باز کنیم ...؟

به نظر من ابهام در همان عبارت "[tex]x[/tex] بار" است.
باید ببینیم که منظور از آن دقیقاً چیست.
هر "1 بار" متناظر است با افزودن یک [tex]x[/tex] .

وقتی می نویسیم "[tex]n[/tex] بار" ([tex]n\in \mathbb{N}[/tex])
یعنی [tex]n[/tex] تا "1 بار" که در هر یک بار، یک [tex]x[/tex] به مقدار پیشین افزوده ایم.
که در مجموع [tex]nx[/tex] خواهیم داشت.

وقتی می نویسیم "[tex]\epsilon[/tex] بار" [tex]\left (\epsilon \in \left ( 0,1 \right ) \right )[/tex]
یعنی [tex]\epsilon[/tex] تا "1 بار" که هربار متناظر است با افزودن یک [tex]x[/tex] که در مجموع [tex]x[/tex][tex]\epsilon[/tex] خواهیم داشت.

در عبارت A وقتی می گوییم [tex]\pi[/tex] بار یعنی 3 بار بعلاوه ی 0.1415 بار، درهر بار 200
اضافه می کنیم. پس در سه بار مقدار [tex]3\times 200[/tex] و در 0.1415 بار مقدار [tex]0.1415\times 200[/tex] افزوده می شود.
پس [tex]x[/tex] رو به صورت دو قسمت صحیح و اعشاری در نظر می گیریم و این عبارت رو به اینصورت می نویسیم:

[tex]f(x)=\underset{\left \lfloor {x} \right \rfloor\text{-times}}{\underbrace{x+x+x+...}}+\left \{ x \right \}x[/tex]
[tex]{f}'\left ( x \right )=\underset{\left \lfloor {x} \right \rfloor \text{-times}}{\underbrace{1+1+1+...}}+\frac{d}{dx}\left ( \left \{ x \right \}x \right )=\left \lfloor {x} \right \rfloor+\left \{ x \right \}+x=2x[/tex]

البته مشکل اینجاست که باز هم [tex]x[/tex] بار در مشتق گیری در نظر گرفته نمی شود.

سپاس پالسار عزیز. نگارش x به شکل مجموع [x] و {x} روش خوبی برای درک بهتر و یافتن محل پارادوکس است
اما در عین حال، محاسبات را نیازمند دقتی مضاعف نیز خواهد کرد ( بخاطر مشتق پذیر نبودن تابع های [x] و {x} ).
اما گمان میکنم که هنوز مواردی در محاسبات نادیده گرفته شده. به دید من شاید اینگونه بهتر باشد:

*امیدوارم تصویر خوانا باشد (اگر رویش کلیک کنید، امکان زوم کردن هم وجود دارد)

در مشتق گیری (بار دوم) شما نوشته اید:

من چند تا سوال داشتم:
1-مشتق "3" رو چطور از رابطه ی "1" به دست اوردید؟
2-مشتق "4" رو چطور از رابطه ی "2" به دست اوردید؟
در واقع در رابطه ی شماره ی "1" نوشته شده [x]-بار ، x با هم جمع شود،درسته؟پس "3" چطور به دست اومده؟
ایا از قاعده ی ضرب لایب نیتس می خواستید استفاده کنید؟
اگر غیر از اینه لطفا در موردش توضیح بدید.



من فکر میکنم از این روش هم بشه پیداش کرد:
ابتدا یک "ثابت ضرب در یک متغییر" را در نظر میگیرم مثل:
[tex]f(x)=cx[/tex]
حالا ازش مشتق میگیرم:
[tex]f(x)'=c[/tex]


حالا میام از تعریف ضرب و جابجاپذیری ضرب استفاده میکنم و مینویسم:
[tex]f(x)=cx=\sum_{i=1}^{c}x=\sum_{i=1}^{x}c[/tex]
انشاالله که همه اینو قبول دارید؟!!
حالا از [tex]f(x)=\sum_{i=1}^{c}x[/tex] مشتق میگیرم و میدونم چون با عبارت اصلی من برابره پس مشتقش باید c باشه:

[tex]f'(x)=(\sum_{i=1}^{c}x)'=\sum_{i=1}^{c}x'=\sum_{i=1}^{c}1=c[/tex]

حالا از عبارت بعدی مشتق میگیرم و میدونم که باز هم باید مشتقش c باشه:
[tex]f'(x)=(\sum_{i=1}^{x}c)'=(\sum_{i=1}^{x})'c=\sum_{i=1}^{x'}c=\sum_{i=1}^{1}c=c[/tex]

پس متوجه شدیم که چه متغییر روی سیگما و یا مقابل سیگما باشد چگونه می توان از ان مشتق گرفت.


