هوپا، انجمن علم ایران

احتمالا با بردار های محوری آشنایی دارید. علامت این بردار ها ناوردا هستش، یعنی مثلا در صورتی که من دستگاه مختصات رو بچرخونم، این نوع بردارها همراه با دستگاه مختصات می چرخند. از بردار های محوری معروف در فیزیک میشه به سرعت زاویه ای، تکانه زاویه ای و ... اشاره کرد. در مقابل این نوع بردارها، بردار های قطبی رو داریم که تحت دوران همراه با دستگاه مختصات نمی چرخند و در دستگاه مختصاتی جدید، جهت قبلی خودشون رو حفظ می کنند. به عنوان مثال در صورتی که بردار من محوری باشه چنین رابطه ای برقرار هست:



در حالی که اگه با یک بردار قطبی مواجه باشم با رابطه زیر مواجه میشم:


اما اثبات اینکه چطور بردار های محوری همراه با محور های مختصاتی می چرخند بسیار سادست. هر بردار محوری طبق تعریف برابر است با حاصل ضرب خارجی دو بردار قطبی دیگه. به عنوان مثال، تکانه زاویه ای برابر هست با:



خب اگه تحت تبدیلی جهت تمام محور های مختصاتی 180 درجه چرخیده (محور ها قرینه شدن) و L به 'L تبدیل بشه، و ازونجایی که r و P قطبی هستند داریم:



همونطور که می بینید علامت 'L در دستگاه مختصاتی جدید تغییری نکرده و بنابرین تکانه زاویه ای محوری هست.

اما مشکل از جایی شروع میشه که من میتونم تمام بردار هایی که در فضای دکارتی تعریف شده هستند رو به شکل ضرب خارجی دو بردار دلخواه دیگه بنویسم. به عبارت دیگه در صورتی که فردی ادعا کنه بردار جا به جایی یا همون r قطبی هست، من آنن مخالفت می کنم و میگم خیر، ازونجایی که بردار r رو میشه به شکل ضرب خارجی دوبردار دیگه نوشت (بردار r بر بینهایت صفحه در مسیر خودش عموده. کافیه دو بردار دلخواه از هر کدوم از این بینهایت صفحه انتخاب کنم!) و سپس طبق اثبات بالا، نشون میدم که حتی r هم قطبی نیست. با چنین شیوه ای میشه نشون داد تمام بردار های عالم محوری هستند و قطبی نداریم اصلا. مشکل کجاست؟ این سوال ممکنه خیلی ساده به نظر بیاد ولی زود ازش نگذرید، چندان هم ساده نیست.

بیا
https://en.wikipedia.org/wiki/Tensor

من با ریاضیات تانسوری آشنایی دارم ولی هنوزم ارتباط شبه بردارها با تانسورا رو متوجه نمیشم. توی تانسور ها راجب بردارهای هم وردا و پادوردا بحث میشه، نه شبه بردار ها و بردار های قطبی تاجایی که میدونم. (گرچه بردارهای هموردا یکم شبیه شبه بردارها هستند‌.)

وقتی برداری هم جهت و هم اندازه با r رو با استفاده از ضرب خارجی درست میکنی بردار مکان نیست و از تعریف بردار پیروی نمیکنه.

یعنی تمام بردارایی که با ضرب خارجی دو بردار دیگه درست شدن بردار نیستند و در واقع موجود دیگه ای از فضا هستند؟ فکر میکنم این جواب درست باشه و خودمم تا حدی بهش رسیده بودم منتهی با بیان ریاضی چیکارش میشه کرد؟ یعنی رانک تانسوری این شبه بردارا متفاوته به خاطر ضرب خارجی؟ و درجه یک نیست؟ (درجه دو باید باشه با این حال انگار یه چیزی جور در نمیاد این وسط با اندیسای شبه برداره)

این خوبه

تفاوت شبه بردار ها و بردار های قطبی خیلی واضحه، حتی بدون بحث دترمینان ماتریس چرخش. مشکلی که هست از خود تعریفی که همین دترمینانه ازش درومده، به وجود میاد. یعنی همون polar vector بالایی که با اسم 'v نشون داده شده رو من میتونم به شکل ضرب خارجی دوبردار دیگه بنویسم و ثابت کنم بعد از چرخش دستگاه مختصاتی، رابطه چرخشش مثل pseudovector، یعنی رابطه دو هستش نه مثل رابطه اول polar vector.


