هوپا، انجمن علم ایران

سلام/به طورکلی تفاوت اندیس های بالانویس که مختصه ها(ابعاد)رو نشان میدهند با اندیس های پایین نویس چیست؟

ولطفا درمورد بردارهای هموردا و پادوردا نیز توضیح دهید که تفاوتشان درکاردبرد چیست؟

اگه تک اندیس باشه، و اندیس بالا باشه برای برداره، اگر تک اندیس باشه و پایین نویس باشه manifold ه. فصل اول first course in general relativity schutz اینارو با عکس توضیح داده. اندیسای بالاتر معمولا شکل قابل تصوری رو نمیدن. فرقشونم در نحوه تبدیلشونه. وقتی از یک مختصه به مختصه دیگه میخوایم بریم و متریک رو میزاریم پشت بردار یا منیفولد، بردار جهتش و اندازش تغییری نمیکنه ولی منیفولد همراه دستگاه مختصات میچرخه! تفاوتشون در کاربردم تا حدی واضحه. بردار ها که بردارند هیچ، اما منیفولد ها بهترین مثالشون گرادیانه. اینارو باید از کتابی چیزی خوند و زیاد مثال حل کرد، حتی همین الانش من چند ماهی هست اینارو گذاشتم کنار احساس میکنم باید ببینمشون دوباره.

این نوع نمادگذاری به صورت بالانویس در کتاب آرفکن اینجوری معرفی شده: ابتدا تعریف بردارو به صورت تبدیل (افین)خطی اورده و بعدش گفته که هر مجموعه ای از Aپرایم با اندیس بالانویس که رابطه خطی بردار برایش صدق کند بردار پادوردا می نامند ودرادامه که وارد بحث تانسورها میشه با استفاده ازهمین شاخص های بالا و پایین تانسورهای آمیخته و هموردا رو توضیح میده و وارد مبحث manifolds نمیشه. در ادامه که با استفاده از همین شاخص های بالا وپایین خیلی از مفاهیم تانسورهارو توضیح میده به درستی متوجه تفاوت این شاخص ها نمی شویم مثلا گفته که A نسبت به دوشاخص خود پادورداست و اومده با جمع بستن روی یکسری مشتق های جزیی با شاخص های بالا و پایین تانسور رتبه دو پادوردا رو معرفی کرده ولی درمورد خمینه ها و این شاخص ها برای خمینه ها فعلا هیچ توضیحی نداده است.
منظور از contravariant vectors / covariant vectors / covector چیست؟

طبق آخرین جستوجوها دراین نمادگذاری ها منظور از اندیس بالانویس زیرفضایی است که تانسور موردنظر اون رو دربرمیگیرد و می خواهیم آن زیرفضا ازاین تانسور را نمایش دهیم.
واندیس پایین نویس:مولفه های(مثل بردارهای پایه)هر زیرفضا رونشان میده.
ووقتی از ۲اندیس بالانویس استفاده میشه یعنی اینکه درهر زیرفضای موجود/زیرفضایی دیگر وجود دارد.
و۲اندیس پایین نویس:به ترتیب به ابعاد زیرفضاهای مشخص شده اندیس های بالا اشاره می کنند.
حداقل نظردهید که این درست است یاخیر.
ولی سوالی که درباره این نمادگذاری هاپیش میاداینه که اگر شما یک آرایه چندبعدی رو درنظربگیریدمثل A با تنها اندیس پایین نویس می توان دقیقا اون رو آدرس دهی کرد حال آن که این آرایه می تواندیک ماتریس نیز باشد؟ پس چرا از اندیس بالانویس استفاده می کنیم؟

انقدر نیاز نیست سختش کنید. اول با تانسورای یک اندیسی شروع میکنم.
یک اسکالر جهت نداره. یک بردار جهت داره. چطور به یک اسکالر جهت بدیم، بشه یک بردار؟ باید از بردار های پایه مختصات استفاده کنیم. پس به عبارت دیگه هر بردار در فضا دارای دو جزء ه، بردار های پایه مختصات و اسکالرهای بردار. مثلا (v=(a,b,c رو میشه به شکل a i + b j + c k هم در فضای اقلیدسی نشون داد. i j k بردارای پایه فضا اند و a b c اسکالرها هستند. من میخوام این بردار رو از مختصات کروی به یک مختصات دلخواه دیگه ببرم، باید چیکار کنم؟ به وضوح باید هم بردار های پایه رو عوض کنم، هم اسکالر ها رو.

