تانسور متریک چه کاربردی دارد؟

مدیران انجمن: javad123javad, parse

ارسال پست
ali ghiassi nia

عضویت : پنج‌شنبه ۱۴۰۰/۱/۱۲ - ۱۹:۵۸


پست: 5



تانسور متریک چه کاربردی دارد؟

پست توسط ali ghiassi nia »

سلام دوستان عزیز،یه سوالی دارم اونم اینه که تانسور متریک کاربردش چیه؟ البته می‌دونم که تو نسبیت عام کاربر داره ،

نمایه کاربر
rohamjpl

نام: roham hesami

محل اقامت: Tehran -Qeytariyeh, Ketabi Street, 8 meters from Saba

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 734

سپاس: 434

جنسیت:

تماس:

Re: تانسور متریک چه کاربردی دارد؟

پست توسط rohamjpl »

تانسورTensor، نقطه‌ای از فضا است که توسط یک یا چند شاخص که بیانگر مرتبه آن است، توصیف می‌شود مثال ماتریس خودش یک تنسور هست. بردار خودش تنسور هست .هر تانسور از مرتبه ی n در فضایی m- بعدی، ساختاری ریاضیاتی است که n شاخص و مولفه دارد که از قوانین تبدیلات مختصاتی پیروی می کند.
هر شاخص تانسور، فقط مقادیری در محدوده ی تعداد بعدهای فضای تعریفی اختیار می کند. با این حال دخالت ابعاد فضایی تا حدود زیادی در معادلات تانسوری نامربوط به نظر می رسد. تانسورها نوع عمومی تر اسکالرها ( که فاقد شاخص هستند) ،بردارها (که تنها دارای یک شاخص اند) و نیز متریک ها (که فقط دو شاخص دارند) می باشند که می توانند تعداد دلخواه شاخص اختیار کنند.
tl؛ dr: "متریک" روشی کلی برای اندازه گیری فاصله است.
من ساده عنوان کنم هر نقطه در سیستم مختصات دارای تنسور متریک خاص خود است. سیستم مختصات اقلیدسی ما در همه جا دارای تنسور متریک یکسانی است. در فیزیک یا ریاضیات پیشرفته ، ما باید با فضاهای غیر اقلیدسی با تانسور متریک متغیر در هر نقطه کنار بیاییم. بنابراین بیایید درک کنیم که این چگونه کار می کند ..
فاصله بین دو نقطه یا زاویه بین دو بردار را در صفحه یا در فضای اقلیدسی چگونه محاسبه خواهید کرد؟
ساده است ، ما هندسه اقلیدسی را اعمال می کنیم ، درست است؟ ما dx و dy را اندازه می گیریم ، از فیثاغورس برای محاسبه فاصله استفاده می کنیم ، به همین ترتیب با استفاده از محصول نقطه می توانم زاویه را محاسبه کنم. حال ، چگونه فاصله بین دو نقطه یا زاویه روی کره ، یا زمین یا هر سطح پیچیده را اندازه گیری می کنید. این واقعاً دشوار است زیرا ما نمی توانیم از هندسه اقلیدسی خود در اینجا استفاده کنیم.برای انجام این کار ، اجازه دهید اینها را حل کنیم ...
بگذارید فرض کنیم من یک ورق لاستیکی دارم ، اگر دو نقطه را روی این ورق بکشم ، فاصله بین دو نقطه چقدر است. فقط فاصله اقلیدسی آن است.
$(dr)^2 = (dx)^2 + (dy)^2;$
فرض کنید ، من ورق لاستیک را در جهت x من 2برابر کشیده ام ، اکنون فاصله…$(dr)^2 = (2dx)^2 + (dy)^2;$
اگر ورق لاستیک را در جهت y من 2 برابر بکشم ، اکنون فاصله خواهد بود ..$(dr)^2 = (dx)^2 + (2dy)^2;

