بررسی برخی لم ها و قضیه های ریاضی


Re: بررسی برخی لم ها و قضیه های ریاضی

نوشتهاز سوی امید سیدیان در دوشنبه 10 شهريور 1393 - 15:38

ف ی ز ی ک نوشته است:یک عدد صحیح بزرگتر از 1 و غیر اول به نام a را درنظر میگیریم. این عدد باید حداقل به یک عدد غیر از 1 و غیر از خودش بخش پذیر باشد. حال چگونه میتوان اثبات کرد که این عدد یا عدادی که a بر آن ها بخش پذیر است ، فقط و فقط اول هستند؟
اگر اولین عددی را که این خاصیت رادارد، یعنی عددی صحیح،بزرگتر از 1 و غیر اول ( همان عدد 4 ) در نظر بگیریم، بدیهی است که عوامل این عدد، اول هستند. حال راجع به عدد غیر اول بعدی میتوان گفت که یا فقط بر اعداد اول کوچکتر از خودش بخش پذیر است، یا فقط بر عدد 4 بخش پذیر است و یا به هردو که در هر صورت همه ی عوامل این عدد، اول هستند ( چون عوامل عدد 4 اول هستند ) وراجع به عدد غیر اول بعدی نیز به همین ترتیب و همین طور تا بینهایت! میتوان این حرف را زد.
البته این نه یک اثبات کاملی است و نه جالب. من دیدم کسی جوابی نمیده خواستم نقطه ی شروع بحث باشم. لطفا کمی راهنمایی کنید .

هزار درود بر شما،

خب، این شهودی که شما، و احتمالاً بیش تر ما داریم درست است.
مساله اصلی اینجا است که چگونه برهان معتبری بیاریم.

ما برهان ریاضی می خوایم.

بیش تر ما، درک درستی از قضیه داریم و فکر می کنیم که واضح است؛
اما قسمت اصلی و معمولاً مشکل در اثبات های ریاضی،
این هست که چه طور احساس مون رو از مساله، به صورت یک برهان پذیرفتنی برای همه بنویسیم.

ما برهان واضح می خوایم. برهان دقیق می خوایم.
این بیش تر شبیه به یک بازی زیبا است!

این لم، در واقع بیان می کنه که یک عدد صحیح و بزرگتر از یک انتخاب کنید، انتخاب شما از دو حال خارج نیست:
یا عددتون اول هست.
یا عددتون مرکب هست.

تلاشی که شما برای استدلالتون کردید، رنگ و بوی "اصل استقرای ریاضی تعمیم یافته" می ده!
شما می گین اگر از دو شروع کنیم و همینطور بریم بالا، حکم لم صادق هست.

به نظر من این استدلال درست نیست.
در استفاده از اصل استقرای ریاضی، ما باید نشون بدید که درستی یک مرحله ی نوعی، درستی مرحله ی بعدی رو نشون می ده؛
اما در اینجا نمی تونیم این حرف رو بزنیم، چرا که، با فرض دونستن اینکه یک عدد صحیح و بزرگتر از یک، اول یا مرکب هست،
نمی دونیم تکلیف عدد بعدی چی هست.
یک روز پادشاهی بهتر از چهل سال بندگی است
 
سپـاس : 611

ارسـال : 495


نام نویسی: 91/4/15

ذکر نشده

Re: بررسی برخی لم ها و قضیه های ریاضی

نوشتهاز سوی امید سیدیان در دوشنبه 10 شهريور 1393 - 15:45

بگذارید دقیق تر منظورم رو به شما بگم. شما در اینجا فرمودید:
ف ی ز ی ک نوشته است:حال راجع به عدد غیر اول بعدی میتوان گفت که یا فقط بر اعداد اول کوچکتر از خودش بخش پذیر است، یا فقط بر عدد 4 بخش پذیر است و یا به هردو که در هر صورت همه ی عوامل این عدد، اول هستند (چون عوامل عدد 4 اول هستند)

شما می گید، یک عدد صحیح و بزرگتر از یکِ نوعی که اول هم نباشه،
بر اعداد کوچکتر از خودش بخش پذیره؛

اما این واقعاً واضح نیست!

در واقع ما هم می خوایم همین رو نشون بدیم!
به نظر من، شما اگر این برهان تون رو کامل تر و دقیق تر بنویسید، اثباتتون کامله.
یک روز پادشاهی بهتر از چهل سال بندگی است
 
سپـاس : 611

ارسـال : 495


نام نویسی: 91/4/15

ذکر نشده

Re: بررسی برخی لم ها و قضیه های ریاضی

نوشتهاز سوی ویستاM در دوشنبه 10 شهريور 1393 - 16:48

آقای سیدیان نوشته است:درود بر شما و این جستار خاک خورده،
اون لمی رو که خدمتتون عرض کردم، کسی راجع بهش نظری نداره؟

لم: هر عدد صحیح، مثبت و بزرگتر از یک، یا اول است، و یا حاصل ضرب چند عدد اول.

