بررسی برخی لم ها و قضیه های ریاضی


بررسی برخی لم ها و قضیه های ریاضی

نوشتهاز سوی امید سیدیان در دوشنبه 16 تير 1393 - 11:31

سلام و درود؛
همان گونه که از نام جستار بر می آد، می خوایم یک سری از لم ها و قضیه های شیرین ریاضی رو بررسی کنیم.
هر کس یک قضیه ای رو پیدا کرد که دید بدرد این این جستار می خورد*، لطفاً بنویسد. اثباتش رو هم سایر دوستان انجام می دند.
قرار نیست همیشه اثبات ها رو کامل و دقیق بیاریم، گاهی خود ایده اثبات کفایت می کنه.

یک قانون ساده هم داریم:
صورت و عنوان قضیه یا لم و یا فَکت رو بُلد (bold) بنویسید.
بهتره با چند تا ساده [اثبات کردن کلاً کار ساده و روتینی نیست!] شروع می کنیم.

لـم:
مجموعه ی زیر مجموعه های هر مجموعه ی n عضوی، شامل 2^{n} عضو است.





--------------------------------------------------------
* مشخصاً بعضی قضیه ها بدرد این جستار نمی خورند،
قضیه هایی مثل قضیه ی چهار رنگ، یا اون هایی که اثبات طاقت فرسا دارند و یا خیلی دشوار هستند.
یک روز پادشاهی بهتر از چهل سال بندگی است
 
سپـاس : 611

ارسـال : 495


نام نویسی: 91/4/15

ذکر نشده

Re: بررسی برخی لم ها و قضیه های ریاضی

نوشتهاز سوی Parmenides در دوشنبه 16 تير 1393 - 13:13

آقای سیدیان نوشته است:لـم:
مجموعه ی زیر مجموعه های هر مجموعه ی n عضوی، شامل 2^{n} عضو است.

مجموعه n عضوی A را در نظر میگیریم:
A به تعداد انتخاب صفر از n، زیر مجموعه صفر عضوی دارد (یک زیر مجموعه تهی).
A به تعداد انتخاب 1 از n، زیر مجموعه یک عضوی دارد.
A به تعداد انتخاب 2 از n، زیر مجموعه دو عضوی دارد.
.
.
.
A به تعداد انتخاب n از n، زیرمجموعه n عضوی دارد (یکی که خود A است).

از فرمول پاسکال، جمع کل این تعدادها می شود 2 به توان n.
No rational argument will have a rational effect on a man who does not want to adopt a rational attitude.

-Karl Popper-
نماد کاربر
 
سپـاس : 856

ارسـال : 1325


نام نویسی: 85/12/28

ذکر نشده

Re: بررسی برخی لم ها و قضیه های ریاضی

نوشتهاز سوی مادلین در دوشنبه 16 تير 1393 - 14:00

آقای سیدیان نوشته است:مجموعه ی زیر مجموعه های هر مجموعه ی n عضوی، شامل 2^{n} عضو است.

اثبات: دقایق 8:00 تا 13:00 در این ویدیو!
 
سپـاس : 76

ارسـال : 99


نام نویسی: 92/5/28

ذکر نشده

Re: بررسی برخی لم ها و قضیه های ریاضی

نوشتهاز سوی امید سیدیان در دوشنبه 16 تير 1393 - 14:24

مادلین نوشته است:اثبات: دقایق 8:00 تا 13:00 در این ویدیو!

بله، اثباتش در جاهای مختلفی هست ولی هدف ما ایجاد یک بستر برای تفکر هست نه بیهوه دنبال اثبات گشتن.

Parmenides نوشته است:از فرمول پاسکال، جمع کل این تعدادها می شود 2 به توان n.

