فضا در هندسه چیست؟
یک فضا بی نهایت در همه جهات گسترش می یابد و مجموعه ای از همه نقاط در سه بعد است. می توانید یک فضا را مانند داخل یک جعبه در نظر بگیریدهندسه و مثالها چیست؟
هندسه شاخه ای از ریاضیات است که اندازه ها ، اشکال ، زاویه ها و ابعاد اشیا را بررسی می کند. اشکال مسطح مانند مربع ها ، دایره ها و مثلث ها بخشی از هندسه مسطح هستند و اشکال 2D نامیده می شوند. این اشکال فقط 2 بعد ، طول و عرض دارند. نمونه هایی از اشکال 2D در هندسه مسطح.
هندسه فضا اقلیدسی است یا غیر اقلیدسی؟
اگر ثابت شود که مجموع زاویه یک مثلث همیشه کمتر از π است ، در این صورت هندسه فضا هندسه غیر اقلیدسی است و این نتیجه گیری از اندازه گیری های دقیق کافی فقط یک مثلث حاصل می شود.تفاوت اصلی هندسه اقلیدسی و غیر اقلیدسی چیست؟
در حالی که هندسه اقلیدسی در صدد درک هندسه فضاهای تخت و دو بعدی است ، هندسه غیر اقلیدسی به جای سطوح صاف ، سطوح منحنی را بررسی می کند. اگرچه هندسه اقلیدسی در بسیاری از زمینه ها مفید است ، اما در بعضی موارد ، هندسه غیر اقلیدسی ممکن است مفیدتر باشد.هندسه اقلیدسی و غیر اقلیدسی چیست؟
هندسه غیر اقلیدسی تجدیدنظر و توصیف مجدد خصوصیات چیزهایی مانند نقاط ، خطوط و اشکال دیگر در دنیای غیر مسطح است. هندسه کروی - که نوعی هندسه صفحه ای است که روی سطح یک کره تاب خورده است - یکی از نمونه های هندسه غیر اقلیدسی است
.فضای بردار (فضای خطی نیز نامیده می شود) مجموعه ای از اشیا called است که بردارها نامیده می شوند ، که ممکن است با هم جمع شده و ضرب شوند ("مقیاس گذاری") بر روی اعداد ، که مقیاس نامیده می شوند. ... عملیات جمع برداری و ضرب اسکالر باید نیازهای خاصی را برآورده کنند ، بدیهیات برداری (که در زیر در in تعریف ذکر شده است).چرا به فضای بردار فضای خطی نیز گفته می شود؟
فضاهای برداری به عنوان موجودات جبری انتزاعی اولین بار توسط ریاضیدان ایتالیایی Giuseppe Peano در سال 1888 تعریف شده است. Peano فضاهای برداری خود را "سیستم های خطی" نامید زیرا به درستی دید که می توان از ترکیب خطی بردارها و مقیاس های مختلف هر بردار را در فضا بدست آورد. —av + bw +… + cz.فضای بردار خطی چیست؟
یک فضای بردار خطی شامل مجموعه ای از بردارها یا توابع و عملکردهای استاندارد جمع ، تفریق و ضرب مقیاسی است. ... به هر نقطه در صفحه (x ، y) می توان با ترکیبی خطی ، یا برهم نهی ، از دو بردار استاندارد i و j به دست آورد. ما می گوییم بردارها فضا را "پوشانده" اند.چه چیزی یک فضای خطی را تعریف می کند؟
فضای خطی یک ساختار اساسی در هندسه بروز است. یک فضای خطی از مجموعه ای از عناصر به نام نقطه و مجموعه ای از عناصر به نام خط تشکیل شده است. هر خط زیرمجموعه مشخصی از نقاط است. گفته می شود که نقاط موجود در یک خط با خط برخورد می کنند.
آیا فضای بردار یک میدان است؟
به نظر من هر دو تقریباً یکسان هستند. با این وجود باید اختلافاتی وجود داشته باشد مانند اینکه هر دو عنصر می تواند در یک زمینه ضرب شود اما در فضای برداری مجاز نیست زیرا فقط ضربات اسکالر در مواردی که مقیاس داران از این زمینه هستند مجاز است. ... هر فیلد یک فضای برداری است اما هر فضای بردار یک میدان نیست.تعریف: یک میدان مجموعهF از اعداد به همراه این ویژگی است که اگر a,b∈F، آنگاه a+b، a–b،ab و a/b نیز در F هستند (البته، با فرض اینکه در a/b نامساوی b≠0 را داشته باشیم).
