دیورژانس میدان های مرکزی (یا مرکزگرا)

[امید سیدیان]

سلام بچه ها؛

بیایید بحث کنیم!
دیورژانس این دسته میدان ها رو حساب کنید تا بریم مرحله ی بعد:

[امید سیدیان]

هیچکس هیچی نمی خواد بگه!
بچه ها بیاید دیگه ...
سپاس دادن بد نیست ولی دردی رو دوا نمی کنه؛ شرکت کنید،
فوقش جوابتون غلط می شه بالا تر از این که نداریم؟

این بحث حتماً برای خیلی ها از جمله خودم سودمنده،
البته به غیر از اساتید که البته اونا هم خیلی کم میاند هوپا!

[Cartouche]

با توجه به اینکه تابع فقط مولفه ی شعاعی داره،




فعلن نقطه r=0 رو کنار میگذاریم. بنابراین دیورژانس با توجه به رابطه بالا می شود:





موردی که من فکر میکنم شما دوست دارید در موردش بحث کنیم، نقطه ی r=0 است. برای n<0 که مشکلی در این خصوص وجود نداره، چراکه میدان برداری Vn ِ مون تعریف شده و مشتق پذیره و به علاوه درایه ها در ماتریس ژاکوبی تعریف شده اند. اما برای n های مثبت، چیزی که از نظر ریاضی مهمه اینه که اصلن تابع مشتق پذیر نیست و نمیشه راجع به دیورژانس صحبت کرد. البته قضیه دیورژانس به قوت خودش باقیست (به جز نقطه r=0) .
بعضن، غیر ریاضی پیشه ها، فرض میکنند که قضیه دیورژانس همه جا برقراره (حتی r=0) و با استفاده از این قضیه، تعریفی برای دیورژانس میدان مورد نظر ارائه میدهند. (مثلن برای n=2، تعریفی به عنوان تابع دلتا)

[baby_1]

سلام
جناب Cartouche مثل همیشه زحمت حل کامل رو کشیدن اما تنها ذکر این نکته مهم هست که در n=2 حاصل عبارت صفر نمی شود و برای جبران برخی از تناقض های رفتاری دیورژانس از تابع دلتای دیراک استفاده می کنند که یعنی دیورژانس عبارت فوق در n=2 می شود

که برای نمونه فرمول زیر را بررسی می کنیم

می دانیم که دیورژانس جابجایی الکتریکی ، چگالی بار حجمی می شود حالا اگر همین را برای یک بار نقطه ای در مبدا به کار ببریم خواهیم داشت

که یعنی در همه جا چگالی بار صفر هست که به نحوی تناقض محسوب می شود اما حالا اگر عبارت بالا را به کار ببریم خواهیم داشت

که بیانگر درستی مسئله هست(با r=0 حاصل عبارت برابر Q می شود که با فرض چشمه ای بودن بار در مبدا موافق هست)

[امید سیدیان]

هزاران درود
دوستان بزرگوار من داشتم مروری توی حسابان می کردم،
دریافتم که اون مشکل خاصی* که توی قضیه ی دیورژانس به وجود می آد،
به خاطر اینه که یکی از شرط های لازم قضیه ی دیورژانس رو رعایت نمی کنیم (حتی تو برخی کتاب ها آگاهانه نادیده اش می گیرن.)
شرط لازم رو بیان می کنم: در صورتی که:

الف) E ناحیه ی همبند روی

باشه، که سطح بیرونی اش (

) جهت پذیر باشه.
ب) مشتق های جزئی مولفه های میدان

پیوسته باشه.

اونوقت:

خب معلومه که (ب) رو رعایت نکردیم.

و اما سوال من اینه:
شهود شما راجع به این موضوع که دیورژانس میدان عکس مجذوری، (مشخصاً در نقطه ی غیر صفر) صفر می شه چی هست؟

------------------------------------------------------------------------------------------------
* اون مشکل خاص وقتی پیش می آد که ناحیه ی انتگرال گیری اون محیط همبند شامل نقطه ی صفر بشه.