$اگر ورق لاستیک را به ترتیب در دو جهت y و x به ترتیب 2 و 3 برابربکشم کنم ، اکنون فاصله بین نقاط خواهد بود.$(dr)^2 = (2dx)^2 + (3dy)^2;$
اگر من همان ورق را در جهتی تصادفی بکشم ، چه می شود. اکنون ، فاصله بین نقاط مانند قبل نیست. چگونه فاصله کشیده نشده را به فاصله کشیده شده مرتبط کنیم.
اگر ورقها در هر جهت تصادفی به طور یکنواخت کشیده شوند ، سپس فاصله خواهد بود$(dr)^2 =g11(dx)^2 +(g12+g21)(dxdy)^2 +g22(dy)^2$
از این رو ، کل اطلاعات کششی توسط این هم رده ها (g11 ، g12 ، g21 ، g22) ضبط می شود.
و این اطلاعات کششی در ساختار داده کارآمد یعنی تانسور ذخیره می شود ، که به آن تانسور متریک می گویند.
تانسور فقط یک شی ریاضی برای ذخیره داده ها است (ساختار داده در ریاضیات) تانسور رتبه 0 مقیاس پذیر است ، تانسور رتبه اول بردار است ، تانسور درجه 2 ماتریس است ... زمان در اسکالر ، نیرو در بردار ذخیره می شود ، فضای متریک با تانسور مرتبه 2 نشان داده می شود. به همین ترتیب ، انیشتین از تنسورهای درجه 4 برای ذخیره اطلاعات انحنای فضا-زمان استفاده می کند.
از این رو ، اگر من بدانم که ورق من تا چه اندازه و در چه جهتی کشیده شده است ، می توانم فاصله بین دو نقطه را به راحتی محاسبه کنم. به عبارت دیگر ، اگر من تنسور متری ورق کشیده را بدانم ، می توانم فاصله بین هر دو نقطه را با معادله محاسبه کنم$(dr)^2 =g11(dx)^2 +(g12+g21)(dxdy)^2 +g22(dy)^2$
این تنسور متریک (اطلاعات کششی صفحات اقلیدسی) چه کاربردی دارد؟ بنابراین بیایید به مسئله اصلی خود برگردیم ، نحوه محاسبه فاصله بین دو نقطه در هر سطح پیچیده.
بگذارید دو نقطه روی کره (سطح می تواند هر چیزی مانند بطری ، یا هر سطح پیچیده ای باشد) را در نظر بگیریم. تصور کنید ، شما یک ورق لاستیکی می گیرید و آن را می کشید اما می خواهید سطح کروی آن را تقریبی کنید ، به طوری که شکل اصلی کره از بین نرود و آن را بچسبانید (توجه داشته باشید من از وصله های لاستیکی استفاده می کنم زیرا می توانم آن را تغییر شکل دهم اما می خواهم هر سطح را تقریبی کنم) . و اطلاعات کششی را یادداشت کنید ، یعنی Tensor متریک (به عنوان مثال g11 ، g12 ، g21 ، g22). حالا ، بین آن دو نقطه روی ورق لاستیک یک خط بکشید و آن ورق لاستیک را بردارید.
اکنون که ورق لاستیک به حالت کشیده نشده اصلی خود برمی گردد ، من می توانم (dx ، dy) را روی ورق لاستیک خود قرار دهم. بنابراین ، اکنون اطلاعات کشیده dx ، dy و (g11 ، g12 ، g21 ، g22) (متریک تنسور) را که یادداشت کردم ، آورده ام. بنابراین ، من می توانم فاصله بین آن دو نقطه روی سطح را با استفاده از معادله محاسبه کنم:
$(dr)^2 = g11(dx)^2 + g12(dxdy)+g21(dydx)+g22(dy)^2;$
از این رو ، با افزایش این وصله های لاستیکی (فضاهای تغییر شکل دهنده اقلیدسی) می توانم هر سطح پیچیده ای را بهتر تخمین بزنم. در حالت ایده آل ، هر سطح 100٪ با تکه های نامحدود (Manifolds Riemannian) تقریب می یابد. و هر پچ اطلاعات کششی خود را دارد (metric_tensor). همانطور که من اطلاعات کشش تمام ورق را می دانم ، اکنون می توانم فاصله بین هر دو نقطه از هر سطح پیچیده را با جمع ساده محاسبه کنم ، که چیزی غیر از فاصله Geo_desic نیست. زاویه یکنواخت بین هر دو بردار را می توان با استفاده از تانسور متریک محاسبه کرد.
از این رو ، اطلاعات کل سطح توسط این تکه های کوچک از طریق اطلاعات کشش فضایی که Metric Tensor نامیده می شود ، گرفته می شود.
تانسور متریک کره است
این بدان معنی است که برای تقریبی سطح شعاع (R) توسط وصله در نقطه خاص (x ، y ، z) یا (R ، تتا ، فی) در مختصات کروی ، باید ورق لاستیکی خود را R ^ 2$ $بار بکشم جهت x و R ^ 2sin (tetha) بار در جهت y. هنگامی که با این ورق های لاستیکی تقریب می خورید ، می توانید مشاهده کنید که فاصله واحد روی ورق لاستیک در موقعیت مختلف کره متفاوت است. به طور مشابه ، هر سطح پیچیده ای دارای سنسورهای متریک (اطلاعات کششی) خاص خود به عنوان تابعی از موقعیت روی سطح است. این نوع تقریب سطحی ما را قادر می سازد زاویه ها و فواصل را روی هر سطح پیچیده ای به راحتی محاسبه کنیم.تعمیم به فضاهای غیر اقلیدسی بعدی N
قضیه تعبیه نش می گوید ، ما می توانیم با کشش هر سطح پیچیده M (منیفولد) با فضای اقلیدسی (M-1) بعدی (در اینجا کره 3D با تکه های ورق لاستیکی 2D تقریب خورده است) تقریبی دهیم. و هر نقطه بر روی این منیفولد N دارای تنسور متریک خاص خود است (اطلاعات کشش پچ). این تقریب اقلیدسی ما را قادر می سازد تا از هندسه اقلیدسی خود در فضاهای غیر اقلیدسی مانند منیفولد های ریمانی استفاده کنیم.توجه: هر نقطه در سیستم مختصات (اقلیدسی ، قطبی ، هر زمان فضایی انیشتین ، هر سطح) دارای فضای برداری خاص خود است. و هر فضای بردار فضای متریک خاص خود را دارد (تانسور متریک). این معیار ما را قادر می سازد فاصله ، مساحت ، زاویه یا حجم را در آن فضا محاسبه کنیم. بدون تانسور متریک ، ما نمی توانیم چیزی را در فضا اندازه گیری کنیم. در سیستم مختصات اقلیدسی ، هر نقطه دارای فضای برداری یکسانی است ، بنابراین معیار در کل فضا یکسان است. اما سطوح پیچیده دارای فضای برداری متغیر هستند ، از این رو متریک با موقعیت تغییر می کند.
تنسور متریک فضای سه بعدی اقلیدسی.
این نشان می دهد که فضا در هر نقطه از فضا کشش ندارد.
تانسور متریک فضای بعدی غیر اقلیدسی ، کشش فضا تابعی از موقعیت است.
از این رو ، هرگونه اطلاعات پیچیده و پیچیده سطح M می تواند توسط این تنسور متریک ضبط شود. این ما را قادر می سازد تا مفهوم فاصله ، زاویه ها و مناطق را روی منیفولدهای پیچیده N-d معرفی کنیم.
تنسور متریک تابعی است که بر روی یک خمینه(مانند سطحی در فضا) تعریف می‌شود که یک جفت بردار تانژانت v و w را به عنوان ورودی گرفته و یک عدد حقیقی (نرده ای) (g(v,w تولید می‌کند، به گونه‌ای که بسیاری از ویژگی‌های آشنای ضرب داخلی بردارها در فضای اقلیدسی را تعمیم می‌دهد. شبیه به ضرب داخلی، تنسورهای متریک برای تعریف طول بردارهای تانژانت و زاویه بین آن‌ها استفاده می‌شود.تانسور k یک تابع چند خطی از V × V × ⋯ × V به واقعی است ، جایی که V یک فضای بردار است و k تعداد V های محصول دکارتی فوق است
تصویر