درود بر شما
حالا کسی می تونه این نقل قول رو نشون بده؟
در واقع می خوایم نشون بدیم مجموع درایه های سطرم n ام مثلث خیام-پاسکال، برابر هست با 2^{n}

دقیق تر بگم

لـم:
\sum_{k=0}^{n} 
\begin{pmatrix}
n\\
k
\end{pmatrix}
=2^{n}
یک روز پادشاهی بهتر از چهل سال بندگی است
 
سپـاس : 611

ارسـال : 495


نام نویسی: 91/4/15

ذکر نشده

Re: بررسی برخی لم ها و قضیه های ریاضی

نوشتهاز سوی امید سیدیان در دوشنبه 16 تير 1393 - 19:40

آقای سیدیان نوشته است:
مادلین نوشته است:اثبات: دقایق 8:00 تا 13:00 در این ویدیو!

بله، اثباتش در جاهای مختلفی هست ولی هدف ما ایجاد یک بستر برای تفکر هست نه بیهوه دنبال اثبات گشتن.

Parmenides نوشته است:از فرمول پاسکال، جمع کل این تعدادها می شود 2 به توان n.

درود بر شما
حالا کسی می تونه این نقل قول رو نشون بده؟
در واقع می خوایم نشون بدیم مجموع درایه های سطرم n ام مثلث خیام-پاسکال، برابر هست با 2^{n}

دقیق تر بگم

لـم:
\sum_{k=0}^{n} 
\begin{pmatrix}
n\\
k
\end{pmatrix}
=2^{n}

راهنمایی: به بسط دو جمله ای توجه کنید!
یک روز پادشاهی بهتر از چهل سال بندگی است
 
سپـاس : 611

ارسـال : 495


نام نویسی: 91/4/15

ذکر نشده

Re: بررسی برخی لم ها و قضیه های ریاضی

نوشتهاز سوی ویستاM در دوشنبه 16 تير 1393 - 22:37

درود
تعریف بسط دو جمله ای غیاث الدین جمشید کاشانی:
(a+b)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^{n-k}b^k
حالا به جای aو b عدد 1 رو قرار میدیم
اما اینجور اثبات یه جورایی دور زدن ریاضیه!
واپسین ویرایش بدست ویستاM در سه شنبه 17 تير 1393 - 10:12, رویهم 1 بار.
جهان به حق مدیون ملت و ملیت ایرانی است
با افتخار و غرور ایرانی ام بر سر جهانیان فریاد میزنم که:
من نواده ی کوروش کبیرم
نماد کاربر
 
سپـاس : 345

ارسـال : 399


نام نویسی: 89/5/16

ذکر نشده

Re: بررسی برخی لم ها و قضیه های ریاضی

نوشتهاز سوی ویستاM در دوشنبه 16 تير 1393 - 22:43

گزاره
فرض کنید C و 'C عدد هایی مثبت باشند و به ازای هر عدد طبیعی مانند n داشته باشیم|C&#39;-C|<10^nثابت کنید: C'=C
این گزاره اساس تقریب زدن هاست
اثباتش سر راسته و از برهان خلف ثابت میشه
جهان به حق مدیون ملت و ملیت ایرانی است
با افتخار و غرور ایرانی ام بر سر جهانیان فریاد میزنم که:
من نواده ی کوروش کبیرم
نماد کاربر
 
سپـاس : 345

ارسـال : 399


نام نویسی: 89/5/16

ذکر نشده

Re: بررسی برخی لم ها و قضیه های ریاضی

نوشتهاز سوی mrfane در دوشنبه 16 تير 1393 - 22:58

آقای سیدیان نوشته است:سلام و درود؛
لـم:
مجموعه ی زیر مجموعه های هر مجموعه ی n عضوی، شامل 2^{n} عضو است.


سلام
من نظر خودم درباره ایده اثبات این لم را عرض می کنم:

وقتی می خواهیم یک زیرمجموعه از مجموعه دلخواهی دست کنیم، می توانیم هر کدام از اعضا را در زیرمجموعه بگذاریم، یا نگذاریم. این یعنی هر عضو مجموعه می تواند 2 حالت داشته باشد (حضور و عدم حضور). با استفاده از اصل ضرب نتیجه می گیریم که کل حالت هایی که می توان زیرمجموعه درست کرد عبارتست از ضرب راه های مختلفی که برای هر عضو داریم. یعنی باید n بار 2 را در خودش ضرب کنیم. که می شود 2^{n} smile006
آنچه دانه را شکافت، آن خدای من است.
نماد کاربر
 
