نواحی در بسط لوران


نواحی در بسط لوران

نوشتهاز سوی tempel در چهارشنبه 15 اسفند 1397 - 18:35

سلام، ناحیه
تصویر
درصفحه مختلط را درنظر بگیرید
آیا نقطه z=1 درون ناحیه و نقطه z=2 حارج از ناحیه(طوق) مشخص شده می باشند؟

چون گفته "z=1 داخل ناحیه 2 >|z| است و z=2 خارج ناحیه 2>|z| قرار دارد."

چرا فقط ناحیه 2 >|z| رو در نظرگرفته درحالی که طوق مشخص شده ناحیه بین دودایره هم مرکز باشعاع های 1و2 می باشد.
 
سپـاس : 2 times

ارسـال : 65


نام: tmp bt
نام نویسی: 96/6/26

ذکر نشده

Re: نواحی در بسط لوران

نوشتهاز سوی paradoxy در چهارشنبه 15 اسفند 1397 - 20:03

به علت اشتباه بودن حذف شد.
واپسین ویرایش بدست paradoxy در پنجشنبه 16 اسفند 1397 - 02:21, رویهم 1 بار.
نماد کاربر
 
سپـاس : 936 times

ارسـال : 1823


نام: داود حاجي تقي تهراني
سن: 15 سال
نام نویسی: 93/10/22

ذکر نشده

Re: نواحی در بسط لوران

نوشتهاز سوی tempel در چهارشنبه 15 اسفند 1397 - 21:01

تابع رو درنظر بگیرید واون رو به دو قسمت تجزیه کنید.این تابع دارای دو نقطه غیرتحلیلی درنقاط 1و2 است.حالا باید چک کنیم که این نقاط روی ناحیه مشخص شده(همون طوق) قرار دارند یا خیر.اگر نقطه ای(غیرتحلیلی) درناحیه طوق قرار داشت که باید از توان های منفی z-z0 استفاده کنیم و بسطش رو بنویسیم ولی اگر نقطه غیرتحلیلی درون طوق نبود توان های مثبت z-z0 رو به کار می بریم(بسط تیلور).
ولی اینجا چندین بار تکرار کرده ونوشته شده که" z=1 داخل ناحیه 2 >|z| است و z=2 خارج ناحیه 2>|z| قرار دارد."
حال آنکه در اینجا درون و بیرون بودن نقاط اهمیت دارد.
پس چرا دراینجا فقط نسبت به 2 >|z| موقعیت(درون یا بیرونی بودن) نقاط سنجیده شده است. مگر ناحیه بین 1<|z| نیز محدود نشده است.
برای بسط هرکدوم از این دو کسر(پس از تجزیه f(z)) از کجاتشخیص بدیم که باید از کدوم ناحیه پیروی کرد.
 
سپـاس : 2 times

ارسـال : 65


نام: tmp bt
نام نویسی: 96/6/26

ذکر نشده

Re: نواحی در بسط لوران

نوشتهاز سوی paradoxy در پنجشنبه 16 اسفند 1397 - 01:24

ببینید برای توصیف کامل تابع اف زد در اینجا نیاز داریم که تمام فضا رو به سه قسمت تقسیم کنیم. یک محدوده از صفر که شامل خود صفر میشه تا یک اما یک رو شامل نمیشه. یک محدوده از یک که شامل یک میشه تا دو که شامل دو نیست، و یک محدوده از دو که شامله دوه تا بینهایت که شاملیت برای خود بینهایت بی معناست. به هیچ روش دیگه ای نمیتونید این تابع رو به شکل یک به یک تقسیم کنید (یعنی نمیتونید به شیوه دیگه ای فضا رو جوری تقسیم کنید که همه اعداد همزمان در نظر گرفته بشن و همزمان هیچ عددی بیش از یک بار تکرار نشه) بنابرین علت این که شما در بین ناحیه یک تا دو میبینی دو به حساب نیومده اینه که محدوده اون متعلق به دو تا بینهایت هست. هر سوال و مسئله دیگه ای که در تضاد حرف من دیدید بیارید بررسی میکنیم. بنابرین عملا فضا به شکلی تقسیم میشه که در هر سری یک تکین ظاهر بشه. اون تکین هم با فاکتور گیری میشه از شرش خلاص شد و بسط تیلور عادی داد.

برای حل مسئله، اول کسر رو تبدیل کنید به جمع دو کسر. کسری که مخرج زد منهی دو داره کشکه، بسط تیلور بدید بره. اون یکی کسرم از یک زد در مخرج فاکتور بگیرید و هرچی موند رو بسط تیلور بدید به همین سادگی. این برای ناحیه سواله

ویرایش: پست بالایی من هم صد در صد اشتباه هست چون زد رو یک عدد حقیقی در نظر گرفتم و اون روابط رو نوشتم. زد رو مختلط میگیرن و اون روابط به کل برقرار نیست. ولی میشه همین مسئله رو به فرم اعداد حقیقی هم بدن هیچ عیبی نداره.

