البته به شکل نگاه کنید
در نمودار ، A نقطه ای در محیط دایره ای با مرکز O و شعاع r است. یک قوس دایره ای با مرکز A در B و C با محیطی مطابقت دارد. زاویه OAB θ رادیان است. منطقه سایه دار با دور دایره و قوس با مرکز A که به B و C می پیوندد محدود می شود. منطقه منطقه سایه زده برابر با نصف مساحت دایره است.
نشان می دهد که $ \cos2θ = \frac{2\sin2θ - π}{4θ}$ من در نشان دادن این مشکل داشتم. من گفتم که منطقه منطقه سایه زده برابر است با مساحت بخش BAC + 2 ∗ منطقه BOA - 2 ∗ منطقه مثلث BOA و این را برابر با $\frac{1}{2}πr^2 $ می دانم ، اما من همان نتیجه $ 2\sin2θ=\frac{1}{2}π-θ$ را دریافت می کنم ، و من نمی دانم چگونه ادامه دهم.من فهمیدم شعاع قوس $ |AB|=2r\cos\theta$و $ \measuredangle AOB=\pi-2\theta$ مساحت اون $\begin{align}
\text{roham area}&= \text{Area of sector }BAC+2(\text{Area of sector } BOA-\text{Area of triangle} BOA)\\
&=\frac{1}{2}|AB|^2(2\theta)+2\left[\frac{1}{2}r^2(\pi-2\theta)-\frac{1}{2}r^2\sin(\pi-2\theta)\right]
\end{align} $از طرف دیگه فهمیدم $ \begin{align}
\frac{1}{2}|AB|^2(2\theta)+2\left[\frac{1}{2}r^2(\pi-2\theta)-\frac{1}{2}r^2\sin(\pi-2\theta)\right]&=\frac{1}{2}\pi r^2 \\
(2r\cos \theta)^2(\theta)+r^2\left[\pi-2\theta-\sin(\pi-2\theta)\right]&=\frac{1}{2}\pi r^2\\
4\theta\cos^2\theta+\pi-2\theta-\sin2\theta&=\frac{1}{2}\pi \\
2\theta(2\cos^2\theta-1)&=\sin 2\theta-\frac{1}{2}\pi \\
2\theta\cos 2\theta&=\frac{2\sin 2\theta - \pi}{2}\\
\cos 2\theta&=\frac{2\sin 2\theta - \pi}{4\theta}
\end{align}$
رابطه بین زاویه مرکزی و زاویه ثبت شده
زاویه درج شده= زاویه ای که با قوس دایره از هر نقطه در محیط دایره فرورفته است. زاویه محیطی و زاویه محیطی نیز نامیده می شوند .
شکل زیر یک زاویه مرکزی و یک زاویه منقوش را نشان می دهد که همان قوس AB را قطع می کند. رابطه این دو توسط $\alpha = 2\theta \, \text{ or } \, \theta = \frac{1}{2}\alpha $
اگر و فقط اگر هر دو زاویه یک قوس را قطع کنند. در شکل ، θ و α همان قوس AB را قطع می کنند.زاویه ثبت شده و مرکزی
در یک دایره ، زاویه در مرکز دو برابر زاویه در محیط است ، زمانی که زاویه ها دارای همان محیط پایه هستند.
زوایای مرکزی و ثبت شده در اعداد مختلط ، تصویر اقلیدس شکل را گذاشتم
نتیجه مهم این واقعیت این است که ، در یک دایره ، تمام زاویه های نوشته شده با یک قوس برابر برابر هستند. اهمیت بیانیه و نتیجه گیری با گنجاندن توجه کرده اثبات در حد هندسه ریمانی به ریاضیات در حد ارشد نیاز دارد در حد اثبات ابتدایی کمتر که اعداد مختلط را در یک کتاب کلاسیک در مورد هندسه منحنی های صفحه به کار می برد نوشته شده . البته ، علاوه بر این ، اثبات برای نشان دادن تکنیک های اساسی تعداد پیچیده و در حد ساده شده بدون از دست دادن اصل کلی مساله ، فرض می شود که دایره شعاع 1 داشته و در مبدا قرار داشته باشد. نقاط با اعداد مختلط مشخص می شوند ، بنابراین ، مثلاً ، معادله دایره $z=e^{i\psi}, $ است ، جایی که ψ یک عدد واقعی است ، زاویه ای که از محور x افقی اندازه گیری می شود. بگذارید B با ψ = 0 ، A به ψ = ϕ و P با ψ = ν مطابقت داشته باشد: B = 1 ، $A=e^{i\phi}, $ ، $ P=e^{i\nu}.$.,برای بردارها $ AP= e^{i\nu}-e^{i\phi},$و $ BP= e^{i\nu}-1.$ حالااستدلال نسبت این دو عدد مختلط $ \angle APB=\alpha.$ است. تقسیم نسبت به مزدوج آن طول بی اهمیت نسبت را از بین می برد ، اما استدلال را دو برابر می کند. بنابراین ما داریم$ \displaystyle
\begin{align}
e^{2i\alpha} &=\frac{e^{i\nu}-e^{i\phi}}{e^{i\nu}-1} : \frac{e^{-i\nu}-e^{-i\phi}}{e^{-i\nu}-1}\\
&=\frac{e^{i\nu}-e^{i\phi}}{e^{i\nu}-1} \cdot \frac{e^{-i\nu}-1}{e^{-i\nu}-e^{-i\phi}}\\
&=\frac{e^{i\nu}-e^{i\phi}}{e^{i\nu}-1} \cdot \frac{e^{i\phi}(1-e^{i\nu})}{e^{i\phi}-e^{i\nu}}\\
&=e^{i\phi}.
\end{align}$ اگر با فرض اینکه تمام زوایا بین 0 و π باشند ، $ 2\alpha=\phi.$ شکل ببینید