سپـاس : 968

ارسـال : 814


شهر: تهران
نام نویسی: 90/9/24

مرد

Re: بررسی برخی لم ها و قضیه های ریاضی

نوشتهاز سوی امید سیدیان در سه شنبه 17 تير 1393 - 12:39

درود بر همه شما
ویستاM نوشته است:درود
تعریف بسط دو جمله ای غیاث الدین جمشید کاشانی:
(a+b)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^{n-k}b^k
حالا به جای aو b عدد 1 رو قرار میدیم
اما اینجور اثبات یه جورایی دور زدن ریاضیه!

درست است.
فقط یک نکته ای رو بگم:
بسط دو جمله ای تعریف نیست و با استقرای ریاضی اثبات می شه، پس هیچ دور زدنی در کار نیست.
کلاً استقرا خیلی قویه...

mrfane نوشته است:
آقای سیدیان نوشته است:سلام و درود؛ً
لـم:
مجموعه ی زیر مجموعه های هر مجموعه ی n عضوی، شامل 2^{n} عضو است.


سلام
من نظر خودم درباره ایده اثبات این لم را عرض می کنم:

وقتی می خواهیم یک زیرمجموعه از مجموعه دلخواهی دست کنیم، می توانیم هر کدام از اعضا را در زیرمجموعه بگذاریم، یا نگذاریم. این یعنی هر عضو مجموعه می تواند 2 حالت داشته باشد (حضور و عدم حضور). با استفاده از اصل ضرب نتیجه می گیریم که کل حالت هایی که می توان زیرمجموعه درست کرد عبارتست از ضرب راه های مختلفی که برای هر عضو داریم. یعنی باید n بار 2 را در خودش ضرب کنیم. که می شود 2^{n} smile006

آفرین این اثبات که از اصل ضرب استفاده می کنه، ساده و زیبا است.
کلاً اصل ضرب یکی از ساده ترین روش ها برای حل مساله های نظریه مجموعه ها است.
واپسین ویرایش بدست امید سیدیان در سه شنبه 17 تير 1393 - 15:19, ویرایش شده در 2.
یک روز پادشاهی بهتر از چهل سال بندگی است
 
سپـاس : 611

ارسـال : 495


نام نویسی: 91/4/15

ذکر نشده

Re: بررسی برخی لم ها و قضیه های ریاضی

نوشتهاز سوی امید سیدیان در سه شنبه 17 تير 1393 - 13:28

ویستاM نوشته است:گزاره
فرض کنید C و 'C عدد هایی مثبت باشند و به ازای هر عدد طبیعی مانند n داشته باشیم|C&#39;-C|<10^nثابت کنید: C'=C
این گزاره اساس تقریب زدن هاست
اثباتش سر راسته و از برهان خلف ثابت میشه

البته یک منفی پشت n کم گذاشته اید.
صورت گزاره رو تکرار می کنم:

گزاره:
فرض کنید C و C&#39; عدد هایی حقیقی باشند و به ازای هر عدد طبیعی مانند n داشته باشیم|C&#39;-C|<10^{-n} ثابت کنید: C&#39;=C

البته در اینجا باید از یکی از نتیجه های اصل ارشمیدسی توی اعداد حقیقی استفاده کنیم.
نتیجه به این صورت هست:
در صورتی 0<x<y باشد، عدد طبیعی n وجود دارد به طوری که: 10^{n}x>y

اثبات
نقیض حکم رو به عنوان فرض خلف در نظر می گیریم:

C&#39;\not=C


|C&#39;-C|>0


نتیجه ی اصل ارشمیدسی:
\exists{n}\in{N};~~~ 10^{n}|C&#39;-C|>10^{n}10^{-n}


|C&#39;-C|>10^{-n}


که البته این نقیض فرض است، پس اثبات کامل است.