همون عیب کار باید از یه چیزی مثل تفاوت در ماهیت ریاضی وار این ها باشه، جه میدونم مثلا (1,2,3) همزمان میتونه نمایانگر یک نقطه، یا یک بردار در فضا باشه. گرچه دقیقا شکل نوشتاری ریاضیشون یکسان هست با این حال به شکل ماهوی متفاوت هستند.

paradoxy نوشته شده:عنی همون polar vector بالایی که با اسم 'v نشون داده شده رو من میتونم به شکل ضرب خارجی دوبردار دیگه بنویسم و ثابت کنم بعد از چرخش دستگاه مختصاتی، رابطه چرخشش مثل pseudovector، یعنی رابطه دو هستش نه مثل رابطه اول polar vector.

نه نمیتونی.
اگر اینکارو بکنی فکرشو کردی چه بلایی سر اون بردارهای اولیه میاد ؟

چون دقیقا بینهایت حق انتخاب برای ساختن برداری که روش داریم بحث میکنیم با ضرب خارجی دارم، قطعا میتونم دوتا بردار اولیه رو قطبی انتخاب کنم که یکی محوری بدست بیارم که به همین تناقض مطرح شده برسونم مسئله رو. البته میشه دوتا محوریم انتخاب کنم فرقی نداره. حالا یکی میاد همون بردارهای اولیه هم ثابت میکنه که محوری ان (با همین روش من) مشکلی نیست واقعا، چون با ایتقرا میشه نشون داد همه بردارها محوری ان اصلا. اگه دقت کنی بردار مثلا مکان بر بینهایت صفحه عموده دیگه درست؟ این بینهایت صفحه کل فضا رو پوشش میده، حالا هر دو بردار غیر موازی ای در این صفحات میتونه سازنده بردار مکان بشه، و به این شکل میشه استقرا زد که تمام بردار های درون فضا محوری اند، چون قیدی برای انتخاب r وجود نداره. بازم بیان بهترشو باید ازین کارش بپرسم

به نظرت اون دو تا برداری که می خوای بردار مکان روُ به صورت حاصل ضرب خارجیشون بنویسی، نباید خودشون معرف کمیت های فیزیکی باشن؟ با این شرط فکر نمی کنم بتونی بی نهایت جفت بردار پیدا کنی که حاصل ضرب خارجی هر جفت بهت بردار مکان روُ بده.

دو تا کمیت دینامیکی برداری (چه قطبی، چه محوری) معرفی کن که حاصل ضرب خارجیشون در هر لحظه بردار مکان روُ بده.

نه الزامی نمیبینم. چرا باید دو بردار اولیه معرف کمیت فیزیکی باشند؟ (حالا این به کنار که تمام بردار های محوری و قطبی همشون الزاما معرف کمیت فیزیکی نیستند و موجودات ریاضی وار محض اند.)

paradoxy نوشته شده:نه الزامی نمیبینم. چرا باید دو بردار اولیه معرف کمیت فیزیکی باشند؟ (حالا این به کنار که تمام بردار های محوری و قطبی همشون الزاما معرف کمیت فیزیکی نیستند و موجودات ریاضی وار محض اند.)

عجب؛ یعنی تو یک بردار هم اندازه و هم جهت با بردار مکان روُ به صورت حاصل ضرب خارجی دو تا بردار انتزاعی که معرف هیچ کمیت فیزیکی ای نیستن می سازی، و بعد بهش میگی بردار مکان (که یک کمیت فیزیکیه)، و به این نتیجه راضی هستی؟

حالا بگذریم از این که بردار مکان لزوماً ثابت نیست و یا همواره عمود بر یک صفحه ی مشخص نیست، و ممکنه جهتش با گذشت زمان تغییر کنه. در این صورت در هر لحظه باید یک جفت بردار متفاوت پیدا کنی که حاصل ضرب خارجیشون بردار مکان در اون لحظه روُ بهت بده. این دیگه از حالت قبلی هم عجیب تره.