بیاین کمی راجع بهش حرف بزنیم.
بچه ها به نظر شما استراتژی اصلی برای اثبات این لم چی می تونه باشه؟

آیا باید از برهان خلف، استفاده کنیم؟
آیا باید از اصل استقرای ریاضی، استفاده کنیم؟
آیا باید از اصل خوش ترتیبی اعداد صحیح و مثبت، استفاده کنیم؟

در اینجا صرفاً می خوایم راهبرد کلی رو تعیین کنیم و اصلاً کاری با جزئیات نداریم.

درود
من بنظرم برهان خلف خوبه
فرض کنید بخوایم از استقرا شروع کنیم
باید عدد (a(nی در نظر بگیریم که یا اوله یا حاصلضری چند عامل اول
و بعد نشون بدیم برای n+1 امین عدد هم همین مساله صدق میکنه
نشون دادن این مساله نیازمند دونستن قاعده ایه که اعداد nام و n+1ام رو بهم ربط بده اما بنظرم چنین قاعده ای در وضعیت کلی موجود نیست
خوش ترتیبی هم بنظر کارامد نمیاد! اینکه هر زیر مجموعه ناتهی از اعداد کوچکترین عضو داره چطور میتونه ترکیب بودن اون از اعداد اول رو نشون بده؟
بهرحال این نظر من بود!
پیروز باشید smile034
جهان به حق مدیون ملت و ملیت ایرانی است
با افتخار و غرور ایرانی ام بر سر جهانیان فریاد میزنم که:
من نواده ی کوروش کبیرم
نماد کاربر
 
سپـاس : 345

ارسـال : 399


نام نویسی: 89/5/16

ذکر نشده

Re: بررسی برخی لم ها و قضیه های ریاضی

نوشتهاز سوی ویستاM در شنبه 15 شهريور 1393 - 10:53

گزاره:
ثابت کنید اگر تابع f:R ---> R، پیوسته باشد fof نزولی اکید نیست

به نظرتون از کجا شروع کنیم؟ smile072
جهان به حق مدیون ملت و ملیت ایرانی است
با افتخار و غرور ایرانی ام بر سر جهانیان فریاد میزنم که:
من نواده ی کوروش کبیرم
نماد کاربر
 
سپـاس : 345

ارسـال : 399


نام نویسی: 89/5/16

ذکر نشده

Re: بررسی برخی لم ها و قضیه های ریاضی

نوشتهاز سوی امید سیدیان در شنبه 15 شهريور 1393 - 20:04

ویستاM نوشته است:گزاره:
ثابت کنید اگر تابع f:R ---> R، پیوسته باشد fof نزولی اکید نیست

به نظرتون از کجا شروع کنیم؟ smile072

دامنه ی تابع حتماً باید کل R باشه؟
البته اگر دامنه رو بگیریم یک بازه ی بسته ای مثل I، آنگاه، باید برد تابع، بالاجبار I بشه.
این شرط، قضیه رو ضعیف می کنه!
یک روز پادشاهی بهتر از چهل سال بندگی است
 
سپـاس : 611

ارسـال : 495


نام نویسی: 91/4/15

ذکر نشده

Re: بررسی برخی لم ها و قضیه های ریاضی

نوشتهاز سوی ویستاM در يكشنبه 16 شهريور 1393 - 09:01

به نظرتون چه لزومیه دامنه رو محدود کنیم؟
منظورتون اینه که دامنه رو محدود کنیم و بعد تعمیم بدیم؟
فکر نکنم به این نیازی باشه
من فکر کنم قدم اول رو از برهان خلف برداریم بهتره
جهان به حق مدیون ملت و ملیت ایرانی است
با افتخار و غرور ایرانی ام بر سر جهانیان فریاد میزنم که:
من نواده ی کوروش کبیرم
نماد کاربر
 
سپـاس : 345

ارسـال : 399


نام نویسی: 89/5/16

ذکر نشده

Re: بررسی برخی لم ها و قضیه های ریاضی

نوشتهاز سوی امید سیدیان در جمعه 5 دي 1393 - 17:55

ویستاM نوشته است:گزاره:
ثابت کنید اگر تابع f:R ---> R، پیوسته باشد fof نزولی اکید نیست

