هوپا، انجمن علم ایران

سلام و درود؛
همان گونه که از نام جستار بر می آد، می خوایم یک سری از لم ها و قضیه های شیرین ریاضی رو بررسی کنیم.
هر کس یک قضیه ای رو پیدا کرد که دید بدرد این این جستار می خورد*، لطفاً بنویسد. اثباتش رو هم سایر دوستان انجام می دند.
قرار نیست همیشه اثبات ها رو کامل و دقیق بیاریم، گاهی خود ایده اثبات کفایت می کنه.

یک قانون ساده هم داریم:
صورت و عنوان قضیه یا لم و یا فَکت رو بُلد (bold) بنویسید.
بهتره با چند تا ساده [اثبات کردن کلاً کار ساده و روتینی نیست!] شروع می کنیم.

لـم:
مجموعه ی زیر مجموعه های هر مجموعه ی
$n$
عضوی، شامل
$2^{n}$
عضو است.

--------------------------------------------------------
* مشخصاً بعضی قضیه ها بدرد این جستار نمی خورند،
قضیه هایی مثل قضیه ی چهار رنگ، یا اون هایی که اثبات طاقت فرسا دارند و یا خیلی دشوار هستند.

آقای سیدیان نوشته شده:لـم:
مجموعه ی زیر مجموعه های هر مجموعه ی n عضوی، شامل 2^{n} عضو است.

مجموعه n عضوی A را در نظر میگیریم:
A به تعداد انتخاب صفر از n، زیر مجموعه صفر عضوی دارد (یک زیر مجموعه تهی).
A به تعداد انتخاب 1 از n، زیر مجموعه یک عضوی دارد.
A به تعداد انتخاب 2 از n، زیر مجموعه دو عضوی دارد.
.
.
.
A به تعداد انتخاب n از n، زیرمجموعه n عضوی دارد (یکی که خود A است).

از فرمول پاسکال، جمع کل این تعدادها می شود 2 به توان n.

آقای سیدیان نوشته شده:مجموعه ی زیر مجموعه های هر مجموعه ی
$n$
عضوی، شامل
$2^{n}$
عضو است.

اثبات: دقایق 8:00 تا 13:00 در این ویدیو!

مادلین نوشته شده: اثبات: دقایق 8:00 تا 13:00 در این ویدیو!

بله، اثباتش در جاهای مختلفی هست ولی هدف ما ایجاد یک بستر برای تفکر هست نه بیهوه دنبال اثبات گشتن.

Parmenides نوشته شده: از فرمول پاسکال، جمع کل این تعدادها می شود 2 به توان n.

درود بر شما
حالا کسی می تونه این نقل قول رو نشون بده؟
در واقع می خوایم نشون بدیم مجموع درایه های سطرم
$n$
ام مثلث خیام-پاسکال، برابر هست با
$2^{n}$

دقیق تر بگم

لـم:

$\sum_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n\\ k \end{pmatrix} =2^{n}$

آقای سیدیان نوشته شده:
مادلین نوشته شده: اثبات: دقایق 8:00 تا 13:00 در این ویدیو!
بله، اثباتش در جاهای مختلفی هست ولی هدف ما ایجاد یک بستر برای تفکر هست نه بیهوه دنبال اثبات گشتن.

Parmenides نوشته شده: از فرمول پاسکال، جمع کل این تعدادها می شود 2 به توان n.
درود بر شما
حالا کسی می تونه این نقل قول رو نشون بده؟
در واقع می خوایم نشون بدیم مجموع درایه های سطرم
$n$
ام مثلث خیام-پاسکال، برابر هست با
$2^{n}$

دقیق تر بگم

لـم:

$\sum_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n\\ k \end{pmatrix} =2^{n}$

راهنمایی: به بسط دو جمله ای توجه کنید!

درود
تعریف بسط دو جمله ای غیاث الدین جمشید کاشانی:

$(a+b)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$

حالا به جای aو b عدد 1 رو قرار میدیم
اما اینجور اثبات یه جورایی دور زدن ریاضیه!