ayda1385

عضویت : پنج‌شنبه ۱۴۰۰/۴/۲۴ - ۱۵:۳۲


پست: 1



جنسیت:

Re: تانسور متریک چه کاربردی دارد؟

پست توسط ayda1385 »

سلام...من ی نوجوان 14 سالم و اینکه ی سوال مغزمو درگیر کرده...{تانسور ها چه کاربردی دارن؟و هر کی میدونه لطفا هر چی اطلاع داره در موردشون بگه واقعا نیاز دارم چون برای معادلات میدان انیشتین نیاز دارم}ممنون میشم درموردش بگید به زبون ساده

نمایه کاربر
rohamjpl

نام: roham hesami

محل اقامت: Tehran -Qeytariyeh, Ketabi Street, 8 meters from Saba

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 734

سپاس: 434

جنسیت:

تماس:

Re: تانسور متریک چه کاربردی دارد؟

پست توسط rohamjpl »

تانسور» (Tensor)، نقطه‌ای از فضا است که توسط یک یا چند شاخص که بیانگر مرتبه آن است، توصیف می‌شودتصویر. به‌طور کلی، تانسوری با مرتبهn در فضای mبعدی، n شاخص و $m^n
$ مؤلفه دارد و از قواعد تبدیل معینی تبعیت می‌کند. مثلاً، تانسوری با مرتبه یک در فضای سه‌بعدی، یک شاخص و 3 مؤلفه دارد. در واقع، تانسورها تعمیمی از اسکالرها (که بدون شاخص هستند)، بردارها (که یک شاخص دارند) و ماتریس‌ها (که دو شاخص دارند) با تعداد دلخواهی از شاخص‌ها هستند نمادگذاری یک تانسور شبیه ماتریس است (یعنی $A=\{a_{ij} \}
$)، البته تانسور می‌‌تواند تعداد دلخواهی از شاخص‌‌ها را به صورت $a^{ijk…}
$ و … داشته باشد. به‌طور کلی، تانسوری مثل t با مرتبه‌ r+s می‌‌تواند یک تانسور از نوع آمیخته (r,s) باشد (یعنی $tα1…αrβ1…βs $که r
(تعداد شاخص‌‌های بالا) را شاخص‌‌های «پادوردا» (Contravariant) و s (تعداد شاخص‌‌های پایین) را شاخص‌‌های «هموردا» (Covariant) می‌‌نامند. اصطلاحاً گفته می‌‌شود تانسور نسبت به شاخص‌‌های بالا پادوردا و نسبت به شاخص‌‌های پایین هموردا است. توجه داشته باشید که محل قرار گرفتن شاخص‌‌های پادوردا و هموردا نیز حائز اهمیت است. برای مثال، ${\alpha_ \mu}^{\nu \lambda}
$ با هم متفاوت‌ هستند تانسورهای مرتبه‌ صفر، یک و دو به ترتیب، اسکالر، بردار و ماتریس نامیده می‌‌شوند نمادگذاری تانسوری، برداری مثل v را به‌صورت $v_i
$و$i=1, \ldots, m
$ و ماتریس را که تانسوری از نوع $(1,1)$ است، به‌شکل ${a_i}^j
$ نمایش می‌‌دهند.توجه کرده $\large \mathrm {u \cdot v}=u_i v^i
$قرارداد جمع انیشتین که بیان می‌‌کند هرگاه شاخصی در یک طرف معادله دو بار (یک بار به صورت شاخص بالا و یک بار به صورت شاخص پایین) ظاهر شود، روی آن شاخص جمع زده می‌‌شود، روی شاخص i جمع می‌‌زنیم $\large \mathrm {u \cdot v } = u_i v^i = \sum \limits_ {i = 1}^3{u_i}v^i = u_1 v^1 + u_2 v^2 + u_3 v^3.
$به‌طور مشابه، می‌‌توانیم ضرب خارجی را به‌صورت خلاصه زیر بنویسیم:$\large (u \times v)_i = \epsilon_{ijk} u^j v^k$ که ϵijk تانسور جایگشت نام دارد و به نماد «لوی-چیویتا» (Levi-Civita) معروف است. زمانی که تعداد جایگشت‌‌های سه شاخص i، j و k زوج و د باشد، مقدار این تانسور به ترتیب برابر با 1 و −1 خواهد بود و در صورتی که حداقل دو تا از شاخص‌‌های i، j و k برابر باشند، مقدار آن صفر خواهد شد. برای مثال، اگر در فضای سه‌بعدی مؤلفه‌ اول ضرب خارجی (u×v)i را به‌دست آوریم، خواهیم داشت:$\large ( u \times v)_1 = \epsilon _ {1jk} u^j v^k
$طبق تعریف، اگر دو شاخص برابر باشند، مقدار تانسور جایگشت صفر می‌‌شود، بنابراین در فضای سه‌بعدی فقط دو حالت داریم $\large (u \times v)_1 = \epsilon _{123} u^2 v^3 + \epsilon _{132} u^3 v^2
$در جمله‌ اول، جایگشتی نداریم اما در جمله‌ی دوم، ترتیب قرار گرفتن شاخص‌‌ها متفاوت بوده و بین 2 و 3، یک جایگشت صورت گرفته است. از این رو، مقدار تانسور –1 خواهد بود:$\large (u \times v)_1 = u^2 v^3 -u^3 v^2
$با دستکاری شاخص‌‌های تانسور (بالا و پایین آوردن شاخص‌‌ها) می‌‌توان عباراتی را که به‌شکل تانسور نوشته شده‌‌اند ساده کرد. این کار را می‌‌توان توسط تانسوری به‌نام تانسور متریک ${g_i}^ j$ داریم $\large g^ {i j } A _ j = A ^ i , \, \, \, \, \, g_ {i j } A ^ j = A _ i \\ \large