\Box
یک روز پادشاهی بهتر از چهل سال بندگی است
 
سپـاس : 611

ارسـال : 495


نام نویسی: 91/4/15

ذکر نشده

Re: بررسی برخی لم ها و قضیه های ریاضی

نوشتهاز سوی ehsan.helli1 در سه شنبه 17 تير 1393 - 20:15

کاش برخی از لم های حل مساءل فیزیک میزاشتید عنوان تاپیک رو
مثلا چیزی که الان به ذهنم میرسه یک سری تغییر متغیر جالب توی حل معادلات بازگشتی یا انتگرال ها هیتش و ...
نماد کاربر
 
سپـاس : 646

ارسـال : 1688


نام: احسان
سن: 22 سال
شهر: تهران
نام نویسی: 90/10/30

مرد

Re: بررسی برخی لم ها و قضیه های ریاضی

نوشتهاز سوی ویستاM در سه شنبه 17 تير 1393 - 21:47

آقای سیدیان نوشته است:
ویستاM نوشته است:گزاره
فرض کنید C و 'C عدد هایی مثبت باشند و به ازای هر عدد طبیعی مانند n داشته باشیم|C&#39;-C|<10^nثابت کنید: C'=C
این گزاره اساس تقریب زدن هاست
اثباتش سر راسته و از برهان خلف ثابت میشه

البته یک منفی پشت n کم گذاشته اید.
صورت گزاره رو تکرار می کنم:

گزاره:
فرض کنید C و C&#39; عدد هایی حقیقی باشند و به ازای هر عدد طبیعی مانند n داشته باشیم|C&#39;-C|<10^{-n} ثابت کنید: C&#39;=C

البته در اینجا باید از یکی از نتیجه های اصل ارشمیدسی توی اعداد حقیقی استفاده کنیم.
نتیجه به این صورت هست:
در صورتی 0<x<y باشد، عدد طبیعی n وجود دارد به طوری که: 10^{n}x>y


اثبات
نقیض حکم رو به عنوان فرض خلف در نظر می گیریم:

C&#39;\not=C


|C&#39;-C|>0


نتیجه ی اصل ارشمیدسی:
\exists{n}\in{N};~~~ 10^{n}|C&#39;-C|>10^{n}10^{-n}


|C&#39;-C|>10^{-n}


که البته این نقیض فرض است، پس اثبات کامل است.

\Box

راست میگید من منفی نذاشته بودم!ممنون از توجهتون
البته اصل ارشمیدسی ریشه اش برمیگرده به یکی از مقالات اصول اقلیدس که بعدا خاصیت ارشمیدسی نامیده شد.
برای توضیح بیشتر برای دوستان باید بگم خاصیت ارشمیدسی به این معناست که وقتی دو کمیت دارای نسبت اند که با افزایش هرکدوم بتونیم به مقداری بیش از دیگری دست پیدا کنیم.
به بیان نمادین:
وقتی دو کمیت aو b دارای نسبت اند که عددهای طبیعی مثل m و n وجود داشته باشد که:
na>b , mb>a
برای رسیدن به چیزی که اقای سیدیان به عنوان نتیجه ی خاصیت ارشمیدسی اوردند باید از گزاره ی زیر استفاده کرد:

فرض کنید e و C اعداد مثبتی باشند در این صورت اعدادی طبیعی مانند mو n وجودددارند که
(1+e)^m>C~~~~
(1+e)^{-n}<C

این گزاره رو ثابت کنید!
جهان به حق مدیون ملت و ملیت ایرانی است
با افتخار و غرور ایرانی ام بر سر جهانیان فریاد میزنم که:
من نواده ی کوروش کبیرم
نماد کاربر
 
سپـاس : 345

ارسـال : 399


نام نویسی: 89/5/16

ذکر نشده

Re: بررسی برخی لم ها و قضیه های ریاضی

نوشتهاز سوی امید سیدیان در سه شنبه 17 تير 1393 - 22:32

ویستاM نوشته است:برای رسیدن به چیزی که آقای سیدیان به عنوان نتیجه ی خاصیت ارشمیدسی آوردند باید از گزاره ی زیر استفاده کرد:

فرض کنید e و C اعداد مثبتی باشند در این صورت اعدادی طبیعی مانند m و n وجود دارند که:
(1+e)^m>C~~&~~
(1+e)^{-n}<C

این گزاره رو ثابت کنید!