گزاره
فرض کنید C و 'C عدد هایی مثبت باشند و به ازای هر عدد طبیعی مانند n داشته باشیم
$|C'-C|<10^n$
ثابت کنید: C'=C
این گزاره اساس تقریب زدن هاست
اثباتش سر راسته و از برهان خلف ثابت میشه

آقای سیدیان نوشته شده:سلام و درود؛
لـم:
مجموعه ی زیر مجموعه های هر مجموعه ی
$n$
عضوی، شامل
$2^{n}$
عضو است.

سلام
من نظر خودم درباره ایده اثبات این لم را عرض می کنم:

وقتی می خواهیم یک زیرمجموعه از مجموعه دلخواهی دست کنیم، می توانیم هر کدام از اعضا را در زیرمجموعه بگذاریم، یا نگذاریم. این یعنی هر عضو مجموعه می تواند 2 حالت داشته باشد (حضور و عدم حضور). با استفاده از اصل ضرب نتیجه می گیریم که کل حالت هایی که می توان زیرمجموعه درست کرد عبارتست از ضرب راه های مختلفی که برای هر عضو داریم. یعنی باید n بار 2 را در خودش ضرب کنیم. که می شود
$2^{n}$

درود بر همه شما

ویستاM نوشته شده:درود
تعریف بسط دو جمله ای غیاث الدین جمشید کاشانی:

$(a+b)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$

حالا به جای aو b عدد 1 رو قرار میدیم
اما اینجور اثبات یه جورایی دور زدن ریاضیه!

درست است.
فقط یک نکته ای رو بگم:
بسط دو جمله ای تعریف نیست و با استقرای ریاضی اثبات می شه، پس هیچ دور زدنی در کار نیست.
کلاً استقرا خیلی قویه...

mrfane نوشته شده:
آقای سیدیان نوشته شده:سلام و درود؛ً
لـم:
مجموعه ی زیر مجموعه های هر مجموعه ی
$n$
عضوی، شامل
$2^{n}$
عضو است.
سلام
من نظر خودم درباره ایده اثبات این لم را عرض می کنم:

وقتی می خواهیم یک زیرمجموعه از مجموعه دلخواهی دست کنیم، می توانیم هر کدام از اعضا را در زیرمجموعه بگذاریم، یا نگذاریم. این یعنی هر عضو مجموعه می تواند 2 حالت داشته باشد (حضور و عدم حضور). با استفاده از اصل ضرب نتیجه می گیریم که کل حالت هایی که می توان زیرمجموعه درست کرد عبارتست از ضرب راه های مختلفی که برای هر عضو داریم. یعنی باید n بار 2 را در خودش ضرب کنیم. که می شود
$2^{n}$

آفرین این اثبات که از اصل ضرب استفاده می کنه، ساده و زیبا است.
کلاً اصل ضرب یکی از ساده ترین روش ها برای حل مساله های نظریه مجموعه ها است.

ویستاM نوشته شده:گزاره
فرض کنید C و 'C عدد هایی مثبت باشند و به ازای هر عدد طبیعی مانند n داشته باشیم
$|C'-C|<10^n$
ثابت کنید: C'=C
این گزاره اساس تقریب زدن هاست
اثباتش سر راسته و از برهان خلف ثابت میشه

البته یک منفی پشت
$n$
کم گذاشته اید.
صورت گزاره رو تکرار می کنم:

گزاره:
فرض کنید
$C$
و
$C'$
عدد هایی حقیقی باشند و به ازای هر عدد طبیعی مانند
$n$
داشته باشیم
$|C'-C|<10^{-n}$
ثابت کنید:
$C'=C$

البته در اینجا باید از یکی از نتیجه های اصل ارشمیدسی توی اعداد حقیقی استفاده کنیم.
نتیجه به این صورت هست:
در صورتی
$0<x<y$
باشد، عدد طبیعی n وجود دارد به طوری که:
$10^{n}x>y$

اثبات
نقیض حکم رو به عنوان فرض خلف در نظر می گیریم:

$C'\not=C$

$|C'-C|>0$

نتیجه ی اصل ارشمیدسی:

$\exists{n}\in{N};~~~ 10^{n}|C'-C|>10^{n}10^{-n}$

$|C'-C|>10^{-n}$

که البته این نقیض فرض است، پس اثبات کامل است.