g^ {i k }g^ {j l } A _ {i j} = A ^ { k l } , \, \, \, \, \, g_ {i k }g_ {j l } A ^ {i j} = A _ { k l }
{"mode":"full","isActive":false}$عبارت $g_{i j}
$ یک تانسور مرتبه‌‌ دو است و به فضا و ابعادی بستگی دارد که محاسبات را در آن انجام می‌‌دهیم. این تانسور معمولاً به‌صورت یک ماتریس قطری است و در این حالت، $g ^ {i j }
$ که وارون $g_{i j}$اگر دو تانسور A و B هم‌‌مرتبه بوده و شاخص‌‌های هموردا و پادوردای یکسانی داشته باشند، می‌‌توان آن‌ها را با هم جمع یا از هم کم کرد که حاصل آن نیز تانسوری با همان مرتبه و با همان شاخص‌‌ها خواهد بود$\large A^{ij} + B^{ij} = C^{ij},\\ \large
A_{ij} + B_{ij} = C_{ij},\\ \large
{A^i}_{j} + {B^i}_{j} = {C^i}_{j}.
{"mode":"full","isActive":false}$م به ذکر است که هر دو تانسور A و B باید در یک فضا و با تعداد ابعاد یکسان تعریف شده باشند
است نیز قطری خواهد بودتعمیم ضرب داخلی تانسورها، «ادغام» (Contraction) تانسور گفته می‌‌شود و شامل برابر قرار دادن دو شاخص متفاوت (یکی پادوردا و دیگری هموردا) و جمع بستن روی آن شاخص با استفاده از قرارداد جمع انیشتین است تانسور نوع (r,s) را به یک تانسور نوع (r−1,s−1) تبدیل می‌‌کند. مثلاً با ادغام دو شاخص μ و λ در تانسور$t _ \lambda ^ {\mu \nu}
$لذا $\large{ t ^ {\mu \nu}} _ \mu = t ^ \nu.
$همان‌گونه که می‌‌بینیم، با ادغام، دو واحد از مرتبه‌ تانسور کم می‌‌شود.
اگر دو تانسور در هم ضرب شوند، حاصل، تانسوری خواهد شد که مرتبه‌ آن مساوی با مجموع مرتبه‌‌های دو تانسور اولیه است$\large A_{ij} B^{kl} = C_{ij}^{kl}
$در صورتی که یکی از شاخص‌‌های $B ^ {kl}$ با یکی از شاخص‌‌های $A _ {i j }$ برابر باشد، می‌‌توان از ادغام شاخص‌‌ها استفاده کرد$\large A _ {i k } B ^ { k l } = C _i ^ l.$ چنانچه تمام شاخص‌‌های $B ^ {kl}$و $A _ {I j }$ با هم برابر باشند، حاصل‌ضرب آن‌ها یک تانسور مرتبه‌‌ صفر یا به‌عبارتی، یک اسکالر خواهد بود توجه ترتیب قرار گرفتن تانسورها اهمیت دارد. به‌عنوان نمونه، تانسورهای$t ^ { \mu \nu }$و$t ^ { \nu \mu }$با هم متفاوت هستند، اما در بعضی موارد این دو تانسور با هم برابرند، یعنی:$\large t^{\mu \nu} = t^{\nu \mu}$در این حالت می‌‌گوییم تانسور متقارن است. ولی اگر داشته باشیم$\large t^{\mu \nu} = -t^{\nu \mu}
$تانسور پادمتقارن خواهد بود.
منظورت از تانسور متریک چیست؟
به طور خلاصه ، تانسور متریک تابعی است که نحوه محاسبه فاصله بین هر دو نقطه در یک فضای مشخص را بیان می کند.در پایین ترین سطح درک یک T تنسور از درجه r یک آرایه r-بعدی است (به یک صفحه گسترده فکر کنید) که "طول ضلع" آن همه برابر با n≥1 داده شده باشد. بنابراین T دارای تعداد ورودی است که در ادامه فرض می کنیم اعداد واقعی باشند.در هندسه دیفرانسیل، تنسور متریک تابعی است که بر روی یک خمینه(مانند سطحی در فضا) تعریف می‌شود که یک جفت بردار تانژانت v و w را به عنوان ورودی گرفته و یک عدد حقیقی (نرده ای) (g(v,w تولید می‌کند، به گونه‌ای که بسیاری از ویژگی‌های آشنای ضرب داخلی بردارها در فضای اقلیدسی را تعمیم می‌دهد. شبیه به ضرب داخلی، تنسورهای متریک برای تعریف طول بردارهای تانژانت و زاویه بین آن‌ها استفاده می‌شود.
یک تنسور متریک را مثبت معین می خوانند، هرگاه هر بردار نسبت به متریک طول مثبت داشته باشد. خمینه‌ای که به یک تنسور متریک مثبت معین مجهز باشد به عنوان خمینه ریمانی شناخته می‌شود. تنسور متریک اجازه می‌دهد که با استفاده از انتگرال گیری طول انحناهای روی خمینه تعریف و محاسبه شود. کوتاهترین منحنی متصل‌کننده دو نقطه ژئودزیک نامیده می‌شود و طول آن فاصله‌ای است که یک مسافر روی خمینه باید برای رفتن از یک نقطه به نقطه دیگر طی کند. با مجهز شدن به این مفهوم طول، خمینه ریمانی یک فضای متریک خواهد بود، به این معنی که این خمینه یک تابع فاصله (d(p,q دارد که مقدار آن برای یک جفت نقطه p و q برابر با فاصله p تا q می‌باشد. به‌طور قرینه، خود تنسور متریک مشتق تابع فاصله است. بنابراین تنسور متریک فاصله بی نهایت کوچک روی خمینه را مشخص می‌کند.تصویر
