هوپا، انجمن علم ایران

باسلام

چرا؟

باسلام

عالی بود مفتاح پور عزیز
از روی شکل شما میتوان گفت که OC نیز با y برابر است و در واقع، کلید حل مساله
آن است که مثلث ODA با مثلث OCB برابر است. برای بیان هندسی آن نیز شیوه
خوبی وجود دارد:
http://www.cut-the-knot.org/proofs/Semicircles.shtml

.....

خیلی جالبه. یک زمانی داشتم درباره ی این دلگون جستجو می کردم
که با این تصاویر برخورد کردم. آنموقع دنبال چراییش نرفتم ولی حالا که
شما این پرسش رو گذاشتید،کنجکاو شدم تا خودم هم امتحان بکنم.
برای همین در ظهر هنگام که خورشید وسط آسمان بود با یک فنجان
دست به آزمودن این پدیده زدم!

از این آزمایش چند چیز دستگیرم شد:
وقتی خورشید عمود بر سطح فنجان بتابد منحنی دلگون نیست:



برای ساخته شدن دلگون باید کمی فنجان رو کج کنیم تا تابش مایل باشه نه عمود:


اون نقطه ی پرنور در هر دو عکس تصویر خورشید هست که برای
اینکه دلگون ساخته بشه این نقطه باید نزدیک دیواره باشه
و همیشه تصویر خورشید روبروی تکینگی دلگون هستش.
تنها با فنجانهایی که دایره ای هستند دلگون ساخته میشه.
با یک قنددان بیضی شکل امتحان کردم و دلگون نبود (شاید یک منحنی دیگری بود).

استدلال من به این گونه است که فرض کنیم چشمه ی نور در دیواره ی دایره ایِ فنجان باشه
هر پرتوی که از این چشمه به دیواره برخورد می کنه، محور بازتابش، از نقطه ی برخورد و مرکز دایره
می گذره و زاویه ی بازتابش رو راحت میتونیم پیدا کنیم. اگر شماری از پرتوها رو رسم کنیم، شبحی
از دلگون ظاهر میشه:


البته باید با ریاضیات نشون بدیم که این حتماً یک دلگونه
و معادله ی اون رو بدست بیاریم تا پاسخ کامل بشه.

ضمن تشکر از پین عزیز که همیشه مطالبی رو طرح می کنن که در عین سادگی مفاهیم عمیقی رو در خود دارن.



وقتی نور بصورت یک پرتو موازی از چشمه دور و با زاویه خاص بتابه



(حقیقتش کلیاتش رو خودم متوچه شدم ولی فرمول بندی ریاضی دلگون رو از سایتهای زیر دیدم
http://mathworld.wolfram.com/Catacaustic.html
http://www.geom.uiuc.edu/~fjw/calc-init ... elope.html
http://www.antoniosiber.org/bruno_pauns_caustic_en.html
http://www.phikwadraat.nl/huygens_cusp_of_tea/

mmeftahpour نوشته شده:وقتی نور بصورت یک پرتو موازی از چشمه دور و با زاویه خاص بتابه

ولی برای پرتوهای موازی، شکل حاصل Nephroid یا قلوه گون هستش و نه دلگون :



تنها برای حالتی که چشمه روی محیط دایره است، شکل دلگونه.

ولی برای پرتوهای موازی، شکل حاصل Nephroid یا قلوه گون هستش و نه دلگون :

پرتوهای خورشید بی شک پرتوهای موازیند. صرفنظر از اینکه شکل تولید شده چی باشه(مم‍کن دلگون باشه و یا نباشه) فرض اولیه مسٔله عوض نمیشه.

پالسار و مفتاح پور عزیز، بسیار سپاسگزارم که این مبحث را به زیبایی پیش بردید.

آزمایش پالسار مبنی بر مایل بودن پرتوها نسبت به فنجان صحیح است (در هر تصویری که از
این پدیده در اینترنت دیده ام، سایه ای درون فنجان دیده میشود که نشان دهنده زاویه مورب
پرتوهاست)
از اشاره جناب مفتاح پور نیز معلوم گردید که بخاطر موازی بودن دسته پرتو ها، یکی از پاسخ ها
میتواند Nephroid باشد (البته از تصویری که پالسار گرامی آورند معلوم است که "قلوه گون" دارای
دو محور تقارن است در حالیکه تصویر داخل فنجان تنها یک محور تقارن دارد. در اینباره باید توجه
داشت آنچه که در آزمایش قابل رویت است تنها نیمه حقیقی Nephroid است که بسیار شبیه
دل گون نیز هست. نیمه دیگر آن که توسط امتداد مجازی پرتو ها تشکیل میشود در فیزیک قابل
رویت نیست).