ویرایش دو: برای این که جای ابهامی در توضیحی که دادم باقی نمونه، در حالت اول که شعاع زد رو بین صفر تا یک میگیرید یک روی محیط دایره یا محدوده دلخواهتون که هر شکلی داره میوفته. بنابرین به حساب نمیاد، چون دقیقا روی مرزه. اگر شعاع از یک بزرگتر باشه تا دو، اون موقع قطعا یک درون دایره یا محدوده دلخواه میوفته، ولی دو نمیوفته، چون دو روی محیطه. در نهایت اگر شعاع از دو تا بینهایت باشه، اون موقع هر دو تکین داخل میوفتن و بنابرین هردو رو باید به حساب آورد. این که چرا چنین چیزی درسته، فکر میکنم دلیلش قضیه استوکسه که میشه انتگرالی خطی رو تبدیل کرد به انتگرال سطحی و نشون داد که چون تکین روی محیطه اثری نداره.
نماد کاربر
 
سپـاس : 936 times

ارسـال : 1823


نام: داود حاجي تقي تهراني
سن: 15 سال
نام نویسی: 93/10/22

ذکر نشده

Re: نواحی در بسط لوران

نوشتهاز سوی tempel در پنجشنبه 16 اسفند 1397 - 11:02

در این سوأل بسط لوران رو درناحیه محدود بین 1و2 درصورتی که خود نقاط 1و2 درون ناحیه نیستند می خواهد.
همونطوری که ذکر کردید

در حالت اول که شعاع زد رو بین صفر تا یک میگیرید یک روی محیط دایره یا محدوده دلخواهتون که هر شکلی داره میوفته. بنابرین به حساب نمیاد، چون دقیقا روی مرزه. اگر شعاع از یک بزرگتر باشه تا دو، اون موقع قطعا یک درون دایره یا محدوده دلخواه میوفته، ولی دو نمیوفته، چون دو روی محیطه


این شکل وناحیه محدود بین c1وc2 رو در نظر بگیرید همونطوری که در سوأل مشخص شده است
تصویر

هیچ یک از نقاط تکین( 1و2 ) هم درون این ناحیه نمی باشندپس برای بسط این تابع حول نقطه صفر باید از بسط تیلور استفاده کنیم حال سوأل اینجاست،
که در پاسخ اومده و نقطه تکین z=1 رو درون وz=2 رو خارج از ناحیه 2> |z| گرفته و ناحیه بینی رو که اصل کاری است و سری باید در اون ناحیه نوشته بشه رو درنظر نگرفته یعنی خارج و درون بودن نقاط رو فقط نسبت به2> |z|سنجیده و نه1 < |z|

آیا در تقسیم بندی صفحه مختلط فقط بزرگترین شعاع تا مبدا در نظر گرفته می شود به جای اینکه ناحیه محدود رو (بین c1,c2)در نظر بگیریم.چرا؟
 
سپـاس : 2 times

ارسـال : 65


نام: tmp bt
نام نویسی: 96/6/26

ذکر نشده

Re: نواحی در بسط لوران

نوشتهاز سوی paradoxy در پنجشنبه 16 اسفند 1397 - 12:27

یک کلام، محدوده اف زد مهمه نه حدود خود زد. مهم اینه که اف زد از کجا داره شروع میشه، نه خود زد.
همین مسئله رو در نظر بگیرید و فرض کنید که ما دنبال بسط دادن تابع اف زد حول صفر هستیم، و میخوایم رفتارش رو *تا* نقطه یک بررسی کنیم و جلوتر نریم. در چنین حالتی تابع اف زد تماما تحلیلی هست، بجز روی مرزی که تعیین کردیم براش. از اونجایی که فضا پیوسته هست، به هر اندازه دلخواه میشه به یک نزدیک شد ولی هیچ وقت در نظر نگرفتش، به عبارت دیگه میتونیم بسط اف زد رو تا یک منهی اپسیلون بنویسیم و جلوتر نریم. در چنین حالتی تکین داخل محدوده اف زد نمیوفته، بنابراین بسط تیلور عادی کفایت میکنه برای همه چیز. دقت کنید اف زد از صفر شروع شده.
اما حالا در همین مسئله، فرض کنید که میخوایم محدوده بزرگتری رو در نظر بگیریم، به شکل که اف زد رو دوباره بخوایم از نقطه صفر بسط بدیم، و انقدر بسط رو ادامه بدیم تا محدوده بین یک تا دو رو *هم* شامل بشه. به عبارت دیگه در چنین بسطی رفتار اف زد *تا* نقطه دو معین میشه. مثل قبل میتونیم بینهایت به دو نزدیک بشیم ولی خود دو رو بندازیم بیرون و در نظر نگیریم، اما اف زد وقتی از صفر شروع شده بالاخره سر راهش به یک برخورد کرده و نمیتونیم یک رو بندازیم بیرون. توجه کنید محدوده اف زد مهمه نه محدوده زد. شما داری اف زد رو از *صفر* شروع میکنی بسط میدی میای جلو، کاری نداری حدود زد چیه. دقت کنید اف زد از صفر شروع شده.
در نهایت برای حالت آخر میشه رفتار اف زد رو با بسط لوران به شکلی تعیین کرد که علاوه بر یک، دورو هم شامل بشه. در چنین حالتی میتونیم اف زد رو در تمام فضا بررسی کنیم و هیچ چیز از قلم نمیوفته. دقت کنید اف زد بازهم از صفر شروع شده!