$\Box$

کاش برخی از لم های حل مساءل فیزیک میزاشتید عنوان تاپیک رو
مثلا چیزی که الان به ذهنم میرسه یک سری تغییر متغیر جالب توی حل معادلات بازگشتی یا انتگرال ها هیتش و ...

آقای سیدیان نوشته شده:
ویستاM نوشته شده:گزاره
فرض کنید C و 'C عدد هایی مثبت باشند و به ازای هر عدد طبیعی مانند n داشته باشیم
$|C'-C|<10^n$
ثابت کنید: C'=C
این گزاره اساس تقریب زدن هاست
اثباتش سر راسته و از برهان خلف ثابت میشه
البته یک منفی پشت
$n$
کم گذاشته اید.
صورت گزاره رو تکرار می کنم:

گزاره:
فرض کنید
$C$
و
$C'$
عدد هایی حقیقی باشند و به ازای هر عدد طبیعی مانند
$n$
داشته باشیم
$|C'-C|<10^{-n}$
ثابت کنید:
$C'=C$

البته در اینجا باید از یکی از نتیجه های اصل ارشمیدسی توی اعداد حقیقی استفاده کنیم.
نتیجه به این صورت هست:
در صورتی
$0<x<y$
باشد، عدد طبیعی n وجود دارد به طوری که:
$10^{n}x>y$

اثبات
نقیض حکم رو به عنوان فرض خلف در نظر می گیریم:

$C'\not=C$

$|C'-C|>0$
نتیجه ی اصل ارشمیدسی:

$\exists{n}\in{N};~~~ 10^{n}|C'-C|>10^{n}10^{-n}$

$|C'-C|>10^{-n}$
که البته این نقیض فرض است، پس اثبات کامل است.

$\Box$

راست میگید من منفی نذاشته بودم!ممنون از توجهتون
البته اصل ارشمیدسی ریشه اش برمیگرده به یکی از مقالات اصول اقلیدس که بعدا خاصیت ارشمیدسی نامیده شد.
برای توضیح بیشتر برای دوستان باید بگم خاصیت ارشمیدسی به این معناست که وقتی دو کمیت دارای نسبت اند که با افزایش هرکدوم بتونیم به مقداری بیش از دیگری دست پیدا کنیم.
به بیان نمادین:
وقتی دو کمیت aو b دارای نسبت اند که عددهای طبیعی مثل m و n وجود داشته باشد که:

$na>b , mb>a$

برای رسیدن به چیزی که اقای سیدیان به عنوان نتیجه ی خاصیت ارشمیدسی اوردند باید از گزاره ی زیر استفاده کرد:

فرض کنید e و C اعداد مثبتی باشند در این صورت اعدادی طبیعی مانند mو n وجودددارند که

$(1+e)^m>C~~~~ (1+e)^{-n}<C$

این گزاره رو ثابت کنید!

ویستاM نوشته شده: برای رسیدن به چیزی که آقای سیدیان به عنوان نتیجه ی خاصیت ارشمیدسی آوردند باید از گزاره ی زیر استفاده کرد:

فرض کنید
$e$
و
$C$
اعداد مثبتی باشند در این صورت اعدادی طبیعی مانند
$m$
و
$n$
وجود دارند که:

$(1+e)^m>C~~&~~ (1+e)^{-n}<C$

این گزاره رو ثابت کنید!