حالا اگه داشته باشیم [tex]f(x)=\sum_{i=1}^{x}x[/tex] هر بار یکی از x ها را ثابت و دیگری را متغییر در نظر میگیریم و دو عبارت رو با هم جمع میکنیم:

[tex]f'(x)=(\sum_{i=1}^{x}x)'=\sum_{i=1}^{x}(x)'+\sum_{i=1}^{x'}x=\sum_{i=1}^{x}1+\sum_{i=1}^{1}x=x+x=2x[/tex]

البته این قاعده در مورد مثلا [tex]f(x)=(x+a)^{2}[/tex] هم جواب میده:

[tex]f(x)=(x+a)^{2}\; \Rightarrow \; f'(x)=2(x+a)[/tex]

[tex]f(x)=\sum_{i=1}^{x+a}x+a\; \Rightarrow \; f'(x)=\sum_{i=1}^{(x+a)'}(x+a)+\sum_{i=1}^{x+a}(x+a)'\; =\sum_{i=1}^{1}(x+a)+\sum_{i=1}^{x+a}1=(x+a)+(x+a)=2(x+a)[/tex]

فکر کنم که همون قاعده ی لایب نیتس برای ضرب باشه.

m.s.f نوشته شده:در مشتق گیری (بار دوم) شما نوشته اید:
[ تصویر ]
من چند تا سوال داشتم:
1-مشتق "3" رو چطور از رابطه ی "1" به دست اوردید؟
2-مشتق "4" رو چطور از رابطه ی "2" به دست اوردید؟

پارادوکس از اینجا ریشه می گیرد که پیش از مشتق گیری باید آشکار
کنیم که دقیقاً منظور از [tex]x[/tex] بار چیست و داریم از چه مشتق می گیریم:

[tex]2x[/tex]

اول که شما هنوز نگفتید دقیقا مشتق های 3 و 4 رو چطور از 1 و 2 به دست اوردید!!!

دوم این که به قولی، قسمت جزء صحیح رو از غیر صحیح جدا میکنید(که دردی رو دوا نمیکنه). باید بشه بدون در نظر گرفتن این مورد ثابت کرد.

سوم: با این حال اگر هم قسمت جزء صحیح و غیر صحیح رو از هم جدا کنید (که کردید)؛ باز هم نگفتید که از x-بار چطور مشتق بگیریم بلکه

فقط گفتید:(x-بار "x") که همون x به توان دوه و بعد صحیح رو از غیر صحیح جدا کردید و مثل x.x ازش مشتق گرفتید.

در واقع هیچ جایی شما و پین از عبارت "x-بار" مشتق نگرفتید بلکه در نظر گرفتید x-بار x که همون x به توان دوه...!

اگه ما بخوایم از روش شما استفاده کنیم نیازی به جدا سازی هم نیست و می توان مشتق گرفت.

به نظر من نباید از عبارت معادل،یعنی x به توان دو استفاده بشه بلکه باید مستقیما از [tex]f(x)=\sum_{i=1}^{x}x[/tex] مشتق بگیرید.

m.s.f گرامی، فکر میکنم شما هم استدلال درستی آورده اید.
میتوان گفت که در درازای گفتگوها، ابتدا از عبارت "x-بار" (برای x های غیر صحیح) به
نوعی رفع اتهام شد و معلوم گردید که چنین عبارتی را (وقتی در معنای ضرب باشد)
میتوان برای هر x (چه صحیح، چه حقیقی، چه گنگ و...) به کار بست. پس مسئولیت
آن پارادوکس به دوش این عبارت نبوده. در گام بعد، بحث به آنسو پیش رفت که اگر "x-بار"
در معنای "ضرب" است، پس می باید در مشتق گیری هم لحاظ شود. مشتق گیری از آن
(چون در معنای ضرب است) همانگونه صورت میگیرد که برای "ضرب" متغیرها انجام میشود
(و چنین است که عبارت 3 و 4 از مشتق گیری 1و 2 حاصل میشود).
شما این کار را با مفهوم سری پیش بردید، پالسار ایده جداسازی را مطرح کردند و آنگونه
توضیحش دادند. dusty هم در حالت عادی (بدون جداسازی) در صفحه قبل نشانش دادند.

پس موضوع اصلی و سرچشمه پارادوکس، در نظر نگرفتن تغییرات "x-بار" (در معنای "ضرب")
بود که شما و دیگر دوستان، با شیوه های گوناگون آن را نشان دادید و معلوم شد که با
در نظر گرفته شدن آن، سرانجام پاسخ درست نیز حاصل می آید.


-------------------------------------------------------------------------------------------------
- بنده در طول هفته، تنها یک یا دو روز فرصت آمدن و شرکت در گفتگو را می یابم.
بنابراین اگر نتوانسته ام به موقع در بحث حاضر باشم، از همگی عذرخواهی میکنم.
شاید اگر تالار ریاضی سرپرست بهتر و منظم تری میداشت، گفتگو ها نیز با نظم و
روال بهتری به پیش میرفت.
همچنین از دوستان تشکر میکنم که با همفکری، بحث ها را با دقت و حوصله دنبال
میفرمایند. همین همفکری هاست که زیبایی و آموزنده بودن بحث را دوچندان میکند.
اصلا میتوانیم برویم در لغت نامه "دهخدا"، معنای تازه ای بنشانیم برای ریاضیات:
"ریاضی ورزشی است فردی یا گروهی که در هر حرکتش میتوان چیزی آموخت و
لذت برد"

"E" کار را آغاز میکند. کدام ها آسیب می بینند و کدام ها جان سالم به در خواهند برد؟

*برای آغاز بحث، میتوان حرکت ها را از نوع غلطش و
توزیع جرم ها را نیز یکنواخت گرفت.

فقط D می میره
دایره تا رسیدن بهش 2*Pi راه می ره یعنی سر تورفتش دوباره رو به بالا قرار می گیره و سر دی رو له می کنه. ولی به دلیل اختلاف وزنی نمی تونه دایره کامل رو تا انتها بلند کنه و در نهایت دایره کامل پایین میاد و تموم می شه.