تعریف: یک فضای برداری از مجموعه V (اعضای V بردار نامیده میشوند)، میدان F (اعضای F اسکالر نامیده میشوند) و دو عمل زیر تشکیل میشود:جمع برداری که دو بردار v,w∈V را میگیرد و بردار سومی تولید میکند که به صورت v+w∈V نوشته میشود.ضرب اسکالر یا نردهای که عدد c∈F و بردار v∈V را میگیرد و بردار cv∈V را تولید میکند.این فضای برداری در شرایط زیر (که اصول نامیده میشوند)، صدق میکند:(۱) شرکتپذیری جمع برداری: برای همه u,v,w∈V، تساوی (u+v)+w=u+(v+w) را داریم.(۲) وجود یک بردار صفر: برداری در
V وجود دارد که به صورت 0 نوشته و بردار صفر نامیده میشود و ویژگی u+0=u برای هر u∈V برقرار است.(۳) وجود قرینه: برای هر u∈
V، برداری در V وجود دارد که به صورت u نوشته شده و قرینه u نامیده میشود که دارای ویژگی u+(–u)=0 است.(۴) شرکتپذیری ضرب: برای هر a,b∈F و u∈V، تساوی (ab)u=a(bu) برقرار است.(۵) توزیعپذیری: برای هر a,b∈F و u,v∈V، تساوی (a+b)u=au+bu و a(u+v)=au+av برقرار است.(۶) یکانی: برای هر u∈V، رابطه 1u=u برقرار است.فرض کنید V مجموعهای از ماتریسهای برداری n در 1
از اعداد حقیقی بوده و میدان اسکالرها R باشد. همچنین فرض کنید جمع برداری و ضرب نردهای به صورت زیر تعریف شدهاند:$\large \left ( \begin {array} { c }
x _ { 1 } \\ x _ { 2 } \\ \vdots \\ x _ { n }
\end {array} \right ) + \left ( \begin {array} { c }
y _ { 1 } \\ y _ { 2 } \\ \vdots \\ y _ { n }
\end {array} \right ) = \left ( \begin {array} { c }
x _ { 1 } + y _ { 1 } \\
x _ { 2 } + y _ { 2 } \\
\vdots \\ x _ { n } + y _ { n }
\end {array} \right ), \quad \quad c \left ( \begin {array} { c }
x _ { 1 } \\ x _ { 2 } \\
\vdots \\ x _ { n }
\end {array} \right ) = \left ( \begin {array} { c }
c x _ { 1 } \\
c x _ { 2 } \\
\vdots \\
c x _ { n }
\end {array} \right )$۱. شرکتپذیری جمع برداری:$\large \begin {aligned}
\left ( \left ( \begin {array} { c }
x _ { 1 } \\
x _ { 2 } \\
\vdots \\
x _ { n }
\end {array} \right ) + \left ( \begin {array} { c }
y _ { 1 } \\
y _ { 2 } \\
\vdots \\
y _ { n }
\end {array} \right ) \right ) + \left ( \begin {array} { c }
z _ { 1 } \\
z _ { 2 } \\
\vdots \\
z _ { n }
\end {array} \right ) & = \left ( \begin {array} { c }
x _ { 1 } + y _ { 1 } \\
x _ { 2 } + y _ { 2 } \\
\vdots \\
x _ { n } + y _ { n }
\end {array} \right ) + \left ( \begin {array} { c }
z _ { 1 } \\
z _ { 2 } \\
\vdots \\
z _ { n }
\end {array} \right ) \\
& = \left ( \begin {array} { c }
\left ( x _ { 1 } + y _ { 1 } \right ) + z _ { 1 } \\
\left ( x _ { 2 } + y _ { 2 } \right ) + z _ { 2 } \\
\vdots \\
\left ( x _ { n } + y _ { n } \right ) + z _ { n }
\end {array} \right ) \\
& = \left ( \begin {array} { c }
x _ { 1 } + \left ( y _ { 1 } + z _ { 1 } \right ) \\
x _ { 2 } + \left ( y _ { 2 } + z _ { 2 } \right ) \\
\vdots \\
x _ { n } + \left ( y _ { n } + z _ { n } \right )
\end {array} \right ) \\
& = \left ( \begin {array} { c }
x _ { 1 } \\
x _ { 2 } \\
\vdots \\
x _ { n }
\end {array} \right ) + \left ( \left ( \begin {array} { c }
y _ { 1 } \\
y _ { 2 } \\
\vdots \\
y _ { n }
\end {array} \right ) + \left ( \begin {array} { c }
z _ { 1 } \\
z _ { 2 } \\
\vdots \\
z _ { n }
