هوپا، انجمن علم ایران

من دوست دارم درباره انتگرال بیشتر بدونم.یکی به من لطفا کمک کنه.

از سیگما شروع کن
جمع متوالی یک تابع در نقاط مختلف البته گسسته
انتگرال میشه جمع نقاط یک تابه در یک بازه به صورت پیوسته
که میشه همون سطح زیر نمودار

بهتره تو نت سرچ کنی
ولی ائل از سیگما شروع کن

ومن الله توفیق

از نظر ریاضی :
وقتی یک نمودار می کشی، اگر قسمتی از این نمودار رو که بین خود نمودار و خط افقی هست، انتخاب کنی و رنگش کنی، مساحتش می شه انتگرال اون نمودار از نقطه سمت چپی که انتخاب کردی تا نقطه سمت راست.
خود این مساحت ها فرمول داره که بهش می گن انتگرال نامعین. مثلا اگر نمودارت y=x باشه انتگرالش رو می تونی از y=x^2 / 2 به سادگی حساب کنی.

شیب اون نمودار هم در نقطه خاص می شه مشتق اون نمودار در اون نقطه که اون هم فرمول داره.
انتگرال و مشتق برعکس هم دیگه ان. یعنی اگه از تابعی انتگرال بگیری بعد از انتگرالش مشتق بگیری به خود اون تابع می رسی.

دوستان انتگرال رو از نظر ریاضی توضیح دادند. منم یه توضیح مختصر فیزیکی میگم.
حساب دیفرانسیل و انتگرال تقریبا هم زمان توسط لایب نیتز و نیوتون اختراع شد. که نیوتون بیش تر بافیزیک ماجرا سر و کار داشت و لایب نیتز یه ریاضیدان بود.
فرض کن یه سیب رو از یه ارتفاع معینی از سطح زمین رها میکنیم. ما سرعت متوسط سیب رو به راحتی میتونیم حساب کنیم. اما سرعت لحظه ای توپ چطوری حساب میشه؟ این سوالی بود که نیوتون از خودش پرسید. و ما اگر دو لحظه ی متفاوت رو بی نهایت به هم نزدیک کنیم، سرعت متوسط بین اون دو لحظه به سرعت لحظه ای تبدیل میشه.
تعریف سرعت لحظه ای : سرعت متوسط بین یک لحظه و یک لحظه ی بی نهایت نزدیک به آن. یعنی با مشتق گرفتن از تابع مکان جسم، رابطه ی سرعت بدست میاد.
حالا برعکس، فرض کن معادله ی سرعت یه جسم رو میدونیم و میخوایم بدونیم که مثلا طی 4 ثانیه چه مسافتی رو طی میکنه؟
روش اینه که در مقطع های زمانی خیلی کوچیک حساب کنیم که جسم چند متر جابه جا شده و بعد بیایم همه ی این جابه جایی های کوچیک رو باهم جمع کنیم. به این کار میگن انتگرال گیری. یعنی جمع زدن مقادیر بسیار کوچک باهم. در واقع انتگرال عکس مشتقه و از دید هندسی سطح زیر نمودار با انتگرال بدست میاد. احتمالا شنیدی که سطح زیر نمودار سرعت-زمان برابر جابه جایی است.که علت این قضیه هم با انتگرال بیان میشه.
پس ما برای حساب کردن سرعت لحظه ای از روی معادله ی مکان از مشتق استفاده میکنیم. و برای بدست آوردن تابع مکان جسم از روی معادله ی سرعت اون از انتگرال استفاده میکنیم. پس مشتق و انتگرال عکس همدیگن.

باسلام
یک مثال ساده برای انتگرال شیر آب رو می توان در نظر گرفت. فرض کنید شما به مدت یک دقیقه شیر آب رو باز کنید، اگر در هر ثانیه نیم لیتر آب خارج شود پس از یک دقیقه 30 لیتر آب خارج خواهد شد.(تا اینجا موضوع ساده است در حد ریاضی ابتدایی) حال فرض کنیم خروجی شیر ثابت نباشد (مثلا بصورت خطی از صفر تا ماکزیمم بیشتر شود یا خروجی آب توسط نوسان یک فنر کنترل شود) باز بعد از 60 ثانیه مقدار مشخصی آب جمع خواهد شد و این مقدار تابعی از معادله دبی خروجی شیر خواهد بود. برای محاسبه میتوان این 60 ثانیه را به بازه های خیلی کوچک تقسیم کرد. (مثلا یک ثانیه) و در این بازه ها خروجی آب را ثابت در نظر گرفت. با ضرب دبی خروجی در هر بازه در طول بازه میتوان خروجی آب در اون بازه رو بدست آورد و با جمع کردن این مقادیر با هم کل خروجی بدست می آید.
البته ما دچار مقداری خطا شده ایم چون تو اون بازه دبی رو ثابت در نظر گرفته ایم. حال اگر طول بازه dt رو به سمت صفر میل کنیم مقدار محاسبه شده به مقدار واقعی نزدیکتر خواهد شد. (انتگرال)