بنابراین تا اینجا احتمالا بتوان تصویری که تنها در یک نیمه فنجان (با یک منبع نور گسترده) نقش
می بندد را به نیمه Nephroid مربوط دانست (که پارامتر تعیین کننده اش تنها زاویه تابش است).
اما در طرح هایی که تمام محیط فنجان را در بر میگیرد، گویا میباید پارامتر دیگری را دخیل دانست
که همان عمق فنجان یا "تعداد انعکاس ها" است:


که این ذو عامل[4]، نهایتا سبب شکل های گوناگون داخل فنجان ( نیمه Nephroid یا Cardioid یا ..)
خواهد بود.

----------------------------------------------------------------------------------------------------
1- بنده این نتایج را در این مقاله یافتم:
http://duepublico.uni-duisburg-essen.de ... ustic2.PDF
2-تصاویر زیبایی از این پدیده:
http://francis.ziegeltrum.perso.sfr.fr/ ... tique.ppsx

3- احتمالا حالت هایی را نیز بتوان تصور کرد که مثلا با قرا دادن یک لامپ در نزدیکی فنجان،
چشمه نقطه ای نور را شبیه سازی کند. آن بحث هم جداگانه قابل پیگیری ست.

4-به دید من برای یافتن یک راه حل تحلیلی کلی، شاید بهتر باشد پرسش را نه
به شکل ساده شده دو بعدی بلکه به صورت اصلی سه بعدی اش در نظر آورد و
به جای یافتن "منحنی انعکاس"، در پی یافتن "حجم سه بعدی انعکاس" در داخل
فنجان بود که دلگون (یا.... ) مقطع قابل رویت آن است نه خود آن. با این دید، احتمالا
شکل هندسی فنجان (استوانه/مخروط/...) نیز در نتیجه حاصله دخیل خواهد بود.
البته درباره چگونگی پیاده سازی این ایده چندان مطمئن نیستم، راهیست که
هفکری دوستان را طلب میکند.

در ادامه گفته های دوستان بهتره معادله ی منحنی را هم بدست بیاریم تا این بحث کاملتر بشه.


پرتو 1 در نقطه ی [tex]P_{1}[/tex] منعکس میشه. معادله خط پرتو برگشتی که شامل [tex]P_{1}[/tex] با مختصات
[tex]\left ( rcos\theta ,rsin\theta \right )[/tex] و شیب [tex]tg(2\theta)[/tex] هست، عبارت است از:

[tex]x\sin 2\theta -y\cos 2\theta =r\sin\theta[/tex]

و به همین ترتیب برای پرتو برگشتی دوم در نقطه [tex]P_{2}[/tex] و زاویه [tex]\alpha[/tex] داریم:

[tex]x\sin 2\alpha -y\cos 2\alpha =r\sin\alpha[/tex]

این دو خط در [tex]i[/tex] به هم میرسند که برای مؤلفه [tex]x[/tex] آن داریم:

[tex]x_{i}=\frac{r\left ( \sin\alpha \cos 2\theta- sin\theta \cos 2\alpha)}{\sin(2\alpha-2\theta)}[/tex]

اگر این دو پرتو به هم بسیار نزدیک باشند به گونه ای که [tex]\alpha[/tex] به [tex]\theta[/tex] میل کند در اینصورت نقطه ی [tex]i[/tex]
بر نقطه ی [tex]t[/tex] که روی منحنی واقع هست منطبق میشود:




و برای مؤلفه [tex]y[/tex] آن با جایگذاری بدست می آید:

[tex]y_{t}=\frac{r}{4}\left ( 3sin\theta -sin3\theta \right )[/tex]

اینها معادلات پارامتری قلوه گون هستند ولی همانطور که دوستان هم گفتند
بسته به شرایط و در نظرگرفتن پارامترهای دیگر منحنی های مختلفی از خانواده
برون چرخزاد (epicycloid) ممکن است ایجاد شود.