حالا نکته: شما فرض کن اف زد به جای این که قرار بود حول صفر بسط داده بشه، حول نقطه سه مثلا بسط داده میشد. در چنین حالتی هم چنان میشد شعاع زد رو گرفت از صفر تا یک، و هر دو تکین یک و دو رو انداخت بیرون. و بسط تیلور داد. میشد زد شعاع رو گنده تر گرفت، مثلا بین دو تا سه، اون موقع تکین دو میوفتاد توی سری و باید در نظر میگرفتش، اما یک میوفتاد بیرون. در نهایت میشد بزرگتر گرفت شعاع رو و مثلا بین سه تا بینهایت، اون موقع هر دو تکین یک و دو میوفتاد. مهم نیست محدوده شعاع چیه، مهم محدوده ی خود اف زده که از کجا داره شروع میشه و پایانش کجاست.

پ.ن: من قسم نمیخورم رو چیزی که نوشتم، چون خودمم اینارو تو آرفکن خوندم که افتضاح توضیح داده. با این حال هم چنان که دارید مسائل این چنینی رو بررسی می کنید، اگر چیزی در تناقض گفته من دیدید بزارید همین تاپیک، ولی خیلی بعید میدونم این نباشه که گفتم.
نماد کاربر
 
سپـاس : 936 times

ارسـال : 1823


نام: داود حاجي تقي تهراني
سن: 15 سال
نام نویسی: 93/10/22

ذکر نشده

Re: نواحی در بسط لوران

نوشتهاز سوی aalireza در شنبه 18 اسفند 1397 - 06:50

tempel نوشته است:آیا نقطه z=1 درون ناحیه و نقطه z=2 حارج از ناحیه(طوق) مشخص شده می باشند؟

خیر. هر دو نقطه خارج از ناحیه‌ن.

---
تابعت توی این محدوده‌ای که نوشته، هولومورفیکه و بسطِ لوران و تیلورش مساوی. ما از کجا باید بدونیم «اونجا» چی‌نوشته؟ سوال و چیزی که نوشته رو اگه کامل بنویسی بهتر جواب می‌گیری.
نماد کاربر
 
سپـاس : 513 times

ارسـال : 806


نام نویسی: 88/5/8

مرد

Re: نواحی در بسط لوران

نوشتهاز سوی paradoxy در شنبه 18 اسفند 1397 - 11:36

aalireza نوشته است:
tempel نوشته است:آیا نقطه z=1 درون ناحیه و نقطه z=2 حارج از ناحیه(طوق) مشخص شده می باشند؟

خیر. هر دو نقطه خارج از ناحیه‌ن.

---
تابعت توی این محدوده‌ای که نوشته، هولومورفیکه و بسطِ لوران و تیلورش مساوی. ما از کجا باید بدونیم «اونجا» چی‌نوشته؟ سوال و چیزی که نوشته رو اگه کامل بنویسی بهتر جواب می‌گیری.

ولی وقتی شعاع زد یک یا بزرگتر از یک تا دو باشه، قطعا اف زد یک رو شامل میشه، هرچی نباشه اف زد رو حول صفر داریم بسط میدیم. ننوشته اف زد بین یک تا دوه، نوشته خود زد بین یک تا دوه. اف زد از صفر شروع میشه تا جایی که شعاع زد بهش اجازه میده. که اینجا شعاع زد محدودش معلومه.
نماد کاربر
 
سپـاس : 936 times

ارسـال : 1823


نام: داود حاجي تقي تهراني
سن: 15 سال
نام نویسی: 93/10/22

ذکر نشده

Re: نواحی در بسط لوران

نوشتهاز سوی aalireza در شنبه 18 اسفند 1397 - 15:46

paradoxy نوشته است:
aalireza نوشته است:
tempel نوشته است:آیا نقطه z=1 درون ناحیه و نقطه z=2 حارج از ناحیه(طوق) مشخص شده می باشند؟

خیر. هر دو نقطه خارج از ناحیه‌ن.

---
تابعت توی این محدوده‌ای که نوشته، هولومورفیکه و بسطِ لوران و تیلورش مساوی. ما از کجا باید بدونیم «اونجا» چی‌نوشته؟ سوال و چیزی که نوشته رو اگه کامل بنویسی بهتر جواب می‌گیری.

ولی وقتی شعاع زد یک یا بزرگتر از یک تا دو باشه، قطعا اف زد یک رو شامل میشه، هرچی نباشه اف زد رو حول صفر داریم بسط میدیم. ننوشته اف زد بین یک تا دوه، نوشته خود زد بین یک تا دوه. اف زد از صفر شروع میشه تا جایی که شعاع زد بهش اجازه میده. که اینجا شعاع زد محدودش معلومه.


۱. خیلی سریع می‌تونی متوجه بشی چیزی که داری فکر می‌کنی غلطه:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=poles+(-1)%2F((z-1)(z-2)),+1+%3C+%7Cz%7C+%3C+2

f تویِ محدوده‌یِ مشخص شده هولومورفیکه. تویِ C مرومورفیکه با دو تا قطبِ ساده در z=1 و z=2.



بعدنوشت:

این جمله:

ولی وقتی شعاع زد یک یا بزرگتر از یک تا دو باشه، قطعا اف زد یک رو شامل میشه


درسته و منطقاً هم توتولوژیکه (اف زد کلِ شعاعِ زد رو شامل می‌شه، اگه زد تو دامنه باشه، اف شاملش می‌شه)، ولی سؤال این رو نگفته. شعاعِ زد یک رو شامل نمی‌شه. اگه شامل می‌شد اون‌وقت یه‌قطب داشتیم در z=1. میتونی هم خودت چک کنی:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=poles+(-1)%2F((z-1)(z-2)),+1+%3C%3D+%7Cz%7C+%3C+2

ولی بقیه‌یِ چیزایی که نوشتی نمی‌فهمم بعد از سه‌چهاربار خوندنشون.