\end {array} \right ) \right )
\end {aligned}$2. وجود یک بردار صفر با نشان دادن اینکه ماتریس ستونی صفر در شرایط بردار صفر بودن صدق میکند، قابل اثبات است: قرینه را میتوان با ضرب −1 در هریک از درایههای ماتریس ستونی v به دست آورد و با تساوی v+(–v)=0 وجود آن را اثبات کرد$\large \left ( \begin {array} { c }
x _ { 1 } \\
x _ { 2 } \\
\vdots \\
x _ { n }
\end {array} \right ) + \left ( \begin {array} { c }
– x _ { 1 } \\
– x _ { 2 } \\
\vdots \\
– x _ { n }
\end {array} \right ) = \left ( \begin {array} { c }
0 \\
0 \\
\vdots \\
0
\end {array} \right )$۴. شرکتپذیری ضرب:۵. توزیعپذیری:۶. یکانی:
آیا فضای پیچیده شامل فضای واقعی است؟
در تعریف فضای بردار مجموعه ای از اعداد (مقیاس پذیر) وجود دارد که می تواند یک زمینه دلخواه باشد. بنابراین ما فضاهای برداری واقعی و پیچیده ای داریم. اگر V یک فضای برداری پیچیده باشد ، می توانیم فقط ضرب بردارها را در اعداد واقعی در نظر بگیریم ، بنابراین یک فضای برداری واقعی بدست می آوریم ، که VR نشان داده می شود.آیا اعداد مختلط یک فضای برداری هستند؟
یک فضای برداری پیچیده ، یک فضای بردار است که قسمت مقیاس پذیر آن اعداد مختلط است. یک تحول خطی بین فضاهای برداری پیچیده توسط یک ماتریس با ورودی های پیچیده (به عنوان مثال ، یک ماتریس پیچیده) داده می شود.
آیا اعداد مختلط دو بعدی هستند؟
اعداد مختلط در صفحه مختصات. هر عدد مختلط x + yi مربوط به یک جفت عدد (x، y) در صفحه است ، بنابراین ممکن است بگوییم که اعداد مختلط یک مجموعه دو بعدی را تشکیل می دهند. به دو مختصات جفت (x، y) قسمت واقعی و قسمت خیالی عدد مختلط گفته می شود.آیا اعداد مختلط یک فضای بردار بیش از R هستند؟
(i) بله ، C یک فضای بردار بیش از R است. از آنجا که هر عدد پیچیده به صورت منحصر به فرد در شکل a + bi با a ، b ∈ R قابل بیان است ، می بینیم که (1 ، i) مبنایی برای C بیش از R است بنابراین بنابراین بعد دو است. (ii) هر فیلد همیشه یک فضای بردار 1 بعدی روی خودش است.چگونه اساس یک فضای برداری پیچیده را پیدا می کنید؟
هر عدد مختلط را می توان به صورت ضرب C از 1 نوشت ، بنابراین {1} یک مجموعه دهانه برای فضا است. C2 را بیش از R در نظر بگیرید. سپس {(1،0) ، (0،1) ، (i ، 0) ، (0 ، i)} مبنای استاندارد است و بعد چهار است.
آیا هر فضای بردار پیچیده ای یک فضای برداری واقعی است ، اما عکس آن چیست؟
از این رو ، F یک فضای بردار بیش از S است. از آنجا که S یک زیر فیلد دلخواه از F است ، بنابراین ، هر فیلد یک فضای بردار بر روی هر زیرمجموعه خود است. یک فضای بردار بیش از قسمت بالای آن. به عنوان مثال ، R یک فضای بردار بیش از C نیست ، زیرا ضرب یک عدد واقعی و یک عدد مختلط لزوماً یک عدد واقعی نیست.
فضای بردار روی اعداد مختلط نیز یک فضای برداری بر روی اعداد واقعی استبگذارید V یک فضای بردار بیش از C باشد. سپس برای هر زیرمجموعه K⊂C ، V همچنین یک فضای بردار بیش از K. است اثبات:
تمام بدیهیات مربوط به تعریف فضای برداری هستند
توزیع ضرب اسکالر با توجه به جمع بردار: a (u + v) = au + av توزیع ضرب اسکالر با توجه به جمع میدانی: (a + b) v = av + bv سازگاری ضرب اسکالر با ضرب میدان: a ( bv) = (ab) v
(برای همه a ، b∈K ، v∈V)
مورد اول از آنجا که قبلاً برای همه a∈C و K⊂C راضی بوده است ، حاوی رضایت است. در واقع همه آنها راضی هستند زیرا a، b∈K⊂C. پس از آنجا که K طبق تعریف یک زمینه است ، کار ما تمام شد.