ببخشید مثالهای من همه اش آبکی شد. فرض کنیم مثل بالا مقدار بارانی که در یکسال باریده رو حساب کنیم. برای اینکار مقدار آبی که در هر روز باریده رو باهم جمع می کنیم. (کلا انتگرال مفهومی از جمع و مشتق مفهومی از تفاضل است)

خیلی مهمه که بگید چرا یک درجه بشتر میشه

من به شخصه این طوری فهمیدمش

اصلا اینطور نیست!
انتگرال سینوس درجه مرجه نداره.
انتگرال لگاریتم همین طور.
و انتگرال e^x می شه خودش!!!

You-See نوشته شده:اصلا اینطور نیست!
انتگرال سینوس درجه مرجه نداره.
انتگرال لگاریتم همین طور.
و انتگرال e^x می شه خودش!!!

احسنت


من ماهیتشو گفتم

مطمئنید ای به توان ایکس انتگرالش خود خودشه؟


من نگفتم یکی به توان اضافه کن بشه انتگرال
من گفتم مفهوم انتگرال و مشتق در توان ها نهفته است در درجه ها

اصولا این طور نیست. در چند جمله ای ها بیشتر صدق می کنه.
انتگرال e^x و مشتقش خودش می شه.
دلیل این که در چند جمله ای ها این اتفاق می افته اینه که چند جمله ای ها متناوب نیستند، و از جایی به بعد یکسره در حال صعود یا یکسره در حال نزول هستند. خوب اگر انتگرال (سطح زیر نمودار) رو ببینیم، متوجه می شیم که اگر تابع ما خط صاف افقی باشه، مقدار بدست آمده بطور ثابتی (توان اول) در حال زیاد شدنه، این مقدار برای تابعی که خودش خط صاف شیب داره (تابع درجه یک) بطور دو بار زیاد شدن افزایش پیدا می کنه، و همین طور برو بالا.
اما در مورد توابع دیگه، مخصوصا توابعی که دوره تناوب دارند، به این معنیه که در جایی از تابع، انتگرال باید شروع کنه به کمتر شدن تا به صفر برسه، و این به این معنی می شه که تابع ما در جایی داره زیر خط محور افقی می افته.
اگر با مسائل موج در اوسیلوسکوپ آشنا باشید، این طور می شه:
موج متناوبی که دارای مقدار dc نباشد، انتگرالش دارای حد بالا و پایین است. یعنی این که انتگرال از حد خاصی کمتر یا زیادتر نمی شه.

بله اشنام
اونم چه آشنایی

همه اون چیزهایی که می‌فرماید کاملا درسته

برای فهمیدن انتگرال مشتق و dx نیازه

دیدگاه من:
دیفرانسیل: پاره پاره کردن یک چیز
انتگرال: جمع کردن پاره های یک چیز

دوستان همه توضیحات عاللی بودن

به نظر من برای درک کامل از انتگرال ابتدا باید با مساله ی پیدا کردن مساحت زیر نمودار و راه حلی که ریمان با استفاده از حد جموع برایش مطرح کرد آشنا باشید زیرا بعدا این راه حل به عنوان قاعده ای کلی درآمد وبه صورت انتگرال تعریف شد.

جواب های هادی مفهومی تر و کاملتر بود.

edwardfurlong نوشته شده:جواب های هادی مفهومی تر و کاملتر بود.

جواب تو از منم کامل تره

من یه خط نوشتم

کسی نفهمید که نیوتون بدبخت از اول نمی دونست مساحت انتگراله یا چیه

هوشت رو نشون دادی
گپ هایی داری اما باهوشی و اعتماد به نفس داری


احسنت به تو