تبدیل بردار از دیدگاه مختصات دکارتی

مدیران انجمن: javad123javad, parse

ارسال پست
انیشتین جوان

عضویت : پنج‌شنبه ۱۳۹۸/۱/۸ - ۱۶:۵۸


پست: 26

سپاس: 5

تبدیل بردار از دیدگاه مختصات دکارتی

پست توسط انیشتین جوان »

عزیزان من! مرا یاری رسانید که این انیشتین جوان در ریاضیات تهی مغز است!
خواهش می کنم اصولی به سوالی که در pdf گذاشتم پاسخ بدهید و اندکی از قلیان درونی من بکاهید تا شکرگذار شما بشوم چراکه این گوگل مزخرف هیچ پاسخ درستی به من نداد.اما مطمئنم که ریاضیدانان خردمندی چون شما به زیبایی پاسخ پرسشی که ماه ها مرا درگیر خودش کرده را به من خواهید داد...
ABC.pdf
(565.79 کیلو بایت) 95 مرتبه دانلود شده
Young Einstein smile260

نمایه کاربر
rohamjpl

نام: roham hesami

محل اقامت: Tehran -Qeytariyeh, Ketabi Street, 8 meters from Saba

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 619

سپاس: 391

جنسیت:

تماس:

Re: تبدیل بردار از دیدگاه مختصات دکارتی

پست توسط rohamjpl »

ر فضای سه بعدی ، یک سیستم مختصات دکارتی استاندارد وجود دارد (x,y,z). با شروع از یک نقطه که ما آن را مبدا می نامیم ، سه محور عمود بر هم ساخته می شود که آن را اصطلاحاً می نامیمx-محور ، y-محور ، و z-محور. .
با این محورها هر نقطه p در فضا می توان سه مختصات اختصاص داد $ \vc{p}=(p_1,p_2,p_3) $.و داریم
درست مانند دو بعدی ، مختصات یک بردار را اختصاص می دهیم aبا ترجمه دم خود به مبدا و یافتن مختصات نقطه در سر آن. به این ترتیب می توان بردار را مانند نوشت$\vc{a}=(a_1,a_2,a_3) $. ما اغلب می نویسیم$ \vc{a} \in \R^3 $به این معنی است شما میتونید به صورت تابع خطی $ \large T ( \overrightarrow x ) = \mathbf { A } \overrightarrow x $ خوب شما در حالت کلی $ \large \mathbf { A } = \begin {bmatrix} T ( \overrightarrow e _ 1 ) & T ( \overrightarrow e _ 2 ) & \cdots & T ( \overrightarrow e _ n ) \end {bmatrix} $ دارید مثال $T ( x ) = 5 x $ که به صورت زیر درمیاد$ \large T ( \overrightarrow { x } ) = 5 \overrightarrow { x } = 5 \mathbf { I } \overrightarrow { x } = \begin {bmatrix} 5 & & 0 \\ 0 & & 5 \end {bmatrix} \overrightarrow { x }$ در حقیقت طول بردار 5 برابر شده حال به صورت کلی $ \large E = [\overrightarrow e_1 \overrightarrow e _ 2 \ldots \overrightarrow e _ n ] $ بردارهای پایه و متغییر توصیف کننده $ \large [v] _ E = [ v _ 1 v _ 2 \ldots v _n ] ^ T $لذل بردار را به صورت $\large \overrightarrow v = v _ 1 \overrightarrow e _ 1 + v _ 2 \overrightarrow e _ 2 + \ldots + v _ n \overrightarrow e _ n = \sum v _ i \overrightarrow e _ i = E [v] _ E $ بیان میکنم به صورت کلی $ \large \begin {align*} { \displaystyle { \begin {aligned} A ( { \overrightarrow { v } } ) & = A \left ( \sum v _ { i } { \overrightarrow { e } } _ { i } \right ) = \sum { v _ { i } A ( { \overrightarrow { e } } _ { i } ) } = [A ( { \overrightarrow { e } } _ { 1 } ) A ( { \overrightarrow { e } } _ { 2 } ) \ldots A ( { \overrightarrow { e } } _ { n } ) ][v] _ { E } \\ & = A \cdot [v] _ { E } ={ \begin {bmatrix} a _ { 1 , 1 } & a _ { 1 , 2 } & \ldots & a _ { 1 , n } \\ a _ { 2 ,
1 } & a _ { 2 , 2 } & \ldots & a _ { 2 , n } \\ \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\ a _ { n , 1 } & a _ { n , 2 } & \ldots & a _ { n , n } \\ \end {bmatrix} } [{ \overrightarrow { e } } _ { 1 } { \overrightarrow { e } } _ { 2 } \ldots { \overrightarrow { e } } _ { n }
{ \begin {bmatrix} v _ { 1 } \\ v _ { 2 } \\ \vdots \\ v _ { n } \end {bmatrix}} \end{aligned} } } \end {align*} $لذا من طبق رابطه فوق، مولفه‌های ai,j ماتریس A طبق پایه‌های e به‌صورت زیر بدست اوردم$ \large {\displaystyle a _ { i , j } = A _ { [i,n] } { \overrightarrow { e } } _ { j } = A _ { 1 , 1 } e _ { 1 , j } + A _ { 1 , 2 } e _ { 2 , j } + \ldots + A _{ 1 , n } e _ { n , j } = \sum _ { i = 1 } ^ { n } A _ { 1 , i } e_ { i , j } }$ شد به عنوان تابع ماتریسی شما میتونید دوران-پرش-انتقال-تجانس-انبساط-انقباض را راحت انجام بدید مثال دوران شما میخواهید فرض کنید دستگاه مختصاتی حول محور z خود به اندازهθ، به صورت پادساعتگرد دوران کند. مختصات z هر نقطه تغییر نخواهد کرد و این تنها z و y هستند که تغییر خواهند کرد. فرض کنید مختصات نقطه در دستگاه اولیه برابر با (x,y,z) و در دستگاه دوران یافته برابر با (x′,y′,z) باشد. در این صورت رابطه بین نقاط را می‌توان با استفاده از ماتریس زیر بیان کرد:$ \large \begin {pmatrix} x ^ { \prime } \\ y ^ { \prime } \\ z ^ { \prime } \end {pmatrix} =\begin {pmatrix} \cos \theta & \sin \theta & 0 \\- \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end {pmatrix} \begin {pmatrix} x \\ y \\ z \end {pmatrix} $که به صورت زیر داریم $\large {\displaystyle {\begin {alignedat}{1} R _ { x } ( \theta ) &={\begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \theta & – \sin \theta \\[3pt]0&\sin \theta &\cos \theta \\[3pt] \end {bmatrix} } \\[6pt] R _ { y } ( \theta )&={\begin{bmatrix}\cos \theta &0&\sin \theta \\[3pt] 0 & 1 & 0 \\[3pt]-\sin \theta & 0 & \cos \theta \\\end{bmatrix}}\\[6pt]R_{z}(\theta ) & ={\begin {bmatrix} \cos \theta &-\sin \theta &0\\[3pt]\sin \theta &\cos \theta &0\\[3pt]0&0&1\\\end {bmatrix}}\end{alignedat}}} $ د حقیقت شما با نوشتن مختصات به صورت ماتریس به یکی از جذابترین حالات نوشتن رابطه در دستگاه مختصات هست
تصویر