نکته: اِف یه مپینگه که یه‌مشت نقطه رو از یه‌صفحه‌یِ دوبعدی (دامنه) می‌ندازه تویِ یه‌صفحه‌یِ دوبعدی دیگه (برد). بسطِ اِف، یعنی انداختن اون‌نقاط، تیکه‌تیکه، از این‌صفحه به اون‌صفحه. به‌عبارتِ دیگه، بسطِ اف، به همون نقاطی دست می‌زنه که خودِ اف دست می‌زنه... رو همین حساب گفتنِ این‌که شعاعِ اف زد از کجا تا کجاست و ما اف زد رو بسط می‌دیم نه زد و شعاعش و اینا، کلاً معنی نمی‌ده.
نماد کاربر
 
سپـاس : 513 times

ارسـال : 806


نام نویسی: 88/5/8

مرد

Re: نواحی در بسط لوران

نوشتهاز سوی paradoxy در شنبه 18 اسفند 1397 - 17:59

در سری ها و بسط ها من زیاد به ولفرام و متلب اعتقادی ندارم، چون متوجه پیوستگی فضا زیاد نیستند باید دستی مساوی بزاری.

توضیح شما راجب مپینگ اف زد هم صحیح هست و موافقم، اما اجازه بدید مفهوم خود بسط دادن رو بررسی کنیم، به نظر من بسط دادن یک تابع حول یک نقطه به این معنی هست که رفتار یک تابع رو در نزدیکی اون نقطه بررسی کنیم، چقدر نزدیک؟ بسته به تعداد جملاتی که در بسط دادن نگه می داریم. مثلا اگر من یک تابع رو بسط تیلور بدم حول 0، و فقط سه جمله نگه دارم، میتونم رفتار تابع رو حول و حوش صفر تا مثلا فوقش 0.1 به خوبی توصیف کنم (یعنی میتوانم به جای خود تابع، از جملات بسطش استفاده کنم)، ولی ازون دورتر دقتم به شدت پایین میاد. به جای اون، اگر بینهایت جمله بسط رو نگه دارم می تونم رفتار تابع رو، حالا هرچقدر هم دور از نقطه مشخص شده، بررسی کنم. یعنی در تمام فضا، اگر تکین نداشته باشیم البته. در ادامه بیشتر توضیح میدم.

پست دوم tempel رو ببینید، سوال ذکر کرده که ما میخوایم اف زد رو حول نقطه 0 بسط بدیم و یک محدوده شعاع مشخص کرده‌.
حالا منظور من رو که متوجه نشدید بعد از سه چهار بار خوندن، شاید ویکی پدیا با مثال و توضیح مجدد بنده بهتر معلوم کنه:

https://en.wikipedia.org/wiki/Laurent_series


Capture.PNG
Capture.PNG (58.33 KIB) بازدید 539 بار

تابع اف زد، توی مثال ویکی پدیا واضحه، دقیقا عین سوالی هست که tempel پرسیده با یک تفاوت کوچولو در تکین دوم. ما دنبال این هستیم که تابع اف زد رو، حول صفر بسط بدیم.
در بسط دادن، برای داشتن دقت کافی باید به دو نکته طلایی توجه کنیم که اینجا در ویکی پدیا ننوشته:
1. شعاع همگرایی 2. تعداد جملات بسط، که در اینجا اولی مطرحه.

من می تونم تابع اف زد ویکی پدیا رو حول صفر 100% بسط تیلور بدم بدون هیچ زحمت اضافه ای، به شرطی که شعاع رو تا قبل از یک بگیرم. (|z| بینهایت به یک نزدیک میشه، ولی خود یک رو در نظر نمیگیریم. برای همین مساوی یک نمیزاریم. یعنی یک اپسیلون مونده به یک متوقف میشیم) چنین چیزی رو خود ویکی پدیا در اولین راه حل خودش نوشته. با چنین بسطی، من حتی اگر بینهایت جمله بسط رو هم نگه دارم رفتار تابع رو تنها و تنها تا شعاع 1 میتونم به درستی تعیین کنم.

اما حالا فرض کنید می خوایم رفتار تابع زد رو، حتی تا محدوده بیشتری بررسی کنیم و تا یک بسنده نکنیم. برای این منظور، دیگه بسط تیلور عادی نمیشه داد چون تکین داریم. فرض کنید می خوایم شعاع رو، که قبلا تا یک در نظر گرفته بودیم، این بار از یک تا دو نظر بگیریم. تحت چنین شرایطی اگرچه محدوده شعاع بین 1 تا 2 هست، اما چون بسط حول صفر داده شده، تکین اول یعنی 1 باید در نظر گرفته بشه. دقت کنید، هم چنان می نویسیم
1<|z|<2

و تساوی نمیزاریم، چون در خود خود یک، تابع بینهایت هست، پس چه کاری می تونیم بکنیم؟ می تونیم حول نقطه 1 یک پربند بکشیم و خود 1 رو بندازیم بیرون و در نظر نگیریم، اما تکین یک خواه ناخواه اثر خودش رو در بسط دادن ما میزاره، چون ضرایب بسط لوران تقاضا میکنه که تمام تکین هایی که داخل محدوده اف زد هستند رو در نظر بگیریم. (بالای همین صفحه ویکی رو ببینید.) در نتیجه جمله اول سری بسط لورانه، در حالی که جمله دوم همچنان بسط تیلوره. و در نهایت اگر بخوایم محدوده شعاع رو بینهایت بزرگ بگیریم، باید هر دو تکین و اثرشون رو در نظر بگیریم.