به نظرتون از کجا شروع کنیم؟ smile072


فرض خلف: تابع fof نزولی اکید است.
بنابر این برای هر \alpha ی مثبت و در هر نقطه ی x داریم:

f(f(x+\alpha))~<~f(f(x))


رابطه ی فوق، اساساً مستقل از \alpha است؛ پس داریم:

\lim_{\alpha\to{0}}~[f(f(x+\alpha))~-~f(f(x))]~<~0


پس در نقطه ای مثالی همانند c داریم:

\lim_{x\to{c^+}}f(f(x))~-~f(f(c))~<~0


بنابر این تابع fof پیوستگی راست ندارد؛ پس ناپیوسته است.
پس فرض خلف باطل و حکم ثابت می شود.
واپسین ویرایش بدست امید سیدیان در شنبه 6 دي 1393 - 17:02, ویرایش شده در 2.
یک روز پادشاهی بهتر از چهل سال بندگی است
 
سپـاس : 611

ارسـال : 495


نام نویسی: 91/4/15

ذکر نشده

Re: بررسی برخی لم ها و قضیه های ریاضی

نوشتهاز سوی امید سیدیان در جمعه 5 دي 1393 - 19:41

سلام،
یک سری قضایای ساده، راجع به توابع را بررسی می کنیم.

قضیه:

تابع f:A\to{B} را در نظر بگیرید، f یک به یک است.
نشان دهید تابع f معکوس چپ دارد؛
یعنی تابعی همانند g:B\to{A} وجود دارد که gof:A\to{A} همانی است.

اگر به این قضیه ی ساده بیاندیشید، آنگاه اثبات نمایان می شود.
راستی؛ تابع g:B\to{A} چه ویژگی ای دارد؟
آیا عکس قضیه برقرار است؟
یک روز پادشاهی بهتر از چهل سال بندگی است
 
سپـاس : 611

ارسـال : 495


نام نویسی: 91/4/15

ذکر نشده

Re: بررسی برخی لم ها و قضیه های ریاضی

نوشتهاز سوی امید سیدیان در چهارشنبه 12 فروردين 1394 - 17:45

سلام،

برای سوال بالا کسی نظری نداره؟
یک روز پادشاهی بهتر از چهل سال بندگی است
 
سپـاس : 611

ارسـال : 495


نام نویسی: 91/4/15

ذکر نشده

Re: بررسی برخی لم ها و قضیه های ریاضی

نوشتهاز سوی امید سیدیان در چهارشنبه 24 تير 1394 - 16:56

آقای سیدیان نوشته است:سلام،
یک سری قضایای ساده، راجع به توابع را بررسی می کنیم.

قضیه:

تابع f:A\to{B} را در نظر بگیرید، f یک به یک است.
نشان دهید تابع f معکوس چپ دارد؛
یعنی تابعی همانند g:B\to{A} وجود دارد که gof:A\to{A} همانی است.

اگر به این قضیه ی ساده بیاندیشید، آنگاه اثبات نمایان می شود.
راستی؛ تابع g:B\to{A} چه ویژگی ای دارد؟
آیا عکس قضیه برقرار است؟

سلام و درود بی پایان،

با توجه به این که از دی ماه سال پیش (!) هیچ کس به این سوال فکر نکرده، و حتی یک جواب غلط هم کسی نداده،
و همه کائنات، یا در حال بررسی نظریه ی ریسمان، مکانیک کوانتومی، مسئله های اُپنِ هیلبرت و ... هستند،
و یا در کار علوم انسانی، گره های مدنی می شکافند و خبره در جامعه شناسی های گوناگون گشته اند،
من یک راهنمایی به شما عزیزان بکنم:

f یک به یک است. یعنی هر عضوی از A را به عضوی منحصر به فرد از B می برد.
البته f قرار نیست لزوماً همه ی B را نمی پوشاند. مثلاً به این تصویر پایینی نگاه کنید:

تصویر


در تصویر بالا، تابع ما پوشا نیست. زیرا عضو 8 درون B را نگرفته.
خب ...
حالا من یک تابع می خوام مثل g، از کل B به A، که اگر از سمت چپ با f ترکیب بشود، بشود تابع همانی روی A.
یعنی gof تابعی است که دامنه اش A است، و هرچی بهش بدیم، خودشو می ده.
یک روز پادشاهی بهتر از چهل سال بندگی است
 
سپـاس : 611

ارسـال : 495


نام نویسی: 91/4/15

ذکر نشده

Re: بررسی برخی لم ها و قضیه های ریاضی

نوشتهاز سوی امید سیدیان در پنجشنبه 19 شهريور 1394 - 18:12

آقای سیدیان نوشته است:سلام،
یک سری قضایای ساده، راجع به توابع را بررسی می کنیم.