وقتی چنین تنسوری را تنظیم می کنیم ، کاربردی در ذهن داریم ، مثلاً در هندسه یا فیزیک. این همان جایی است که دشواری ها به وجود می آیند. منظور از این است که تنسور روی یک یا چند بردار (متغیر) اعمال شود و نتیجه آن یک عدد یا یک بردار مورد نظر در زمینه مورد نظر خواهد بود. به عنوان مثال ، مقدار T (x ، y) می تواند محصول اسکالر x و y باشد ، یا مساحت متوازی الاضلاع با x و y پوشانده شود ، یا تصویر x در زیر T وقتی T به عنوان یک نقشه خطی در نظر گرفته می شود ، یا نیروی تلافی جویانه هنگام حرکت در جهت x و به بعد احساس می شود. برای محاسبه مقادیر واقعی به مختصات x و y نیاز داریم. حال اینها به انتخاب مبنا در فضای زمین Rn بستگی دارد و وقتی مبنا را تغییر می دهیم مقادیر مختصات نقاط x تغییر می کند. اما محصول اسکالر یا برخی از نیروهای القا شده ، به دلیل اینکه "به خوبی تعریف شده اند" مقادیر هندسی یا فیزیکی ، نباید تغییر کند. این به نوبه خود دلالت بر این دارد که ورودی های تنسور (صفحه گسترده) T ما باید تغییر کنند ، البته به روشی مشخص ، بسته به مورد "متغیر" یا "متغیر" نامیده می شود.ماتریس شبکه ای از n × m (مثلاً 3 3 3) اعداد است که توسط براکت احاطه شده اند. ما می توانیم ماتریسهایی با همان اندازه جمع و تفریق کنیم ، یک ماتریس را با مادری دیگر ضرب کنیم تا زمانی که اندازه ها سازگار باشند ((n × m) × (m × p) = n × p) ، و یک ماتریس کامل را در یک ثابت ضرب کنیم. بردار ماتریسی است که فقط یک ردیف یا ستون دارد (اما زیر را ببینید). بنابراین یک سری عملیات ریاضی وجود دارد که می توانیم برای هر ماتریسی انجام دهیم.تصویر
اگرچه ایده اصلی این است که ماتریس فقط یک شبکه اعداد 2 بعدی است.
تنسور اغلب به عنوان یک ماتریس تعمیم یافته تصور می شود. یعنی می تواند یک ماتریس 1-D باشد (یک بردار در واقع چنین کششی است) ، یک ماتریس 3-D (چیزی شبیه به مکعب اعداد) ، حتی یک ماتریس 0-D (یک عدد واحد) یا بالاتر ساختار بعدی که تجسم آن دشوارتر است. بعد تانسور را درجه آن می نامند.
اما این توصیف مهمترین خاصیت یک تنسور را از دست می دهد!
تنسور یک موجود ریاضی است که در ساختاری زندگی می کند و با نهادهای ریاضی دیگر ارتباط برقرار می کند. اگر یکی موجودات دیگر موجود در سازه را به روشی منظم تبدیل کند ، در این صورت تنسور باید از یک قانون تغییر مربوط پیروی کند.
این ویژگی "دینامیکی" یک تانسور اصلی است که آن را از یک ماتریس متمایز متمایز می کند. این یک بازیکن تیمی است که هنگام ایجاد تحولی که روی همه آنها تأثیر بگذارد ، مقادیر عددی همراه با هم تیمی هایش تغییر می کند.
هر تنسور درجه 2 می تواند به عنوان یک ماتریس نمایش داده شود ، اما هر ماتریسی واقعاً یک سنسور درجه 2 نیست. مقادیر عددی نمایش ماتریس تنسور به آنچه قوانین تحول در کل سیستم اعمال شده بستگی دارد.
این پاسخ ممکن است برای اهداف شما کافی باشد ، اما ما می توانیم یک مثال کوچک را برای نشان دادن نحوه عملکرد آن انجام دهیم. این سوال در یک کارگاه آموزش عمیق مطرح شد ، بنابراین بیایید به یک نمونه سریع از آن زمینه نگاه کنیم.
فرض کنید من یک لایه مخفی از 3 گره در یک شبکه عصبی دارم. داده ها به درون آنها سرازیر می شد ، توابع ReLU آنها را طی می کردند و مقادیری را نشان می دادند. بگذارید بگوییم ، برای مشخص بودن ، به ترتیب 2.5 ، 4 و 1.2 بدست آوردیم. (نگران نباشید ، نمودار در حال آمدن است.) ما می توانیم خروجی این گره ها را به عنوان بردار نشان دهیم ،یک ماتریس شبکه ای از n × m (مثلاً 3 3 3) است که توسط براکت ها احاطه شده است. ما می توانیم ماتریس هایی با اندازه یکسان اضافه و تفریق کنیم ، یک ماتریس را با دیگری ضرب کنیم تا اندازه ها سازگار باشند ((n × m) (m one p) = n × p) و یک ماتریس کامل را با یک ثابت ضرب کنیم. وکتور ماتریسی است که فقط با یک ردیف یا ستون (اما در زیر مشاهده می کنید). بنابراین یک دسته از عملیات ریاضی وجود دارد که ما می توانیم به هر ماتریس انجام دهیم.
ایده اصلی این است که یک ماتریس فقط یک شبکه 2 بعدی است.