ازین ساده تر نمیتونم بیان کنم متاسفانه. حالا یا ویکی پدیا یک مساوی جا انداخته، یا من به کلی بسط رو نفهمیدم یا ولفرام واقعا متوجه پیوستگی نیست (در حالی که به نظر هست https://www.wolframalpha.com/input/?i=series+(-1)%2F((z-1)(z-2)),+at+z%3D0 چون خودش نوشته converge when z<1) نمی دانم.
پ.ن: بعد از یک بازخوانی از متنی که نوشتم، به نظر یک بخشش ممکنه بد فهمی ایجاد کنه، اونجا که نوشتم " حتی تا محدوده بیشتری بررسی کنیم و تا یک بسنده نکنیم" صرفا منظورم این بوده که رفتار تابع رو بین 1 تا 2 بررسی کنیم. وقتی تابع تکین داره، در محدوده های مختلف، رفتار های متفاوتی رو نشون میده، برای همینه که فضا رو به محدوده های مختلف تقسیم میکنیم.

https://math.mit.edu/~jorloff/18.04/notes/topic7.pdf این لینک هم مثالای جالب و قابل تاملی داره. اون آخراش، تساوی هم نزاشته و تکین رو عین ویکی پدیا، وقتی لازم شده در نظر گرفته.
نماد کاربر
 
سپـاس : 936 times

ارسـال : 1823


نام: داود حاجي تقي تهراني
سن: 15 سال
نام نویسی: 93/10/22

ذکر نشده

Re: نواحی در بسط لوران

نوشتهاز سوی aalireza در دوشنبه 20 اسفند 1397 - 14:13

اوّلاً)
paradoxy نوشته است: پست دوم tempel رو ببینید، سوال ذکر کرده که ما میخوایم اف زد رو حول نقطه 0 بسط بدیم و یک محدوده شعاع مشخص کرده‌.


هان؟ کجاش گفته؟!! تنها صفری که این‌جاست z0ئه که همونم تمپل اومده صورتِ‌ فرمول رو کپی کرده.

ثانیاً)

اگه سوال بخواد که تو حولِ‌ صفر بسطش بدی اون‌وقت سؤال غلطه. نمی‌تونی حولِ صفر بسط بدی به‌هزار و یک دلیل. همین که یه‌مسیرِ هوموتوپیک به‌صفر (contractible تو C) داشته باشی که تابعت زیرِ‌ اون هولومورفیک نیست (مثلاً یه‌دایره تو مرکز به‌شعاع ۱/۲) یعنی تمامِ چیزایی با کوشی اثبات می‌شه رو داری می‌ندازی بیرون.

ثالثاً)

تو هی پشت‌ِ سرِ هم داری می‌گی تکین داریم کجا و کجا. این نرمِ زد بینِ یک و دوئی که می‌بینی، دامنه‌یِ اف هست. اف خارج از این‌جا تعریف نمی‌شه. پس تکین هم جایی نداری. این‌شعاعِ هم‌گرایی نیست. اصلاً شعاعِ هم‌گرایی رو تا وقتی که تابعت رو به‌صورتِ سری درنیاورده باشی اصلاً‌ معلوم نمی‌شه! علتِ این‌که می‌تونی با داشتن دامنه حدس بزنی شعاعِ هم‌گرایی‌ت چه‌طور درمیاد اینه که چون هم فضات خوشگله و هم دامنه‌ت.

رابعاً)
چیزی که این‌پایین نوشتی:

paradoxy نوشته است: به نظر من بسط دادن یک تابع حول یک نقطه به این معنی هست که رفتار یک تابع رو در نزدیکی اون نقطه بررسی کنیم، چقدر نزدیک؟ بسته به تعداد جملاتی که در بسط دادن نگه می داریم. مثلا اگر من یک تابع رو بسط تیلور بدم حول 0، و فقط سه جمله نگه دارم، میتونم رفتار تابع رو حول و حوش صفر تا مثلا فوقش 0.1 به خوبی توصیف کنم (یعنی میتوانم به جای خود تابع، از جملات بسطش استفاده کنم)


اگه درست باشه، باید بتونی لگاریتمِ ایکس رو حولِ صفر بسط بدی. :) ایده‌یِ پشتِ چیزی که می‌گی درسته، منتهی این‌که حولِ چه‌نقطه‌ای بتونی بنویسی از خواصِ‌ تابعت نتیجه می‌شه و نه از خواصِ‌ فضات؛ به‌عبارتِ دیگه، بسطِ تیلور و لوران و این‌مدل بسط‌هایِ عادی این‌طوری کار نمی‌کنن که شما هر تابعی داشته باشی، بتونی نسبتِ به هر نقطه تو فضات بسطش بدی. بسطایی که تو می‌خوایی داخلِ فضاهایِ خوشگلِ این‌مدلی همه‌بسط‌هایِ اسیمتوتیک/انتگرالی‌اند. تویِ فضاهایِ دیگه هم از تکنیک‌هایِ جبری/یونیورسال باید استفاده کنی که من سرم نمی‌شه.