قضیه:

تابع f:A\to{B} را در نظر بگیرید، f یک به یک است.
نشان دهید تابع f معکوس چپ دارد؛
یعنی تابعی همانند g:B\to{A} وجود دارد که gof:A\to{A} همانی است.

اگر به این قضیه ی ساده بیاندیشید، آنگاه اثبات نمایان می شود.
راستی؛ تابع g:B\to{A} چه ویژگی ای دارد؟
آیا عکس قضیه برقرار است؟

تابع g پوشا است.

عکس قضیه هم برقرار است.
یعنی هر تابعی که معکوس چپ دارد لزوماً یک به یک است.

دقیقاً شبیه به همین یک ویژگی دیگری هست برای توابع:
تابع f معکوس راست g دارد، اگر و تنها اگر f پوشا باشد.
منتها این قضیه ی آخر، در برهانش نیاز به اصلی به نام اصل انتخاب داریم.
یک روز پادشاهی بهتر از چهل سال بندگی است
 
سپـاس : 611

ارسـال : 495


نام نویسی: 91/4/15

ذکر نشده

Re: بررسی برخی لم ها و قضیه های ریاضی

نوشتهاز سوی امید سیدیان در پنجشنبه 19 شهريور 1394 - 18:50

اما قضیه ی امروز ما:

یکی از مفاهیمی که معمولاً در آنالیز سر و کله اش پیدا می شه،
مفهوم (یا معیار) کوشی بودن یک دنباله است.

منظور از یک دنباله مثل a_n، خیلی ساده، دقیقاً یک تابع هست: a:\aleph{\to}S~~~
اون زیروند n هم صرفاً آرگومان هست.
S هم یک مجموعه (معمولاً یک میدان) مثل اعداد گویا است.

می گیم یک دنباله مثل a_n کوشی هست، اگر و فقط اگر:
جملات دنباله به هم نزدیک و نزدیک تر بشن. دقیقاً یعنی:

\forall\epsilon>0~~~~\exists{N}{\in}\aleph~~~~m,n>N~~~~(\left | a_m-a_n \right |<\epsilon)


قضیه ی 1.
ثابت کنید (یا ثابت کنیم!) هر دنباله ی کوشی کراندار است.
آیا عکسش صادق است؟

قضیه ی 2.
ثابت کنید هر دنباله ی همگرا، کوشی هم هست.
آیا عکسش صادق است؟

به نظر شما دنباله ی کوشی به چه دردی می خوره؟
یک بشر می تونه چند تا دنباله ی کوشی نام ببره؟

نکته:
حتماً لازم نیست اثباتش رو بنویسید!
ایده ی اثبات رو دقیق بگید کافیه.
فقط یادتون باشه ایده رو باید دقیق بگید!
یک روز پادشاهی بهتر از چهل سال بندگی است
 
سپـاس : 611

ارسـال : 495


نام نویسی: 91/4/15

ذکر نشده

Re: بررسی برخی لم ها و قضیه های ریاضی

نوشتهاز سوی jhvh در پنجشنبه 19 شهريور 1394 - 20:55

من مطمین نیستم هر کوشی الزاما همگرا باشه
 
سپـاس : 350

ارسـال : 1640


سن: 26 سال
نام نویسی: 90/10/26

مرد

Re: بررسی برخی لم ها و قضیه های ریاضی

نوشتهاز سوی امید سیدیان در پنجشنبه 19 شهريور 1394 - 21:58

jhvh نوشته است:من مطمین نیستم هر کوشی الزاما همگرا باشه

کاملاً درسته ...

هر دنباله ی کوشی، همگرا نیست،
اماهر دنباله ی همگرا، کوشیه ...
یک روز پادشاهی بهتر از چهل سال بندگی است
 
سپـاس : 611

ارسـال : 495


نام نویسی: 91/4/15

ذکر نشده

Re: بررسی برخی لم ها و قضیه های ریاضی

نوشتهاز سوی jhvh در پنجشنبه 19 شهريور 1394 - 23:03

من تفاوت کراندار بودن رو با همگرا بودن نفهمیدم. میشه بیشتر توضیح بدید؟
 
سپـاس : 350

ارسـال : 1640


سن: 26 سال
نام نویسی: 90/10/26

مرد

قبلیبعدی

بازگشت به رياضيات در فيزيك

چه کسی هم اکنون اینجاست ؟

کاربرانی که در این تالار هستند: بدون کاربران عضو شده و 5 مهمان