یک تنشور اغلب به عنوان یک ماتریس تعمیم یافته تصور می شود. یعنی می تواند یک ماتریس 1 بعدی باشد (یک وکتور در واقع چنین تنشی است) ، یک ماتریس 3 بعدی (چیزی مثل مکعب اعداد) ، حتی یک ماتریس 0 بعدی (یک عدد) یا بالاتر ساختار بعدی که تجسم آن سخت تر است. ابعاد تانسور را درجه خود می نامند.
اما این توضیحات مهمترین خاصیت یک تانسور را از دست نمی دهد!
تنسور یک موجودیت ریاضی است که در یک ساختار زندگی می کند و با سایر موجودات ریاضی تعامل دارد. اگر شخص موجودات دیگر را در ساختار به طور منظم دگرگون کند ، پس تانسور باید از یک قانون دگرگونی مرتبط پیروی کند.
این ویژگی "دینامیکی" یک تانسور کلید اصلی است که آن را از یک ماتریس صرف متمایز می کند. این بازیکن تیمی است که هنگام تحولی که روی همه آنها تأثیر می گذارد ، مقادیر عددی به همراه سایر هم تیمی هایش تغییر می کند.
هر تنسور درجه 2 می تواند به عنوان ماتریس نشان داده شود ، اما همه ماتریس ها واقعاً یک تانسور درجه 2 نیستند. مقادیر عددی نمایش ماتریس تانسور بستگی به آنچه که قوانین تحول برای کل سیستم اعمال شده است.
این پاسخ ممکن است برای اهداف شما کافی باشد ، اما می توانیم یک مثال کوچک برای نشان دادن چگونگی عملکرد این کارها انجام دهیم. ، بنابراین اجازه دهید یک نمونه سریع از آن زمینه را بررسی کنیم.
فرض کنید من یک لایه مخفی از 3 گره در یک شبکه عصبی دارم. داده ها به داخل آنها سرازیر شدند ، از طریق عملکردهای ReLU خود عبور کردند و مقداری از مقادیر ظاهر شدند. بیایید بگوییم ، برای قطعیت ، به ترتیب 2.5 ، 4 و 1.2 به دست آوردیم. (نگران نباشید ، یک نمودار در حال آمدن است.) ما می توانیم بازده این گره ها را به عنوان یک بردار نمایندگی کنیم ،
با این عناصر آشنایی دارید اما شاید تسنور (Tensor) واژه‌ی جدیدی باشد. Tensor در واقع ماتریسی است که هر کدام از خانه‌های آن به جای این‌که یک عدد داشته باشند، می‌تواند چندین عدد را در خود جای دهد
تفاوت بین Tensor و Tensor Field؟
دقیقاً تانسور چیست؟
در ریاضیات ، تنسور جسمی جبری است که رابطه ای (چند خطی) بین مجموعه اشیا جبری مربوط به فضای بردار را توصیف می کند. ... سنسورها مستقل از هر مبنایی تعریف می شوند ، اگرچه اغلب توسط مولفه هایشان در مبنای مربوط به سیستم مختصات خاص به آنها اشاره می شود.اگرچه ایده اصلی این است که ماتریس فقط یک شبکه اعداد 2 بعدی است. تنسور اغلب به عنوان یک ماتریس تعمیم یافته تصور می شود. ... هر تنسور درجه 2 می تواند به عنوان یک ماتریس نمایش داده شود ، اما هر ماتریسی واقعاً یک تنسور درجه 2 نیست تفاوت بین ماتریس برداری و تنسور با مثال توضیح داده شده است؟
ماتریس: یک آرایه 2 بعدی از اعداد ، معمولاً m x n با ردیف و ستون n. به یک معنا ، ماتریس 1 x n یا n x 1 نیز یک بردار است. Tensor: یک آرایه n بعدی و نمایش بازگشتی تعمیم یافته هر یک از اشیا فوق. تانسور 0D یک اسکالر ، یک تانسور 1D یک بردار و غیره است.
آیا تنسور بردار است؟
تنسور تعمیم یک بردار است (دقیقاً ماتریس نیست). تنسور تعمیم یک بردار است (دقیقاً ماتریس نیست). بردار یک تاپل است که از قوانین صحیح تحول پیروی می کند - به عنوان مثال ، اگر شما چرخشی را نشان می دهید که توسط ماتریس R نشان داده می شود ، بردار جدید V '= RV.تفاوت تانسور و بردار چیست؟
سنسورها به سادگی اشیایی ریاضی هستند که می توانند برای توصیف خصوصیات فیزیکی استفاده شوند ، دقیقاً مانند مقیاس کش ها و بردارها. در واقع تنسورها صرفاً تعمیم مقیاس بندی ها و بردارها هستند. اسکالر یک تانسور درجه صفر است ، و بردار یک تانسور درجه یک است.
تنسور از نظر جسمی چیست؟
پاسخ. تنسورها ، از نظر ریاضی تعریف می شوند ، به سادگی آرایه ای از اعداد یا توابع هستند که بر اساس قوانین خاصی تحت تغییر مختصات تغییر شکل می دهند. در فیزیک ، تنسورها خصوصیات یک سیستم فیزیکی را مشخص می کنند
تفاوت بین تنسور و بردار چیست؟
بردار یک آرایه 1D از اعداد است ، ماتریسی که m یا n آن برابر با 1. باشد ... رتبه تانسور یک عدد صحیح 0 یا بالاتر است. یک تنسور با درجه 0 را می توان با یک اسکالر ، یک تنسور با درجه 1 را می توان با یک بردار و یک تنسور را برای رتبه 2 را با یک ماتریس نشان داد