خامساً)
چی می‌گی داداشِ من ولفرام پیوستگی سرش نمی‌شه؟! اصلاً همین که مساوی باید بگذاری، یعنی پیوستگی سرش می‌شه که هیچ، نوع مرتفع شدنی‌شم سرش می‌شه! احتمالِ این‌که تو اشتباه کنی بیشتره داداش یا ولفرام و متلب و مپل و کلی خرت و پرت اپن‌سورس هم‌زمان اشتباه کنن؟ :)
نماد کاربر
 
سپـاس : 513 times

ارسـال : 806


نام نویسی: 88/5/8

مرد

Re: نواحی در بسط لوران

نوشتهاز سوی paradoxy در دوشنبه 20 اسفند 1397 - 16:56

1.
هیچ یک از نقاط تکین( 1و2 ) هم درون این ناحیه نمی باشند پس برای بسط این تابع حول نقطه صفر باید از بسط ,تیلور استفاده کنیم حال سوأل اینجاست،
که در پاسخ اومده و نقطه تکین z=1 رو درون وz=2 رو خارج از ناحیه 2> |z| گرفته ...


2. تکین رو می‌ندازی بیرون جانم مشکلی نیست. به شرطی میتونی ولی، که تکینت ایزوله باشه. یعنی همون ضریب بسطه لورانو بتونی براش محاسبه کنی.

4. تکین لگاریتم ایزوله نیست و نمیشه پربند دورش کشید و انداختش بیرون، توضیحات بیشتر در :
https://math.stackexchange.com/question ... g-z-at-z-0

عزیز جانم من یک صفحه ویکی پدیا و یک متن از دانشگاه ام آی تی آوردم، انتظار نداشتم اینطوری جواب بگیرم. ویکی پدیا خیلی خوشگل نوشته کن سه تا بسط لوران برای اف زد حول صفر (همونجا که نوشته however there are three .. about zero) وجود داره و هر کدوم رو به تفصیل توضیح داده. من نمیدونم شما چطوری میگید معنی نمیده حول صفر و این حرفا. و به خصوص از شما با توجه به پستای دیگتون انتظار این مدلی جواب دادن رو نداشتم. چه اشتباه از من باشه چه از شما، اگر میخواید پاسخ بدید روی همین ویکی پدیا و متنش حرف بزنید که همه چیزش مشخصه.
نماد کاربر
 
سپـاس : 936 times

ارسـال : 1823


نام: داود حاجي تقي تهراني
سن: 15 سال
نام نویسی: 93/10/22

ذکر نشده

Re: نواحی در بسط لوران

نوشتهاز سوی aalireza در دوشنبه 20 اسفند 1397 - 18:13

۱.
فرمودی:

paradoxy نوشته است:پست دوم tempel رو ببینید، سوال ذکر کرده که ما میخوایم اف زد رو حول نقطه 0 بسط بدیم و یک محدوده شعاع مشخص کرده‌.


بعد از تو پستِ سومش اومدی حولِ صفرِ تیلور رو درآوردی! ولی تمپل داره تو پستِ سومش راهِ حل و استدلالِ خودشو توضیح می‌ده که خب، اگه شیوه‌یِ حل و درکش از مسئله درست بود که این‌جا سؤال نمی‌پرسید. هنوزم دارم می‌گم. کجایِ‌ سؤال گفته حولِ صفر؟

۴.
فرمودی:

paradoxy نوشته است: به نظر من بسط دادن یک تابع حول یک نقطه به این معنی هست که رفتار یک تابع رو در نزدیکی اون نقطه بررسی کنیم، چقدر نزدیک؟ بسته به تعداد جملاتی که در بسط دادن نگه می داریم. مثلا اگر من یک تابع رو بسط تیلور بدم حول 0، و فقط سه جمله نگه دارم، میتونم رفتار تابع رو حول و حوش صفر تا مثلا فوقش 0.1 به خوبی توصیف کنم (یعنی میتوانم به جای خود تابع، از جملات بسطش استفاده کنم)،


که من در جوابش اومدم گفتم تیلور لگاریتمِ ایکس رو حولِ صفر بگیر. من می‌دونم چرا نمی‌تونی بگیری. من این‌جا دارم برات توضیح می‌دم intuitionت کجا به‌بیراهه می‌ره و شیوه‌یِ درست فهمِ بسط دادنِ یه تابع چیه. ربطی به‌دقت یه تابع نداره (همون جمله‌یِ اوّلِ لگاریتمِ ایکس همه‌رو خراب می‌کنه) ربط داره به:

aalireza نوشته است: این‌که حولِ چه‌نقطه‌ای بتونی بنویسی از خواصِ‌ تابعت نتیجه می‌شه و نه از خواصِ‌ فضات


---
paradoxy نوشته است:عزیز جانم من یک صفحه ویکی پدیا و یک متن از دانشگاه ام آی تی آوردم، انتظار نداشتم اینطوری جواب بگیرم.


