این قسمت از هندسه چه نام دارد؟

مدیران انجمن: javad123javad, parse

ارسال پست
Payam-Hamid

نام: پیام

عضویت : پنج‌شنبه ۱۳۹۹/۵/۲ - ۱۷:۰۹


پست: 5



این قسمت از هندسه چه نام دارد؟

پست توسط Payam-Hamid »

یک اثبات در اینترنت دیدم که برای ثابت کردن اینکه زاویه محاطی نصف زاویه مرکزی است از دیفرانسیل (تغییر کوچکی در زاویه مرکزی و افزایش طول ضلع و تغیر زاویه محیطی) استفاده کرد و به نتیجه رسید
اول فکر کردم همان هندسه دفرانسیل است که توی کتابخانه کتابش را دیده بودم ولی بعد از نگاه بکتاب دیدم هندسه دیفرانسیل روی سطوح ریمانی کار می کند و ابزاری برای اثبات قضایایی هندسه اقلیدسی نیست

نمایه کاربر
rohamjpl

نام: roham hesami

محل اقامت: Tehran -Qeytariyeh, Ketabi Street, 8 meters from Saba

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 632

سپاس: 393

جنسیت:

تماس:

Re: این قسمت از هندسه چه نام دارد؟

پست توسط rohamjpl »

البته به شکل نگاه کنید تصویردر نمودار ، A نقطه ای در محیط دایره ای با مرکز O و شعاع r است. یک قوس دایره ای با مرکز A در B و C با محیطی مطابقت دارد. زاویه OAB θ رادیان است. منطقه سایه دار با دور دایره و قوس با مرکز A که به B و C می پیوندد محدود می شود. منطقه منطقه سایه زده برابر با نصف مساحت دایره است.
نشان می دهد که $ \cos2θ = \frac{2\sin2θ - π}{4θ}$ من در نشان دادن این مشکل داشتم. من گفتم که منطقه منطقه سایه زده برابر است با مساحت بخش BAC + 2 ∗ منطقه BOA - 2 ∗ منطقه مثلث BOA و این را برابر با $\frac{1}{2}πr^2 $ می دانم ، اما من همان نتیجه $ 2\sin2θ=\frac{1}{2}π-θ$ را دریافت می کنم ، و من نمی دانم چگونه ادامه دهم.من فهمیدم شعاع قوس $ |AB|=2r\cos\theta$و $ \measuredangle AOB=\pi-2\theta$ مساحت اون $\begin{align}
\text{roham area}&= \text{Area of sector }BAC+2(\text{Area of sector } BOA-\text{Area of triangle} BOA)\\
&=\frac{1}{2}|AB|^2(2\theta)+2\left[\frac{1}{2}r^2(\pi-2\theta)-\frac{1}{2}r^2\sin(\pi-2\theta)\right]
\end{align} $از طرف دیگه فهمیدم $ \begin{align}
\frac{1}{2}|AB|^2(2\theta)+2\left[\frac{1}{2}r^2(\pi-2\theta)-\frac{1}{2}r^2\sin(\pi-2\theta)\right]&=\frac{1}{2}\pi r^2 \\
(2r\cos \theta)^2(\theta)+r^2\left[\pi-2\theta-\sin(\pi-2\theta)\right]&=\frac{1}{2}\pi r^2\\
4\theta\cos^2\theta+\pi-2\theta-\sin2\theta&=\frac{1}{2}\pi \\
2\theta(2\cos^2\theta-1)&=\sin 2\theta-\frac{1}{2}\pi \\
2\theta\cos 2\theta&=\frac{2\sin 2\theta - \pi}{2}\\
\cos 2\theta&=\frac{2\sin 2\theta - \pi}{4\theta}
\end{align}$
رابطه بین زاویه مرکزی و زاویه ثبت شده
زاویه درج شده= زاویه ای که با قوس دایره از هر نقطه در محیط دایره فرورفته است. زاویه محیطی و زاویه محیطی نیز نامیده می شوند .
شکل زیر یک زاویه مرکزی و یک زاویه منقوش را نشان می دهد که همان قوس AB را قطع می کند. رابطه این دو توسط $\alpha = 2\theta \, \text{ or } \, \theta = \frac{1}{2}\alpha $
تصویر
اگر و فقط اگر هر دو زاویه یک قوس را قطع کنند. در شکل ، θ و α همان قوس AB را قطع می کنند.زاویه ثبت شده و مرکزی
در یک دایره ، زاویه در مرکز دو برابر زاویه در محیط است ، زمانی که زاویه ها دارای همان محیط پایه هستند.
زوایای مرکزی و ثبت شده در اعداد مختلط ، تصویر اقلیدس شکل را گذاشتم
نتیجه مهم این واقعیت این است که ، در یک دایره ، تمام زاویه های نوشته شده با یک قوس برابر برابر هستند. اهمیت بیانیه و نتیجه گیری با گنجاندن توجه کرده اثبات در حد هندسه ریمانی به ریاضیات در حد ارشد نیاز دارد در حد اثبات ابتدایی کمتر که اعداد مختلط را در یک کتاب کلاسیک در مورد هندسه منحنی های صفحه به کار می برد نوشته شده . البته ، علاوه بر این ، اثبات برای نشان دادن تکنیک های اساسی تعداد پیچیده و در حد ساده شده بدون از دست دادن اصل کلی مساله ، فرض می شود که دایره شعاع 1 داشته و در مبدا قرار داشته باشد. نقاط با اعداد مختلط مشخص می شوند ، بنابراین ، مثلاً ، معادله دایره $z=e^{i\psi}, $ است ، جایی که ψ یک عدد واقعی است ، زاویه ای که از محور x افقی اندازه گیری می شود. بگذارید B با ψ = 0 ، A به ψ = ϕ و P با ψ = ν مطابقت داشته باشد: B = 1 ، $A=e^{i\phi}, $ ، $ P=e^{i\nu}.$.,برای بردارها $ AP= e^{i\nu}-e^{i\phi},$و $ BP= e^{i\nu}-1.$ حالااستدلال نسبت این دو عدد مختلط $ \angle APB=\alpha.$ است. تقسیم نسبت به مزدوج آن طول بی اهمیت نسبت را از بین می برد ، اما استدلال را دو برابر می کند. بنابراین ما داریم$ \displaystyle
\begin{align}
e^{2i\alpha} &=\frac{e^{i\nu}-e^{i\phi}}{e^{i\nu}-1} : \frac{e^{-i\nu}-e^{-i\phi}}{e^{-i\nu}-1}\\
&=\frac{e^{i\nu}-e^{i\phi}}{e^{i\nu}-1} \cdot \frac{e^{-i\nu}-1}{e^{-i\nu}-e^{-i\phi}}\\
&=\frac{e^{i\nu}-e^{i\phi}}{e^{i\nu}-1} \cdot \frac{e^{i\phi}(1-e^{i\nu})}{e^{i\phi}-e^{i\nu}}\\
&=e^{i\phi}.
\end{align}$ اگر با فرض اینکه تمام زوایا بین 0 و π باشند ، $ 2\alpha=\phi.$ شکل ببینید تصویر
تصویر