چه تفاوتی بین فضای دکارتی و فضای اقلیدسی وجود دارد؟
از یکی از تعاریفی که دیدم ، فضای دکارتی یکی از دو یا سه بعد است که در آن محورها به طور متقابل عمود هستند. یک فضای اقلیدسی نیز دارای محورهای عمود متقابل است ، اما می تواند فضاهای بالاتر از سه بعد را نشان دهد.
فضای محصول یک فضای خطی هنجاردار است. نابرابری کوشی-شوارتز بیان می کند که | 〈f ، g〉 | g f g برای هر f ، g ∈ H. اگر فضای محصول داخلی H کامل باشد ، آن را فضای Hilbert می نامند. به عبارت دیگر ، فضای هیلبرت یک فضای Banach است که هنجار آن توسط یک محصول درونی تعیین می شود.آیا فضاهای هیلبرت فضاهای Banach هستند؟
فضای بی نهایت بعدی می تواند هنجارهای مختلفی داشته باشد. ... فضاهای هیلبرت با هنجارهایشان که توسط محصول داخلی داده می شود نمونه هایی از فضاهای Banach است. در حالی که یک فضای هیلبرت همیشه یک فضای Banach است ، اما برعکس نیازی به جا ندارد. بنابراین ، ممکن است یک فضای Banach هنجار داده شده توسط یک محصول داخلی را نداشته باشد.آیا فضاهای Banach فضاهای متریک هستند؟
یک فضای متریک کامل نیازی به یک فضای کاملاً هنجاردار ندارد. یک فضای کاملاً هنجاردار را فضای Banach نیز می نامند! از آنجا که هر هنجاری متریک را القا می کند ، این فضاهای Banach در مجموعه تمام فضاهای متریک کامل قرار دارند.تعریف فضای هیلبرت: با توجه به توضیحات داده شده، «فضای هیلبرت» (Hilbert Space) که با نماد H نشان داده میشود، یک فضای ضرب داخلی روی مجموعه اعداد حقیقی یا مختلط است که نسبت به تابع فاصله ایجاد شده از ضرب داخلی، یک فضای متریک کامل (Complete Metric Space) نیز هست.فضای برداری R3 و ضرب داخلی (Inner Product) بردارها را در نظر بگیرید. فرض کنید Xو Y دو بردار در این فضای سه بُعدی باشند. در این صورت ضرب داخلی یا همان ضرب نقطهای (Dot Product) آنها به صورت زیر نمایش داده میشود.$\large { \displaystyle { \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{pmatrix}} \cdot { \begin{pmatrix} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{pmatrix} } = x_{1} y_{1} + x_{2} y_{2} + x_{3} y_{3} \, }$واضح است که نتیجه ضرب نقطهای دو بردار در چنین فضایی، یک عدد حقیقی است.
در تعریف فضای هیلبرت دو نکته مشخص است. اول آن که این فضا حاصل از یک فضای ضرب داخلی است و دوم فضای هیلبرت یک فضای متریک کامل خواهد بود. در ادامه هر یک از ویژگیها را بیشتر مورد تجزیه و تحلیل قرار میدهیم.فضای ضرب داخلی و فضای هیلبرتفضای هیلبرت، یک فضای ضرب داخلی است. به این ترتیب مشخص است که
H یک فضای برداری مختلط است که ضرب داخلی روی آن برای هر زوج از بردارها دارای خواص زیر است.
ضرب داخلی یک عمل متقارن نسبت به مزدوج مختلط است. به این معنی که رابطه زیر بین دو بردار مختلط x و y و ضرب داخلی بین آنها وجود دارد.$\large { \displaystyle \langle y , x \rangle = { \overline { \langle x,y \rangle } } \, }$رب داخلی نسبت به اولین مولفه، دارای خاصیت خطی است. به این ترتیب برای دو عدد مختلط مثل a و b خواهیم داشت$\large {\displaystyle \langle ax_{1} + bx_{2},y\rangle = a \langle x_{1},y \rangle + b \langle x_{2}, y \rangle \,}$ضرب داخلی هر عنصر در خودش، معین مثبت (Positive Definite) است. به این معنی که رابطه زیر برقرار است$\large { \displaystyle { \begin{cases} \langle x , x \rangle > 0 & x \neq 0 \\ \langle x , x \rangle = 0 & x = 0 \, \end{cases} } }$با در نظر گرفتن این ویژگیها باز هم مشخص است که ضرب داخلی مختلط، یک ترکیب خطی مزدوج نسبت به مولفه دوم نیز هست.$\large { \displaystyle \langle x , ay_{1} + by_{2} \rangle = { \bar {a}} \langle x, y_{1} \rangle + { \bar {b}} \langle x,y_{2} \rangle \, }$باید توجه داشته باشید که فضای هیلبرت در مجموعه اعداد حقیقی یا بردارهای حقیقی نیز به همین شکل و ترتیب تعریف میشود. با این تفاوت که ضرب داخلی بردارها، مقادیر حقیقی و ترکیب خطی از هر دو مولفه اول و دوم است از طرفی تابع فاصله در این فضا بر حسب ضرب داخلی به صورت زیر تعریف میشود.$\large { \displaystyle d(x,y) = \|x – y \| = { \sqrt { \langle x – y ,x – y \rangle }} \,}$واضح است که چنین تابعی در نامساوی مثلثی صدق خواهد کرد در نتیجه، ضرب داخلی به این شکل، یک متر و فضای حاصل یک فضای متریک خواهد بود.