علتی که این‌طوری جواب می‌گیری اینه که خیلی استراتژیک موردِ دومی که من آوردم رو جا می‌ندازی، می‌گی نرم‌افزارهایِ ریاضی همه اشتباه می‌گن و من درست می‌گم و بعد دوباره راجع به تکین‌ها حرفِ خودت رو تکرار می‌کنی.

این مورد رو جا می‌ندازی:

aalireza نوشته است:ثانیاً)
اگه سوال بخواد که تو حولِ‌ صفر بسطش بدی اون‌وقت سؤال غلطه. نمی‌تونی حولِ صفر بسط بدی به‌هزار و یک دلیل. همین که یه‌مسیرِ هوموتوپیک به‌صفر (contractible تو C) داشته باشی که تابعت زیرِ‌ اون هولومورفیک نیست (مثلاً یه‌دایره تو مرکز به‌شعاع ۱/۲) یعنی تمامِ چیزایی با کوشی اثبات می‌شه رو داری می‌ندازی بیرون.


و اگه دوست‌داری همین بالایی رو عیناً از ویکیپدیا برات بیارم می‌شه (۵ خط از بالا بیا پایین):

The path of integration γ {\displaystyle \gamma } \gamma is counterclockwise around a Jordan curve enclosing c and lying in an annulus A in which f ( z ) {\displaystyle f(z)} f(z) is holomorphic (analytic). The expansion for f ( z ) {\displaystyle f(z)} f(z) will then be valid anywhere inside the annulus.


این موردم نمی‌گیری:

aalireza نوشته است: این نرمِ زد بینِ یک و دوئی که می‌بینی، دامنه‌یِ اف هست. اف خارج از این‌جا تعریف نمی‌شه... این‌شعاعِ هم‌گرایی نیست.



از این روشن‌تر بگم؟ :)


---
بعدنوشت:

بزار من یکی دیگه چیزی رو جا نندازم/«نکته»یِ بعد‌نوشتِ پستِ دومم رو روشن‌تر بگم. :)
این مثالایی که آوردی هیچ کدوم دامنه‌یِ تابع رو مشخص نمی‌کنن. همه‌شون کسرها رو از هم جدا می‌کنن و بعد تویِ آنالیزِ مسئله، کیس بندی می‌کنن و می‌گن از کجا تا کجا چی می‌شه و الخ. این مسئله متفاوته. این مسئله دامنه‌ش مشخصه. بنابراین، اوّل یا باید چک کنی ببینی اصلاً سری لوران حولِ صفر که کلاً یه واحد از دامنه‌ت دوره تعریف می‌شه یا نه (که نمی‌شه) یا این‌که اقلاً یه مثالی پیدا کنی و این‌جا کپی کنی که توش دامنه اومده باشه (که اون‌وقت مگر این‌که منبعت یه‌کتابِ رفرنسی چیزی باشه و یا یه‌جایِ معتبر،‌ مثاله اشتباه خواهد بود!). حرفت راجع به سه‌قسمتی کردنِ صفحه و فلان و بهمان رو قبول دارم، و اصلاً همین هندسی‌سازی از ساده‌ترین شیوه‌هایِ محاسبه‌یِ بسطِ لورانه، ولی اینجا بی‌ربطه. چون اصلاً تو دامنه نیستی.
نماد کاربر
 
سپـاس : 513 times

ارسـال : 806


نام نویسی: 88/5/8

مرد

Re: نواحی در بسط لوران

نوشتهاز سوی paradoxy در دوشنبه 20 اسفند 1397 - 18:52

من ننوشتم همه نرم افزار های ریاضی اشتباه میگن من بلدم، صرفا گفتم بهشون اعتمادی ندارم و دلیلم دارم، یک موردش در این تاپیک قابل مشاهدست:
viewtopic.php?f=46&t=35416 اصولا هروقت یک بینهایت میاد توی کار این نرم افزار ها به شدت اشتباه می کنند. من خوره مطلب نیستم ولی هفته ای دو سه روز کامل دارم توش برنامه می نویسم و دارم می بینم خیلی مشکلاتش رو، علی الخصوص در حد گیری. شما برو همین الان بنویس
exp (1000)/exp(500) یه بارم بنویس exp(500)

تو متلب، سیمبولینک هم باید نصب باشه،یه لیمیت بنویس یکی رو میده نان اون یکی رو عادی جواب میده. یه تابع بنداز تو متلب با روش عددی مینیموم بگیر، با همون توابع پیش فرض متلب ببین داستانش چطوره وقتی تابعت پیوسته نیست. بگذریم. هرچند که من نوشتم ولفرام داره درست جواب میده توی پست اولم به شما، وقتی بنویسی سریز مشکلی نداره، لینکشم دادم، اما شما دوست داری ترول کنی بحث دیگریست.