اشکال اولت پسندیدست اما پذیرفته نیست، اولا
به عنوان مثال یه دونه انتگرال (ریمانی) رو در نظر بگیر. این انتگرال اصلا کارش اینه که دیفرانسیل های سطح رو جمع میزنه و سطح زیر نمودار میده. (پروسه تبدیل sum به انتگرال و ... هم در نظر بگیر) از نظر ریاضی این انتگرال برای هر تابعی از جنس مکان به کار بره فقط‌ و فقط سطح زیر نمودار میده. اما جالب اینجاست که شما میتونی با این انتگرال، طول رو هم حساب کنی. کافیه مشتق یک خم رو زیر انتگرال بزاری تا بهت طول قوس بده. حالا بحث اینجاست که چطور یه انتگرالی که از دید ریاضی سطح میده، اینجا طول منحنی میده؟ من این بحث رو با یک دکتر ریاضی داشتم. مسئله ای که هست اینه که ابعاد فیزیکی دلبخواه هستند و گرچه ما با دید ریاضی وار میگیم حتی اون انتگرال طول قوس سطح زیر یه تابع رو رو داره میده،(مشتق یک تابع هم تابعه دیگه!) با دید فیزیکی هستش که میگیم حاصل این جنسش طوله و یک بعدیه. اینجا هم همینه و مشکلی نیست که به دو موجود ریاضی وار بعد دلخواه بدیم.

دوما اصلا شما عالم فیزیک رو بزار کنار و سوال من رو فقط ریاضی وار بررسی کن. در عالم ریاضی هرگونه برداری رو من با ضرب خارجی از دو بردار ریاضی وار دیگه میسازم پس تمام بردار ها محورین و اصلا وجود بردار قطبی ممنوع هست از نظر ریاضی. حالا چی؟

مشکل دومت به خاطر دید کارتازینیه که از مختصات داری، کافیه دستگاهت رو از اول خمیده خط در نظر بگیری تا این عجایب یکم کمتر شه

edwardfurlong نوشته شده:نه نمیتونی.
اگر اینکارو بکنی فکرشو کردی چه بلایی سر اون بردارهای اولیه میاد ؟

دقت کن .
با فرض بردار بودن وقتی ضرب خارجی انجام میدی از قاعده بردار پیروی نمیکنه.
تو میخوای با فرض بردار بودن با ضرب خارجی بردار بسازی؟!!
اگر بخوای بسازی دیگه بردارهایی که ساختی بردار نبودن. یک چیز دیگه بودن.
با زبان ریاضی بر حسب ماتریس تبدیل بنویس تا متوجه بشی.

اینم بیان ماتریسی، تانسوریش:



هر مولفه ضرب خارجی به این شکل معین میشه. حالا تحت یه یه دوران دلخواه aj به a'j و bk به b'k و الی آخر تبدیل میشه که دقت کنی هم برای جمله اول و هم جمله دوم این رابطه، دوتا کسر به وجود میاد که هر کسر وظیفه دوران دادن a یا b رو داره. از همینجا میشه دید که بازم همون قضیه منفی در منفی مثبت و ... اینجا هم به وجود میاد. کافیه برای هر سه مولفه ضرب خارجی ایت کار رو انجام بدی تا اثبات کنی از هر دو برداری می شود یک بردار دیگر ساخت! فکر کنم جای ضرب خارجی برداری، ضرب مستقیم تانسوری کردی که به اون نتیجه رسیدی که بردارای اولیه دیگه نمیتونن بردار باشند. در حالی که ضرب خارجی برداری فرق داره با ضرب مستقیم، ضرب مستقیم یه مرتبه میره بالا بعد ضرب. دیگه بردار نمیده دستمون که لازم داریم.

البته باید بگم این فقط یه ورژنه این سواله و برعکس تمام این ها هم قابل اثباته که همه بردارا قطبین و اصلا محوری نداریم و اینا، فرقی نمیکنه منطقشون مشابهه.