Payam-Hamid

نام: پیام

عضویت : پنج‌شنبه ۱۳۹۹/۵/۲ - ۱۷:۰۹


پست: 5



Re: این قسمت از هندسه چه نام دارد؟

پست توسط Payam-Hamid »

با تشکر از توضیحات در خصوص استفاده از اعداد مختلط
خوشبختانه دوباره توانستم فایل مورد نظرم را پیدا کنم در آدرس
https://arxiv.org/pdf/2007.00002
با عنوان Theorems of Euclidean Geometry through Calculus Martin Buysse
که بصورت حساب تغییرات اندازه زاویه محیطی و اندازه طول میانه را حساب کرده است
بنابر این سوالم این است که این موضوع در چه شاخه ای از هندسه قرار می گیرد ؟ با تشکر

نمایه کاربر
Player

عضویت : چهارشنبه ۱۳۹۹/۱۰/۱۷ - ۰۲:۴۳


پست: 15

سپاس: 5

Re: این قسمت از هندسه چه نام دارد؟

پست توسط Player »

Payam-Hamid نوشته شده:
پنج‌شنبه ۱۳۹۹/۱۰/۲۵ - ۱۹:۱۷
یک اثبات در اینترنت دیدم که برای ثابت کردن اینکه زاویه محاطی نصف زاویه مرکزی است از دیفرانسیل (تغییر کوچکی در زاویه مرکزی و افزایش طول ضلع و تغیر زاویه محیطی) استفاده کرد و به نتیجه رسید
اول فکر کردم همان هندسه دفرانسیل است که توی کتابخانه کتابش را دیده بودم ولی بعد از نگاه بکتاب دیدم هندسه دیفرانسیل روی سطوح ریمانی کار می کند و ابزاری برای اثبات قضایایی هندسه اقلیدسی نیست
هندسه ریمانی شاخه ای از هندسه دیفرانسیلی است. هندسه اقلیدسی خود حالت خاصی از هندسه ریمانی به شمار می رود. در عنوان فایلی که لینک داده اید، واژه هندسه اقلیدسی به چشم می خورد. نمی دانم سوال شما چیست.

نمایه کاربر
rohamjpl

نام: roham hesami

محل اقامت: Tehran -Qeytariyeh, Ketabi Street, 8 meters from Saba

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 632

سپاس: 393

جنسیت:

تماس:

Re: این قسمت از هندسه چه نام دارد؟

پست توسط rohamjpl »

من مقاله را ترجمه کردم اره بحث شده ما تالس ، فیثاغورس ، آپولونیوس ، استوارت ، د گوآ ، ترکوم ، بطلمیوس ،circumradius ، inradius و برخی فرمول های نیمساز زاویه ،
در مورد معادلات دیفرانسیل جزئی در مورد یک معادله دیفرانسیل که پس از a بوجود می آید یک تحول در مقیاس کوچک و باید مربوط به تمام روابط بین مقادیر متریک باشد
زاویه نوشته شده α یک است عملکرد زاویه مرکزی θهمان قوس روی دایره ،یعنی$α = α(θ) $پس از انحراف بی نهایت کوچک$δθ, $ داریم$δα = αδθ $مثلث کوچک و راست با یک پایه طول yda و هیپوتنوز طول δ` به ترتیب به مثلث طول ضلع مربوطه y / 2 و R شبیه است مثلث طول های فرعی مربوطه y / 2 و R به ترتیب$yδα =y/2Rδ` $از آنجا که $ δθ = δ`/R$ ، این منجر به معادله دیفرانسیل می شود$ α'=1/2$راه حل کلی آن است$α(θ) = θ/2+ k $جایی که k یک ثابت است که از α (0) = 0 محو می شود. از این رو$ α(θ) = θ/2$
تصویر
تصویر

ارسال پست