هوپا، انجمن علم ایران

مجموعه همه اعداد اول را در نظر بگیرید
آیا میتوانید یک عمل را در این مجموعه طوری تعریف کنید که این مجموعه با اون عمل تبدیل به یک گروه بشه؟!(گروه نامتناهی اعداد اول) و اگر غیرممکن است اثبات کنید!

فکر نمی کنم بشه. شما ضرب و تقسیم و همه ی اعمال مشتق شده یا ترکیبی از این دو تا روُ بین اعداد اول در نظر بگیری، با استنتاج یا مثال نقض میشه نشون داد که حاصلش عدد اول نمیشه.

ممنون از پاسختون.ببینین من اثبات میخوام یا مثال نقص!برای اثبات این مساله این رویکرد میتونه مفید باشه که ما دنبال یه مجموعه و عملی باشیم که با مجموعه همه اعداد اول ایزومورف باشه و کافیست ثابت کنیم که مجموعه ایزومورف با مجموعه همه اعداد اول با اون عمل تعریف شده یک گروه است . چنین مجموعه ای میتونه هر ساختار ریاضی باشه از هندسه اقلیدسی و نا اقلیدسی بگیر تا ماتریس ها و کلا هر فضای مجرد دیگه.اینکه بگیم که با اعمال حساب و ترکیب متناهیشون از اعداد اول نمیتونیم این کارو صورت بدهیم خودش نیازمنده اثباته و نمیشه همینطوری قضاوت کرد!

من خودم تو این مورد دارم تحقیق میکنم و اتفاقا مجموعه ای رو پیدا کرده ام و عملی رو تعریف کرده ام ولی مساله اینه که این مجموعه فراتر از همه اعداد اوله!یعنی بجز عدد اول اعداد دیگه ای هم توش هست و جالبه اینکه هرنوع عددیو تونستم طی یک فرایند حذف کنم و گروه بودنش حفظ شد ولی بیشمار عدد رو باید حذف کنم و چون این فرایند ظاهرا بینهایت میشه به مشکل برمیخورم.به عبارتی همیشه اعدادی تو این مجموعه پیدا خواهند شد که عدد اول نیستند ولی کل مجموعه یک گروه نامتناهیست.البته لازم میدونم بگم که این مجموعه زیر مجموعه اعداد طبیعی نیست بلکه با زیر مجموعه ای از اعداد طبیعی ایزومورفه.اگه بتونم به نتایجی برسم و برای دوستان جالب باشه قطعا نتایجمو تو همین تایپیک درج خواهم کرد

من یکم درباره ی پرسش شما تحقیق کردم. نتیجه این که شما حتماً می تونید با مجموعه ی اعداد اول، گروه بسازید.

در واقع، برای هر مجموعه ی ناتهی، میشه عملی دودویی تعریف کرد که به اون مجموعه ساختار گروه ببخشه. این گزاره و اصل موضوع انتخاب (Axiom of Choice)، معادل هم دیگه ان.

عملی که با مجموعه ی اعداد اول تشکیل گروه بده هم پیدا کردم.
اگه دوست دارید براتون بذارم، همراه با اثبات گروه بودن مجموعه ی اعداد اول تحت اون عمل.

با درود بر شما بانوی عزیز.بسیار ممنونتون خواهم شد اگه اینجا بذاریش.بعدشم معادل بودن اصل انتخاب با این گزاره که برای هر مجموعه ناتهی یک عمل دوتایی وجود دارد که اونو تبدیل به یک گروه میکنه فوقالعاده جالب میتونه باشه.اگه برای اینم لینک بذارین ممنونتون خواهم شد

با توجه به این که مجموعه ی اعداد اول نامتناهی و شماراست، بین این مجموعه و مجموعه ی اعداد طبیعی یک رابطه ی یک به یک داریم. یعنی میشه اعداد اول روُ با اعداد طبیعی برچسب زد، و به ترتیب اون ها روُ شماره گذاری کرد. پس یک تابع N تعریف می کنیم که به ازای هر عدد اول، شماره ی متناظر با اون عدد اول روُ بهمون میده:


به علاوه، میشه بین مقادیر تابع N و مجموعه ی اعداد صحیح (و در نتیجه بین مجموعه ی اعداد اول و مجموعه ی اعداد صحیح) هم یک رابطه ی یک به یک پیدا کرد:


در واقع تابع F، اعداد اولی که شماره ی زوج دارن روُ به خارج قسمتِ صحیحِ تقسیمِ این شماره بر 2، و اعداد اولی که شماره ی فرد دارن روُ به قرینه یِ خارج قسمتِ صحیحِ تقسیمِ این شماره بر 2 می بره:


چون F تابعی یک به یکه، وارون پذیره. وارون F روُ با G نشون میدم:


حالا عمل # رو به این صورت بین هر دو عدد اول دلخواه p و q تعریف می کنم:



* البته این فقط یکی از عمل های ممکنه؛ میشه عمل های دیگه ای هم پیدا کرد که با مجموعه ی اعداد اول گروه تشکیل بدن، و تنها یک عمل ممکن وجود نداره.

بن مایه: How can I prove that there exists no operation with respect to which prime numbers form a group?

------------------------------------------------------------------------

اثبات گروه بودن مجموعه ی اعداد اول تحت عمل #



I) بسته بودن
II) عضو یکه
III) عضو وارون: اگر شماره ی متناظر با p زوج باشه، وارون p نخستین عدد اول بلافاصله پس از p ، و اگر شماره ی متناظر با p فرد باشه، وارون p نخستین عدد اول بلافاصله پیش از p خواهد بود. برای نمونه:



IV) شرکت پذیری

------------------------------------------------------------------------

تو این لینک درباره ی معادل بودن گزاره ای که گفتم و اصل موضوع انتخاب توضیح داده شده:



البته خودم نخوندمش. نمی دونم اثباتش به طور دقیق اومده یا نه.

درود بی پایان دارم میخونمش با هیجان..واقعا ازتون سپاسگزارم

سلام
من خودم چند سالی روی اعداد اول تحقیق کردم. در ضمن تونستم یه دنباله ی بازگشتی براشون پیدا کنم. اگه خواستین بگید براتون بفرستم