صحبتای دیگتون به کنار چون نیمه درست هستند، صرفا الان به من بگید آیا
1. در ویکی پدیا تابع اف زد حول صفر بسط داده شده یا نه؟ اگر نه چرا نوشته خط زیر رو, اگر بله سوال بعد
there are three possible Laurent expansions about 0, depending on the radius of z

2. مگر در ویکی پدیا محدوده زد رو بین یک تا دو نگرفته؟ شما مساوی میبینی بغل یک؟ من نمیبینم، اما چیزی که میبینم اینه که هم چنان تکین یک رو در نظر گرفته و بسط لوران برای کسر اول داده. اشتباه تایپی ویکی پدیا بوده؟ اشتباه تایپی کتاب درسی تمپل بوده؟ ام آی تی هم غلط میگه؟ اگر مشکلی درین مورد نیست پس باید بپذیرید که در پست اولتون که نوشتید هر دو خارج از ناحیه ان و بسط تیلور و لوران مساوی میشه در این شرایط اشتباه کردید، چون در حالت دوم، همونطور که در ویکی پدیا واضحه بسط کسر اول معادل تیلورش نیست. حالت سوم رو ببینید که از دو تا بینهایته، ضمن این که زد مساوی دو نیست، محدودش از دو تا بینهایته پس ابدا یک به قول پست اول شما نباید در نظر گرفته شه. در حالی که شده.

پ.ن2: اکسپ هزار توی متلب معادل inf ه.
پ.ن3: الان من بعدنوشت رو دیدم، خب مگر دامنه چیزی بجز همین
1<z<2
با دوتای دیگست در ویکی پدیا؟ سه دامنه مشخص کرده بسط داده دیگه.

من ویرایش زیاد میکنم چون تو مترو ام، تبلت دستمه و دارم پرس میشم smile039
نماد کاربر
 
سپـاس : 936 times

ارسـال : 1823


نام: داود حاجي تقي تهراني
سن: 15 سال
نام نویسی: 93/10/22

ذکر نشده

Re: نواحی در بسط لوران

نوشتهاز سوی aalireza در دوشنبه 20 اسفند 1397 - 19:15

من متلب بلد نیستم. زمانی که تو دپارتمانِ ریاضی بودم همه متمتیکا استفاده می‌کردیم. خودمم یه‌تابستون رویِ‌ پکیج‌بندیِ SAGE کار کردم. هیچ وقت مشکلی با پیوستگی و nan گرفتن و اینا نه من داشتم و نه هیچ کسِ دیگه‌ای که بشناسم. حالا بزار اوّل شما بگیری قضیه‌یِ اصلی رو، بعداً می‌تونیم روی این صحبت کنیم. :)

---
paradoxy نوشته است:1. در ویکی پدیا تابع اف زد حول صفر بسط داده شده یا نه؟


بله.

paradoxy نوشته است:مگر در ویکی پدیا محدوده زد رو بین یک تا دو نگرفته؟


چرا. محدوده‌یِ زد رو بین یک تا دو گرفته. و کارِ درستی هم کرده. تا ۵-۶ خط بعدشم شما پشتِ سرِ هم داری می‌گی که چه کارِ درستی کرده. smile020 منتهی بی‌ربطه و برایِ بارِ چهارم/پنجمیه که دارم اینو می‌گم.

---
جوابِ این‌که چرا چیزِ بالا بی‌ربطه تو پست‌هایِ قبلیه راجع به دامنه. یه‌تیکه‌یِ دیگه‌یِ ویکیپدیا رو هم تو پستِ قبلی هست که بهت نشون می‌ده تابعتِ حولِ صفر هولومورفیک نیست. الان آمادگیِ ذهنی این رو داری که دوباره تلاوت نکنی:

paradoxy نوشته است:صحبتای دیگتون به کنار چون نیمه درست هستند، صرفا الان...


وظیفه‌یِ من درس دادنِ آنالیزِ مختلط بهت نیست. علتی که دارم جوابت می‌دم (۱) این تمپل گمراه نشه و (۲) تا الان مطالبی که ازت دیدم ریاضیاتِ مناسبی داشتن. الان می‌شه (۱) بیشتر وقت تلف کرد (۲) جا بزنی یا (۳) مثلِ آدم اون دو موردی که در پستِ قبل مثلاً به روشنی آوردم (دامنه+هولومورفیک نبودن تابعت) رو بخونی و درک کنی و یه پاسخِ مناسب خطاب به‌اونا بدی. :)


بعدنوشت:
الان اون ویرایشِ آخر رو که راجع به دامنه آوردی رو دیدم. به این ناحیه بندی و اینا نمی‌گن دامنه (اینا عملاً پارتیشن محسوب می‌شن، ولی کسی به‌اسم خطابشون نمی‌کنه). یه تابع عملاً یه تبدیله که یه‌مشت نقطه رو از یه‌فضا می‌ندازه به‌یه‌فضایِ دیگه. اگه بخوایی تعریفِ فانکتور مانکتور دار بیاری، دامنه‌ت می‌شه فضایِ مینیمالی که هر تعریفِ ممکنِ اون تبدیلت اون‌جا صادق باشه. اگه بخوایی تعریفِ مجموعه‌ها ودبیرستانی بیاری، که می‌شه همون یه‌مشت نقطه‌ای که تابعت داره روش کار می‌کنه.
اون ویکیپدیا، دامنه‌شِ C هست به‌جز نقاطِ ۱ و ۲i - یعنی اطرافِ اون نقاط تعریف شده. این‌جا اصلاً‌ کلاً تابعت نه در صفر تعریف شده و نه در همسایگی صفر.
نماد کاربر
 
سپـاس : 513 times

ارسـال : 806


نام نویسی: 88/5/8

مرد

بعدی

بازگشت به رياضيات در فيزيك

چه کسی هم اکنون اینجاست ؟

کاربرانی که در این تالار هستند: بدون کاربران عضو شده و 3 مهمان