تنسور متریک چه کاری انجام می دهد؟
به همان روش یک محصول نقطه ای ، از سنسورهای متریک برای تعریف طول و زاویه بین بردارهای مماس استفاده می شود. از طریق ادغام ، تانسور متریک به شما امکان می دهد طول منحنی های منیفولد را تعریف و محاسبه کند. ... منیفولد مجهز به سنسور متریک مثبت و مشخص به عنوان منیفولد ریمانی شناخته می شود.تعریف معمول تر این است که منیفولد فضایی است که به صورت محلی مانند Rn است. ... برای رسمیت دادن به آن ، می توانید بگویید که منیفولد فضایی است که در آن هر محله به اندازه کافی کوچک با مجموعه ای باز در Rn همومورفیک است. هومومورفیک به این معنی است که می توانید یک هومومورفیسم بین آنها پیدا کنید.منیفولد دقیقاً چیست؟
منیفولد یک فضای توپولوژیکی است که "به صورت محلی" شبیه فضای اقلیدسی است. این بدیهی است که معنای زیادی ندارد مگر اینکه شما در رشته توپولوژی مطالعه کرده باشید. یک روش شهودی (اما نه دقیقاً صحیح) برای فکر کردن در مورد آن ، گرفتن یک شی هندسی از Rk و تلاش برای "جا دادن" آن در Rn ، n> k است.
تانسور (رتبه 2 خلاف) رتبه بردار است. اگر بردار داشته باشید ، 3 عدد است که در یک جهت خاص نشان می دهند. معنای آن این است که وقتی چرخش مختصات را انجام می دهید ، آنها به یکدیگر می چرخند. به طوری که 3 جز vector بردار Vi به تبدیل می شوند
$V'^i = A^i_j V^j
$
تحت یک تغییر شکل خطی مختصات.
تنسور بردار 3 بردار است که تحت چرخش به یکدیگر می چرخند (و همچنین به صورت بردار می چرخند --- ترتیب دو عمل چرخش بی ربط است). اگر یک بردار Vi باشد که i از 1-3 اجرا می شود (یا 1-4 یا از هر مکانی به هر مکانی دیگر) ، تانسور$T^{ij}
$ است ، جایی که اولین شاخص بردار را برچسب می زند ، و شاخص دوم برچسب مولفه بردار را می زند (یا بالعکس ) هنگامی که مختصات را می چرخانید T تبدیل می شود
$T'^{ij} = A^i_k A^j_l T^{kl} = \sum_{kl} A^i_k A^j_l T^{kl}
$
در جایی که من از قرارداد جمع آوری انیشتین استفاده می کنم که یک شاخص تکراری خلاصه می شود ، به طوری که بیان میانی واقعاً به معنی جمع در سمت راست است.
تانسور درجه 3 بردار تانسورهای رتبه 2 ، تانسور رتبه چهار بردار تانسورهای رتبه 3 است ، بنابراین به رتبه دلخواه ادامه می یابد. نماد Tijkl است و به همین ترتیب با تعداد شاخص های بالایی که رتبه دارید. قانون تبدیل برای هر شاخص یک A است ، به این معنی که هر شاخص به طور جداگانه به عنوان بردار تبدیل می شود.
بردار متغیر ، یا پوششی ، یک تابع خطی از بردارها به اعداد است. این به طور کامل توسط ضرایب ، Ui توصیف می شود ، و تابع خطی است
$U_i V^i = \sum_i U_i V^i = U_1 V^1 + U_2 V^2 + U_3 V^3
$
جایی که قرارداد انیشتین در اولین عبارت به کار رفته است ، این بدان معناست که اگر نام شاخص یکسان دو بار ، یک بار پایین تر و یک بار بالاتر رخ دهد ، می فهمید که قرار است بیش از شاخص جمع کنید ، و می گویید که این شاخص منقبض شده است. عمومی ترین تابع خطی ، ترکیبی خطی از سه مولفه با ضرایب است ، بنابراین این پنهانکار عمومی است.
قانون تحول برای یک پنهانکار باید با ماتریس معکوس باشد
$U'_i = \bar{A}_i^j U_j
$
ضرب ماتریس در قرارداد انیشتین ساده است:
$M^i_j N^j_k = (MN)^i_k
$
و تعریف A¯ (ماتریس معکوس) باعث می شود که محصول داخلی UiVi تحت یک تغییر مختصات ثابت بماند (شما باید این را بررسی کنید).
یک تانسور متغیر درجه 2 ، پنهانی پوششی است ، و غیره تا درجه بالایی خودسرانه.
شما همچنین می توانید یک درجه m ، n $T^{i_1 i_2 ... i_m}_{j_1j_2 ... j_n}
$ ، با m بالا و n شاخص پایین تر ایجاد کنید. هر شاخص با توجه به بالا یا پایین بودن به طور جداگانه به عنوان بردار یا پوششی تغییر شکل می دهد. هر یک از شاخص های پایین تر ممکن است با هر شاخص بالاتر در یک محصول تنسور منقبض شود ، زیرا این یک عملیات ثابت است. این به این معنی است که رتبه های m ، n tensors را می توان از بسیاری جهات مشاهده کرد:
به عنوان عمومی ترین تابع خطی از پنهان کننده های m و n بردار به تعداد