یک مثال سادش که ویکی پدیا هم نوشته میزنم، مثلا فرض کنیم v بردار سرعته با واحد متر بر ثانیه در مختصات کارتیزین. i j k هم بردار های پایه این مختصات هستند. اگر من بردارم بردار های پایه رو بخش بر صد کنم که این بردارها نمایانگر سانتی متر بر ثانیه بشن (اندازه این بردارهای پایه یک میمونه ها، صرفا واحدشون عوض میشه)، چه بلایی سر اسکالر های بردار سرعتمون میاد؟ اونا ضربدر صد میشن! مثلا سی متر بر ثانیه معادل سه هزار سانتیمتر بر ثانیست. یعنی تبدیلی که برای اسکالر ها رخ میده درست برعکس تبدیلی هستش که به سر بردار های پایه بردار سرعت میاد. اینجا مفهوم contravariant یا پادوردا به خوبی قابل مشاهدست. وقتی اسکالر ها بر عکس بردارهای پایه تبدیل میشن میگیم بردار پادورداست و با ماتریس ستونی یا تانسوری که اندیس بالا داره نشونش میدیم.

در فیزیک صرفا اشیاء ناوردا بدردمون میخوره. اگر چیزی ناوردا نباشه زوری ناورداش میکنیم. یک بردار، یا یک تانسور تک بالا اندیس به این شکل ناوردا میمونه که وقتی پایه هاش رو تحت تبدیل A (که یک ماتریسه) عوض شدند اسکالر هاش با تبدیل A^-1 عوض شن. مثلا من بردار جا به جایی رو از کارتیزین میبرم به کروی. هم باید بردارهای پایه i j k رو بکنم r theta phi هم اسکالرها که شامل x y z هستند رو باید به شکل r theta phi بنویسم، چطور اینکار انجام میشه؟ اونطور که گفتم!

هموردا درست عکس پادورداست، مثلا گرادیان یک covariant هست، هر بلایی سر بردارهای پایه ش بیاد، همونطور سر اسکالرای پشتش میاد. ناوردا موندن یک هموردا دقیقا به این شکل تضمین میشه که اسکالرها درست مثل بردارای پایه تبدیل بشن. هموردا هارو با ماتریس افقی یا تانسور تک اندیس پایین نشون میدیم.

در حالت کلی تانسور میتونه حاوی اسکالرهای هموردا و پادورا باشه که هر کدوم به ترتیب لازم خودشون تبدیل میشن. اونقدر چیز سختی نیست.

سپاس ازپاسخ شما.لطفا نظر خودتون رو هم درباره درستی توضیحات زیربدهید:


با تعاریف ابتدایی تانسورها آشنایی داریم.
منظور از آرایه همان تانسور است؟
چه منبعی رو برای آشنایی با تانسورها معرفی می کنید؟

تقریبا به هر آرایه ای از اعداد میشه تانسور گفت، دستکم اونایی که در تعریف تانسور می گنجند و با جا به جا کردن اندیس ها، تغییر علامت نمیدند. مثلا نماد لویچیتا اگر درست در خاطرم باشه تانسور نیست، چون جای i j رو عوض کنیم درش، یه تغییر علامت ظاهر میشه پشتش.
اما در مورد سوالتون، من نفهمیدم یا بلد نیستم که پاسخی ندادم. الان اینجا منظور فضای برداریه؟ فضای توپولوژیکه؟ یا اصلا منظور ابعاد ماتریسیه که با تانسور داریم نشونش میدیم؟ زیرفضا چطور تعریف شده؟ و این که الزاما اندیس پایین نویس بردار پایه رو نشون نمیده. مثال زدم، گفتم گرادیان هم با اندیس پایین نویس نشون داده میشه. اگه برای A منظور ماتریس دو بعدی باشه خیر، فکر نمیکنم بشه با ماتریس دو بعدی، تانسور N بعدی رو نشون داد. یا اگرم بشه، هیچ کاری با اون ماتریس نمیشه کرد، ضرب و اینا به شکل معمول براش ممکن نیست. اما این که چرا با اندیس بالا نویس یا پایین نویس نشون بدیم یک ماتریس رو، گفتم در پست بالا! باید دید که اسکالر های موجود در اون ماتریس به چه شکلی تبدیل میشن (کانتروریانت یا کووریانت) بعد تصمیم گرفت که با اندیس بالا نشون داد یا پایین.

من تانسورا رو مختصرا از آرفکن و مفصلا از کتاب a first course in general relativity خوندم که با تصویر و ... خیلی عالی توضیح داده. کتاب تخصصی ترشم هست، hobson نوشته ولی الان اسمش در خاطرم نیست.

تفاوت این دوعبارت چیست؟

‍~:Arrow sign
unit vector:e
علامت پرایم رانیز درنظربگیرید

والله من این سبک نوشتاری رو تاحالا ندیدم، منتهی پروجکت کردن یه بردار پایه به یه بردار پایه دیگه اگر اشتباه نکنم همون تبدیل برداری خودمونه، یعنی فرقی ندارند، تبدیلشون دقیقا عکس هم هست. مثلا من میخوام e_r رو تبدیل کنم به e_x، از یک ماتریس، یا یک تانسور استفاده می کنم (اسمش متریکه)، حالا میخوام e_x رو به e_r تبدیل کنم، دقیقا از معکوس اون ماتریس یا تانسور استفاده می کنم.