انیشتین جوان

عضویت : پنج‌شنبه ۱۳۹۸/۱/۸ - ۱۶:۵۸


پست: 26

سپاس: 5

Re: تبدیل بردار از دیدگاه مختصات دکارتی

پست توسط انیشتین جوان »

rohamjpl نوشته شده:
یک‌شنبه ۱۳۹۹/۹/۹ - ۱۰:۰۴
ر فضای سه بعدی ، یک سیستم مختصات دکارتی استاندارد وجود دارد (x,y,z). با شروع از یک نقطه که ما آن را مبدا می نامیم ، سه محور عمود بر هم ساخته می شود که آن را اصطلاحاً می نامیمx-محور ، y-محور ، و z-محور. .
با این محورها هر نقطه p در فضا می توان سه مختصات اختصاص داد $ \vc{p}=(p_1,p_2,p_3) $.و داریم
درست مانند دو بعدی ، مختصات یک بردار را اختصاص می دهیم aبا ترجمه دم خود به مبدا و یافتن مختصات نقطه در سر آن. به این ترتیب می توان بردار را مانند نوشت$\vc{a}=(a_1,a_2,a_3) $. ما اغلب می نویسیم$ \vc{a} \in \R^3 $به این معنی است شما میتونید به صورت تابع خطی $ \large T ( \overrightarrow x ) = \mathbf { A } \overrightarrow x $ خوب شما در حالت کلی $ \large \mathbf { A } = \begin {bmatrix} T ( \overrightarrow e _ 1 ) & T ( \overrightarrow e _ 2 ) & \cdots & T ( \overrightarrow e _ n ) \end {bmatrix} $ دارید مثال $T ( x ) = 5 x $ که به صورت زیر درمیاد$ \large T ( \overrightarrow { x } ) = 5 \overrightarrow { x } = 5 \mathbf { I } \overrightarrow { x } = \begin {bmatrix} 5 & & 0 \\ 0 & & 5 \end {bmatrix} \overrightarrow { x }$ در حقیقت طول بردار 5 برابر شده حال به صورت کلی $ \large E = [\overrightarrow e_1 \overrightarrow e _ 2 \ldots \overrightarrow e _ n ] $ بردارهای پایه و متغییر توصیف کننده $ \large [v] _ E = [ v _ 1 v _ 2 \ldots v _n ] ^ T $لذل بردار را به صورت $\large \overrightarrow v = v _ 1 \overrightarrow e _ 1 + v _ 2 \overrightarrow e _ 2 + \ldots + v _ n \overrightarrow e _ n = \sum v _ i \overrightarrow e _ i = E [v] _ E $ بیان میکنم به صورت کلی $ \large \begin {align*} { \displaystyle { \begin {aligned} A ( { \overrightarrow { v } } ) & = A \left ( \sum v _ { i } { \overrightarrow { e } } _ { i } \right ) = \sum { v _ { i } A ( { \overrightarrow { e } } _ { i } ) } = [A ( { \overrightarrow { e } } _ { 1 } ) A ( { \overrightarrow { e } } _ { 2 } ) \ldots A ( { \overrightarrow { e } } _ { n } ) ][v] _ { E } \\ & = A \cdot [v] _ { E } ={ \begin {bmatrix} a _ { 1 , 1 } & a _ { 1 , 2 } & \ldots & a _ { 1 , n } \\ a _ { 2 ,
1 } & a _ { 2 , 2 } & \ldots & a _ { 2 , n } \\ \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\ a _ { n , 1 } & a _ { n , 2 } & \ldots & a _ { n , n } \\ \end {bmatrix} } [{ \overrightarrow { e } } _ { 1 } { \overrightarrow { e } } _ { 2 } \ldots { \overrightarrow { e } } _ { n }
{ \begin {bmatrix} v _ { 1 } \\ v _ { 2 } \\ \vdots \\ v _ { n } \end {bmatrix}} \end{aligned} } } \end {align*} $لذا من طبق رابطه فوق، مولفه‌های ai,j ماتریس A طبق پایه‌های e به‌صورت زیر بدست اوردم$ \large {\displaystyle a _ { i , j } = A _ { [i,n] } { \overrightarrow { e } } _ { j } = A _ { 1 , 1 } e _ { 1 , j } + A _ { 1 , 2 } e _ { 2 , j } + \ldots + A _{ 1 , n } e _ { n , j } = \sum _ { i = 1 } ^ { n } A _ { 1 , i } e_ { i , j } }$ شد به عنوان تابع ماتریسی شما میتونید دوران-پرش-انتقال-تجانس-انبساط-انقباض را راحت انجام بدید مثال دوران شما میخواهید فرض کنید دستگاه مختصاتی حول محور z خود به اندازهθ، به صورت پادساعتگرد دوران کند. مختصات z هر نقطه تغییر نخواهد کرد و این تنها z و y هستند که تغییر خواهند کرد. فرض کنید مختصات نقطه در دستگاه اولیه برابر با (x,y,z) و در دستگاه دوران یافته برابر با (x′,y′,z) باشد. در این صورت رابطه بین نقاط را می‌توان با استفاده از ماتریس زیر بیان کرد:$ \large \begin {pmatrix} x ^ { \prime } \\ y ^ { \prime } \\ z ^ { \prime } \end {pmatrix} =\begin {pmatrix} \cos \theta & \sin \theta & 0 \\- \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end {pmatrix} \begin {pmatrix} x \\ y \\ z \end {pmatrix} $که به صورت زیر داریم $\large {\displaystyle {\begin {alignedat}{1} R _ { x } ( \theta ) &={\begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \theta & – \sin \theta \\[3pt]0&\sin \theta &\cos \theta \\[3pt] \end {bmatrix} } \\[6pt] R _ { y } ( \theta )&={\begin{bmatrix}\cos \theta &0&\sin \theta \\[3pt] 0 & 1 & 0 \\[3pt]-\sin \theta & 0 & \cos \theta \\\end{bmatrix}}\\[6pt]R_{z}(\theta ) & ={\begin {bmatrix} \cos \theta &-\sin \theta &0\\[3pt]\sin \theta &\cos \theta &0\\[3pt]0&0&1\\\end {bmatrix}}\end{alignedat}}} $ د حقیقت شما با نوشتن مختصات به صورت ماتریس به یکی از جذابترین حالات نوشتن رابطه در دستگاه مختصات هست
آفرین دوست عزیز! خوشحالم که بلآخره منظورم رو گرفتین... smile017 smile017
... اما این ماتریس های آخری که ارایه دادید رو از قبل می دونستم و اون ها حالت های خاصی محدود به دوان حول محورهای x، y و z هستند. برای حالت دلخواه و کلی، این ماتریس تبدیل باید برای دروان در سه بعد حول یک محور دلخواه ( یک محور فرضی که از مبداء عبور می کنه) باشه. توی کتابی که درباره ماتریس تبدیل کلی گفته بود، نگفته بود که عناصر ماتریس اون چی هستند؟ من اون عناصر رو می خوام...
!!!!! اگه گنگ صحبت کردم بگین ها! باتشکر...
Young Einstein smile260

ارسال پست