به عنوان عمومی ترین تابع خطی از یک تانسور متغیر درجه m به یک تانسور متغیر درجه n
به عنوان عمومی ترین تابع خطی از یک تانسور متغیر درجه n به یک تانسور متغیر درجه m.
و به همین ترتیب برای تعدادی از تفاسیر که به طور مرتب با رتبه رشد می کند. این تعریف دلخواه ریاضیدان است ، که بر خصوصیات تحول تأکید نمی کند ، بلکه بر نقشه های خطی موجود تأکید می کند. این دو تعریف یکسان هستند ، اما خوشحالم که ابتدا تعریف فیزیکدان را یاد گرفتم.
در فضای اقلیدسی معمولی در مختصات مستطیلی ، نیازی نیست که بین بردارها و پنهان کننده ها تفاوت قائل شوید ، زیرا ماتریس های چرخش معکوس دارند که انتقال آنها است ، به این معنی که بردارها و بردارها در چرخش ها همان را تغییر می دهند. این بدان معنی است که شما فقط می توانید شاخص های افزایشی داشته باشید ، یا فقط پایین ، مهم نیست. می توانید یک شاخص بالاتر را با یک شاخص پایین جایگزین کنید و اجزا را بدون تغییر نگه دارید.
در یک وضعیت کلی تر ، نقشه بین بردارها و پنهان کننده ها را یک gij تنسور متریک می نامند. این تنسور بردار V را می گیرد و یک پنهانکار تولید می کند (که به طور سنتی با همان نام نوشته می شود اما با شاخص پایین تر)
$V_i = g_{ij} V^i
$
و این به شما امکان می دهد مفهومی از طول تعریف کنید
$|V|^2 = V_i V^i = g_{ij}V^i V^j
$
این نیز مفهومی از محصول است که می تواند از مفهوم طول به شرح زیر استخراج شود:
$2 V\cdot U = |V+U|^2 - |V|^2 - |U|^2 = 2 g_{\mu\nu} V^\mu U^\nu
$
در فضای اقلیدسی ، تانسور متریک gij = δij که دلتای کرونکر است. مانند ماتریس هویت است ، با این تفاوت که یک کشش است ، نه یک ماتریس (یک ماتریس بردارها را به بردارها می برد ، بنابراین یک شاخص بالا و یک شاخص پایین دارد --- توجه داشته باشید که این بدان معنی است که به طور خودکار پنهانکارها را به پنهان ها می برد ، این ضرب است پوشاننده توسط ماتریس جابجایی در علامت گذاری ماتریس ، اما علامت گذاری انیشتین ماتریس را جمع می کند و آن را گسترش می دهد ، بنابراین بهتر است تمام عملیات ماتریس را به عنوان کوتاه برای برخی از انقباضات شاخص در نظر بگیریم).
حساب حسابگرها مهم است ، زیرا بسیاری از مقادیر به طور طبیعی بردار بردارها هستند.
تنسور تنش: اگر مقدار مقیاس ذخیره شده دارید ، چگالی جریان بار یک بردار است. اگر یک مقدار بردار (مانند تکانه) داشته باشید ، چگالی جریان حرکت یک تنسور است که به آن تنش تنش می گویند
تنسور اینرسی: برای حرکت چرخشی جسم صلب ، سرعت زاویه ای یک بردار است وحرکت زاویه ای بردار است که یک تابع خطی از سرعت زاویه ای است. به نقشه خطی بین آنها تنسور اینرسی گفته می شود. فقط برای اجسام بسیار متقارن تنسور متناسب با δij است ، به طوری که این دو همیشه در یک جهت قرار دارند. این دروس مکانیک ابتدایی حذف شده است ، زیرا سنجنده ها بیش از حد انتزاعی در نظر گرفته می شوند.
بردارهای محوری: هر بردار محوری در یک نظریه حفظ برابری را می توان با نگاشت با تانسور ϵijk به عنوان یک تانسور ضد متقارن درجه 2 در نظر گرفت
بازنشانی با چرخش زیاد: نظریه نمایش های گروهی بدون تنسور قابل درک نیست و در صورت استفاده از آنها نسبتاً شهودی است.
انحنا: انحنای یک منیفولد ، تغییر خطی در یک بردار است که شما آن را دور یک حلقه بسته تشکیل شده توسط دو بردار قرار دهید. این یک تابع خطی از سه بردار است که یک بردار تولید می کند ، و به طور طبیعی یک تانسور درجه 1.3 است.
تانسور متریک: این مورد قبلاً مورد بحث قرار گرفت. این ماده اصلی نسبیت عام است
اشکال دیفرانسیل: اینها منعقد کننده های غیر متقارن از درجه n هستند ، به معنای تانسورهایی هستند که دارای ویژگی Aij = −Aji و مورد مشابه برای درجه بالاتر هستند ، که در آن شما برای هر جابجایی علامت منفی می گیرید.
به طور کلی ، سنسورها ابزار بنیادی برای نمایش گروهی هستند و شما برای همه جنبه های فیزیک به آنها نیاز دارید ، زیرا تقارن در فیزیک بسیار مهم است.hope I help you I hope I help you understand the question. Roham Hesami smile072 smile261 smile260
تصویر

ارسال پست