درود بر شما، آفرین، این چیز خوبیه!
یک اثباتش هم ازش می شناسم که با بسط دو جمله ای (!) هست!
این بسط دو جمله ای خیلی قدرتمنده!

(1+e)^n=1+ne+ A


اون A در واقع ادامه ی حل بسط هست که به صورت فشرده نوشتم؛ یک سری خرت و پرته ...
از فرض داریم که e مثبت هست؛ خوب به وضوح A هم مثبت است.
پس:

(1+e)^n>1+ne


اما از اصل ارشمیدسی داریم:
ne>C


پس:
(1+e)^n>1+C


که نتیجه می شه:
(1+e)^n>C

\Box


این یکیش بود، برای اون یکی هم طرفین رو معکوس کنید.
یک روز پادشاهی بهتر از چهل سال بندگی است
 
سپـاس : 611

ارسـال : 495


نام نویسی: 91/4/15

ذکر نشده

Re: بررسی برخی لم ها و قضیه های ریاضی

نوشتهاز سوی امید سیدیان در سه شنبه 17 تير 1393 - 22:55

ehsan.helli1 نوشته است:کاش برخی از لم های حل مساءل فیزیک میزاشتید عنوان تاپیک رو
مثلا چیزی که الان به ذهنم میرسه یک سری تغییر متغیر جالب توی حل معادلات بازگشتی یا انتگرال ها هیتش و ...

سلام
من قبل از اینکه این جستار رو بزنم، تالار ریاضیات رو گشتم اما چیزی مثل این پیدا نکردم.
به هر حال منظور من از لم ها و قضایای ریاضی، معنای فنی اش بود.
فکر کنم اگه تاپیکی مثل " تکنیک های حل مساله " بزنی، چیز خوبی از آب در بیاد ...

و اما یک گزاره ی قدیمی* 500 B.C. و خیلی ساده و زیبا (منسوب به اقلیدس): smile089

بی شمار عدد اول موجود است.

اگه تا به حال این کوچولو رو ندیدید، سعی کنید خودتون اثباتش کنید.
من خودم وقتی برای اولین بار قضیه رو دیدم، شانسم رو امتحان کردم، ولی نشد ...
فقط یک راهنمایی: هر عدد صحیح مثبت، نمایش یکتایی از عوامل اولش داره.

---------------------------------------------------------------------
* این قضیه ی کوچیک خیلی معروف هست و به نظر من زیبا ترین قضیه ی تمام ریاضیات هست!
هر کسی که اثبات این قضیه رو برای اولین بار می بینه (یا خودش پیدا می کنه)، بدون شک کلی لذت می بره.
اثبات این قضیه اونقدر ساده و زیبا و هوشمندانه است که آدم واقعاً جا می خوره!
واپسین ویرایش بدست امید سیدیان در چهارشنبه 18 تير 1393 - 18:21, رویهم 1 بار.
یک روز پادشاهی بهتر از چهل سال بندگی است
 
سپـاس : 611

ارسـال : 495


نام نویسی: 91/4/15

ذکر نشده

Re: بررسی برخی لم ها و قضیه های ریاضی

نوشتهاز سوی ف ی ز ی ک در چهارشنبه 18 تير 1393 - 00:31

آقای سیدیان نوشته است:بی شمار عدد اول موجود است.

سلام و درود smile072
می دانیم که هر عدد صحیح مرکب از دو یا چند عدد اول ساخته می شود. پس اگر تعداد اعداد اول متناهی باشد، تعدادا کل اعداد متناهی است.یعنی بی نهایت عدد نداریم که این تناقض است. در نتیجه تعداد اعداد اول نامتناهی است.
 
سپـاس : 120

ارسـال : 86


نام نویسی: 93/1/24

ذکر نشده

بعدی

بازگشت به رياضيات در فيزيك

چه کسی هم اکنون اینجاست ؟

کاربرانی که در این تالار هستند: بدون کاربران عضو شده و 21 مهمان