هوپا، انجمن علم ایران

آیا گاهی اوقات خود به خود(بدون اینکه اصلا عملگر حد وجود داشته باشد) باید محاسبه ی حدی انجام بدیم؟ یا حتما باید علامت حد وجود داشته باشه؟ به عنوان مثال در تابع زیر:

$f(x) = (1+x)^\frac{1}{x}$

آیا اگر بخواهیم ببینیم f(0) چیست، آیا این یه سوال حد میشه؟ چون اگر سوال حد باشه که این حد، حد معروفی هست. و اما اگر حد نباشه، اون وقت اصلا نه می تونیم مقدارش رو بگیم، و نه می تونیم بگیم این یه حالت مبهمه، چونکه تا جایی که اطلاع دارم

$1^ \infty $

تنها زمانی مبهم هست که به صورت حدی بدست اومده باشه. وگرنه برابر 1 میشه.

علت پرسیدن این سوال این هست که می خوام ببینم آیا می تونم در عبارت زیر lim رو به داخل ln ببرم یا نه:


$f(x) = \lim_{x\to0}{ln((1+x)^\frac{1}{x})}$

و برای همین دنبال این هستم که نشون بدم ln در 0 پیوسته ست، که خب برای همین هم به مقدار اون ln و هم به حد اون در 0 نیاز دارم، و در نتیجه این سوالی که در بالا پرسیدم برام به وجود اومد. باتشکرقبلی.

سلام
حداقل توی مثال شما فکر نکنم مشکلی باشه اگه حدّو ببرید داخل لگاریتم. ولی فکر نمی کنم که تابعتون پیوسته باشه چون دقیقاً توی خود صفر، تعریف نشده ست، هر چند که حد چپ و راستش توی صفر برابره.

[email protected] نوشته شده: ↑

سه‌شنبه ۱۳۹۹/۹/۱۸ - ۲۱:۴۵

سلام
حداقل توی مثال شما فکر نکنم مشکلی باشه اگه حدّو ببرید داخل لگاریتم. ولی فکر نمی کنم که تابعتون پیوسته باشه چون دقیقاً توی خود صفر، تعریف نشده ست، هر چند که حد چپ و راستش توی صفر برابره.

خب اگر ممکنه لطفا اینجا رو نگاه کنید. ظاهرا گفتن باید شرایط بخصوصی برقرار باشه تا بشه حد رو برد داخل.
https://math.stackexchange.com/a/1519038/624014
البته مشکل اینجاست که نمی دونم طبق چه قضیه ای اینو دارن می گن. توی کتابی جایی مثلا استوارت آیا قضیه ای براش هست؟ خودم نگشتم. ولی شما چرا فکر نمی کنید مشکلی باشه؟

قضیه ش رو توی stewart پیدا کردم. میشه. نیازی به پیوستگی تابع داخلی نیست. همینکه در fog سوالمون، تابع g حد مذکور رو داره و f هم در اون حد g پیوسته هست(یعنی ln در e پیوسته هست) این کار رو مجاز می کنه که lim رو بتونیم داخل ببریم. ممنون.

شما جواب یکسان بدست میارید $ f(x) = \lim_{x\to0}{ln((1+x)^\frac{1}{x})} $ در حالت به سمت صفر جواب میشه 1 و در حد بینهایت میشه صفر $ limit f(x)=ln ((1+x)^(1/x)) $
در حالت $ f(x) = {ln \lim_{x\to0}((1+x)^\frac{1}{x})} $ میل به سمت صفر میشه 1 اما نوشتن فرمول مهمه
درحالت $ limit f(x)=(ln ((1+x))^1/x $ در میل به سمت صفر از کران راست صفر و ازکران چپ بینهایت و میل به بینهایت میشه بینهایت