$\large { \displaystyle d( x , z ) \leq d( x , y ) + d( y , z ) \,}$نکته: نامساوی مثلثی (Triangle Inequality) در فضای ضرب برداری ناشی از «نامساوی کوشی- شوارتز» (Cauchy-Schwarz Inequality) است که به صورت زیر بیان میشود. نامساوی کوشی- شوارتز به شرط وجود وابستگی خطی بین x و y حاصل میشود.$\large { \displaystyle { \bigl | } \langle x , y \rangle { \bigr |}\leq \| x\ | \, \|y \| }$به توجه به تعریفی که از تابع فاصله (Distance Function) داریم، میتوان هر فضای ضرب داخلی (Inner Product Space) را یک فضای متریک (Metric Space) نیز در نظر گرفت.حال دو بردار uو v را در فضای هیلبرت H در نظر بگیرید که در آن ⟨u,v⟩=0 است. به این معنی که این دو بردار در این فضا بر یکدیگر عمودند. در این حالت از نماد u⊥v استفاده میکنیم.در حالت عمومیتر زمانی که S یک زیر فضای از H باشد، نماد u⊥S بیانگر آن است که بردار u بر هر برداری از زیرفضای S عمود است.زمانی که دو بردار u و v بر هم عمودند، رابطه زیر برقرار خواهد بود.$\large { \displaystyle \|u + v\|^{2} = \langle u + v , u + v \rangle = \langle u , u \rangle + 2 \, \operatorname {Re} \langle u , v \rangle + \langle v , v \rangle =\|u\|^{2} + \|v\|^{2} }$میتوان به کمک استقرا برای خانوادهای از n بردار به صورت u1,…,un که بر یکدیگر عمودند، رابطه زیر را نوشت$\large { \displaystyle \| u_{1} + \cdots + u_{n}\|^{2}=\|u_{1}\|^{2} + \cdots + \|u_{n}\|^{2}\,.} { \displaystyle \|u_{1 }+ \cdots +u_{n}\|^{2}}$
براساس تعریف، هر فضای هیلبرت، یک «فضای باناخ» (Banach Space) محسوب میشود. به این ترتیب تساوی مربوط به «قانون متوازیالاضلاع» (Parallelogram identity) نیز برقرار است.$\large AC^2 + BD^2 = 2(AB^2 + AD^2 )$به بیان دیگر مجموع مربعات قطرهای یک متوازی الاصلاع با دو برابر مجموع مربعات دو ضلع مجاور برابر است.چنین رابطهای نیز در فضای هیلبرت برقرار خواهد بود. به این ترتیب برای هر دو بردار u و v از فضای هیلبرت داریم:$\large { \displaystyle \|u+v\|^{2} + \|u-v\|^{2}=2\left(\|u\|^{2} + \|v\|^{2} \right)\,.}$و برعکس هر فضای باناخ که در نامساوی متوازیالاضلاع صدق کند، یک فضای هیلبرت خواهد بود و ضرب داخلی به شکل منحصر به فردی براساس نرم یک بردار نشان داده میشود.در این حالت در فضاهای حقیقی هیلبرت رابطه زیر برای محاسبه ضرب داخلی دو بردار براساس اندازه یا نرم آنها نوشته میشود.$\large { \displaystyle \langle u,v \rangle = { \frac {1}{4}} \left( \| u + v \|^{2 } – \|u – v\|^{2} \right)\,.}$و در فضاهای مختلط هیلبرت نیز این تساوی به صورت زیر خواهد بود.$\large { \displaystyle \langle u , v \rangle = { \tfrac {1}{4}} \left( \| u + v \|^{2}- \| u – v \|^{2} + i \| u + iv \|^{2} – i \| u – iv \|^{2}\right) \,.}$
.i hope i helped roham hesami