[Cartouche]

جناب Cartouche مثل همیشه زحمت حل کامل رو کشیدن اما تنها ذکر این نکته مهم هست که در n=2 حاصل عبارت صفر نمی شود و برای جبران برخی از تناقض های رفتاری دیورژانس از تابع دلتای دیراک استفاده می کنند که یعنی دیورژانس عبارت فوق در n=2 می شود
تصویر

دیورژانس چنین موجودی برای n=2 همونطوری که عرض کردم، در دامنه تعریف و مشتق پذیری، صفره؛ بحث این تابع دلتا هم دوباره همونطوری عرض کردم و دوباره تاکید می کنم، در حسابان، کلن معنا نداره و بدون بیان مفاهیم اولیه توزیع ها* (شبه تابع ها) ( که در حسابان اصلن اسمشون هم آورده نمیشه) اتصال چنین گزاره هایی نادرسته. این تابع دلتا دیراک رو مهندسان و فیزیکدانان، برای برقراری قضیه دیورژانس در r=0، (که همونطوری که آقای سیدیان گفت که برقرار نیست) بوجود می آوردند تا قضیه دیورژانس که برقرار نیست، برقرار بشه. وگرنه دیورژانس هیچ تناقض رفتاری نداره.

بعضن، غیر ریاضی پیشه ها، فرض میکنند که قضیه دیورژانس همه جا برقراره (حتی r=0) و با استفاده از این قضیه، تعریفی برای دیورژانس میدان مورد نظر ارائه میدهند. (مثلن برای n=2، تعریفی به عنوان تابع دلتا)

----------------------
* بحث این توزیع ها، خیلی مفصل و پیچیده است، شاید اطلاق کلمه عملگر به این توزیع ها بهتر باشه که در درس های پیشرفته تر، مثل PDE تا حدودی به اونها پرداخته میشه.

[baby_1]

سلام
جناب Cartouche قصد جسارت نداشتم شما به عنوان استاد بنده هم توضیحات کامل تری بیان می کنین هم منطق ریاضیات محضی را در هر یک از قضیه ها بررسی می کنید اما چون بچه های مهندسی از کاربردهای فیزیکی دیورژانس استفاده می کنن و همانطوری که جناب "آقای سیدیان" فرمودن قضیه دیورژانس در منطقه ای برای ما به به تناقض رفتاری می رسد بابت همین هم توسط فرم انتگرالی این قضیه در رفع مشکل اقدام می کنیم.بله در ریاضیات تابع دلتای دیراک را اصلا به عنوان تابع خوش تعریف و حتی تابع ریاضی نمی شناسن اما چون پدیده های فیزیکی را در لحظات و مکانهای خاصی تعریف می کند و ابهامات زیادی را رفع می کند از این فرم ریاضی استفاده می کنیم.

و اما سوال من اینه:
شهود شما راجع به این موضوع که دیورژانس میدان عکس مجذوری، (مشخصاً در نقطه ی غیر صفر) صفر می شه چی هست؟

اگر ار دید فیزیکی مسئله بخوایم به موضوع نگاه کنیم و در کتابهای الکترومغناطیس این اصل بررسی می شود موضوع بی نهایت شدن تابع در نقطه ای خاص ، تراکم در نقطه و ... مد نظر قرار می گیرد.به عنوان مثال چگالی یک ذره نقطه ای که در مبدا قرار گرفته است در تمامی نقاط صفر است به جز مبدا که همین باعث می شود در مقدار عددی دیورژانس در همه جا به یک نقطه( مبدا )صفر شوداما با اعمال قضیه دیورژانس و معین کردن کره ای به شعاع r که شامل مبدا شود باعث استقلال تابع از پارامتر r می شود که می توان چشمه یا منبعی که حتی در r نامعین می شود را پیدا و بررسی کرد.