درود بر شما، آفرین، این چیز خوبیه!
یک اثباتش هم ازش می شناسم که با بسط دو جمله ای (!) هست!
این بسط دو جمله ای خیلی قدرتمنده!

$(1+e)^n=1+ne+ A$

اون A در واقع ادامه ی حل بسط هست که به صورت فشرده نوشتم؛ یک سری خرت و پرته ...
از فرض داریم که
$e$
مثبت هست؛ خوب به وضوح
$A$
هم مثبت است.
پس:

$(1+e)^n>1+ne$

اما از اصل ارشمیدسی داریم:

$ne>C$

پس:

$(1+e)^n>1+C$

که نتیجه می شه:

$(1+e)^n>C$

$\Box$

این یکیش بود، برای اون یکی هم طرفین رو معکوس کنید.

ehsan.helli1 نوشته شده:کاش برخی از لم های حل مساءل فیزیک میزاشتید عنوان تاپیک رو
مثلا چیزی که الان به ذهنم میرسه یک سری تغییر متغیر جالب توی حل معادلات بازگشتی یا انتگرال ها هیتش و ...

سلام
من قبل از اینکه این جستار رو بزنم، تالار ریاضیات رو گشتم اما چیزی مثل این پیدا نکردم.
به هر حال منظور من از لم ها و قضایای ریاضی، معنای فنی اش بود.
فکر کنم اگه تاپیکی مثل " تکنیک های حل مساله " بزنی، چیز خوبی از آب در بیاد ...

و اما یک گزاره ی قدیمی*
$500 B.C.$
و خیلی ساده و زیبا (منسوب به اقلیدس):

بی شمار عدد اول موجود است.

اگه تا به حال این کوچولو رو ندیدید، سعی کنید خودتون اثباتش کنید.
من خودم وقتی برای اولین بار قضیه رو دیدم، شانسم رو امتحان کردم، ولی نشد ...
فقط یک راهنمایی: هر عدد صحیح مثبت، نمایش یکتایی از عوامل اولش داره.

---------------------------------------------------------------------
* این قضیه ی کوچیک خیلی معروف هست و به نظر من زیبا ترین قضیه ی تمام ریاضیات هست!
هر کسی که اثبات این قضیه رو برای اولین بار می بینه (یا خودش پیدا می کنه)، بدون شک کلی لذت می بره.
اثبات این قضیه اونقدر ساده و زیبا و هوشمندانه است که آدم واقعاً جا می خوره!

آقای سیدیان نوشته شده:بی شمار عدد اول موجود است.

سلام و درود

می دانیم که هر عدد صحیح مرکب از دو یا چند عدد اول ساخته می شود. پس اگر تعداد اعداد اول متناهی باشد، تعدادا کل اعداد متناهی است.یعنی بی نهایت عدد نداریم که این تناقض است. در نتیجه تعداد اعداد اول نامتناهی است.

هوپا، انجمن علم ایران

بررسی برخی لم ها و قضیه های ریاضی

بررسی برخی لم ها و قضیه های ریاضی

Re: بررسی برخی لم ها و قضیه های ریاضی

Re: بررسی برخی لم ها و قضیه های ریاضی

Re: بررسی برخی لم ها و قضیه های ریاضی

Re: بررسی برخی لم ها و قضیه های ریاضی

Re: بررسی برخی لم ها و قضیه های ریاضی

Re: بررسی برخی لم ها و قضیه های ریاضی

Re: بررسی برخی لم ها و قضیه های ریاضی

Re: بررسی برخی لم ها و قضیه های ریاضی

Re: بررسی برخی لم ها و قضیه های ریاضی

Re: بررسی برخی لم ها و قضیه های ریاضی

Re: بررسی برخی لم ها و قضیه های ریاضی

Re: بررسی برخی لم ها و قضیه های ریاضی

Re: بررسی برخی لم ها و قضیه های ریاضی

Re: بررسی برخی لم ها و قضیه های ریاضی