پارادوکس ریاضی چیست؟

مدیران انجمن: parse, javad123javad

ارسال پست
نمایه کاربر
rohamavation

نام: roham hesami radرهام حسامی راد

محل اقامت: 100 مایلی شمال لندن جاده آیلستون، لستر، لسترشر. LE2

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 3268

سپاس: 5491

جنسیت:

تماس:

پارادوکس ریاضی چیست؟

پست توسط rohamavation »

پارادوکس هندسی چیست؟
پارادوکس ریاضی عبارت است (یا مجموعه ای از گزاره ها) که به نظر می رسد با خود (یا یکدیگر) در تناقض است در حالی که کاملاً منطقی به نظر می رسد.پارادوکس یک نتیجه واقعی است که برای حساسیت های انسانی ما شگفت آور است.تناقضی در یک سیستم منطقی ایجاد می شود که دو گزاره متضاد را درست نشان می دهد (برای مثال ، یک مدل حساب که در آن می توانید 1+1 = 2 و 1+1 ≠ 2 را بدست آورید). تناقضات منطقی در ریاضیات مجاز نیست ، زیرا می توان هر گزاره (درست یا غلط) را از یک تناقض استخراج کرد.مثال پارادوکس اپتیک؟تصور کنید ما دو عدسی داریم ، یکی محدب و دیگری مقعر ، که فاصله آنها به گونه ای است که عدسی محدب قبل از عدسی مقعر باشد. در حال حاضر هر لنز طول فوکوس خود را دارد و هر دو به گونه ای فاصله دارند که کانون عدسی مقعر در سمت راست لنزهای محدب قرار دارد. علاوه بر این ، تصور کنید که یک فلش با طول واقعی (در جهت +y) در کانون عدسی محدب قرار گرفته است.
به نظر می رسد که اشعه هایی که روی عدسی محدب قرار می گیرند ، هدایت می شوند تا به موازات محور نوری ظاهر شوند. سپس به نظر می رسد که تصویر از بی نهایت به عدسی مقعر می آید. اکنون این اشعه ها ، هنگامی که از طریق عدسی مقعر عبور می کنند ، با اشعه هایی که به نظر می رسد از نقطه کانونی عدسی مقعر آمده ، واگرا می شوند.
سوالم این است: بزرگنمایی پیکان توسط سیستم نوری چقدر است؟ به عبارت دیگر ، آیا پیکان می تواند بزرگنمایی کند و اگر چنین است ، چگونه؟من فکر می کنم شما نگران ظاهر بی نهایت در معادلات هستید. به عنوان مثال ، معادله عدسی مقعر با جسم در نقطه کانونی f می دهد:$\frac{1}{f} + \frac{1}{v} = \frac{1}{f}$
و بنابراین $v = infinity$. این شما را متعجب می کند که چگونه بزرگنمایی مرحله دوم را محاسبه کنید. اگر می خواهید این کار را بطور دقیق انجام دهید ، جسم را در $f+δ$ قرار دهید ، جایی که $δ$ فاصله کمی است که در نهایت صفر می کنید. معادله اولین لنز (مقعر) اکنون می دهد:$\frac{1}{f + \delta} + \frac{1}{v} = \frac{1}{f}$بنابراین:$\frac{1}{v} = \frac{1}{f} - \frac{1}{f + \delta}$
تصویر از لنز مقعر تبدیل به شیء عدسی محدب می شود ، بنابراین این عبارت را برای $1/v$در نظر بگیرید و آن را در معادله عدسی محدب به صورت $1/u$قرار دهید:$\frac{1}{f} - \frac{1}{f + \delta} + \frac{1}{v} = \frac{1}{-F}$
جایی که F فاصله کانونی عدسی محدب است. تنظیم مجدد سریع به شما می دهد:$\frac{1}{v} = \frac{1}{f + \delta} - \frac{1}{f} - \frac{1}{F}$و حالا $δ$ را روی صفر قرار دهید و بدست می آوریم:$\frac{1}{v} = - \frac{1}{F}$
بنابراین تصویر یک تصویر مجازی در فاصله F است ، که دقیقاً همان چیزی است که شما انتظار دارید زیرا اشعه های موازی یک تصویر مجازی را در نقطه کانونی تشکیل می دهند. بزرگنمایی فقط فاصله تصویر نهایی (مجازی) تقسیم بر فاصله شی اصلی است ، یعنی $F/f$.
مثال دیگه به عنوان مثال اثبات کنید که برای اعداد مختلط
$1 = \sqrt{1} = \sqrt{(-1)\cdot(-1)} = \sqrt{-1}\sqrt{-1} = i\cdot i = -1$
در اینجا دوباره ، استدلال معتبر نیست زیرا قانون$\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$ برای اعداد مختلط صادق نیست.
"اثبات" فریبنده بصری که از نظر ریاضی اشتباه است.شکلات تخته ای تمام نشدنی!ترفند در اینجا این است که قطعه سمت چپ به عرض سه نوار در پایین هنگامی که به بالا می لغزد رشد می کند. در واقع ، آنچه اتفاق می افتد این است که بین قطعه سه نوار و برش در سمت راست فاصله ایجاد شود. این فاصله سه میله عرض و یک سوم نوار ارتفاع دارد و توضیح می دهد که چگونه با یک قطعه "اضافی" به پایان رسیدیم.تصویر
هنگام کار با مجموعه های متناوب ، تجسم می تواند گمراه کننده باشد. یک مثال کلاسیک است
$\begin{align*}
\ln 2=&\frac11-\frac12+\frac13-\frac14+\;\frac15-\;\frac16\;+\ldots,\\
\frac{\ln 2}{2}=&\frac12-\frac14+\frac16-\frac18+\frac1{10}-\frac1{12}+\ldots
\end{align*}$
با افزودن دو سری ، یکی پیدا می شود
$\begin{align*}\frac32\ln 2=&\left(\frac11+\frac13+\frac15+\ldots\right)-2\left(\frac14+\frac18+\frac1{12}+\ldots\right)=\\
=&\frac11-\frac12+\frac13-\frac14+\;\frac15-\;\frac16\;+\ldots=\\
=&\ln2.
\end{align*}$تصویر
بگذارید ABCABC یک مثلث باشد. نیمساز زاویه \ زاویه $A∠A $و نیمه عمود $$BC رسم کنید. توجه کنید که اگر خط یکسانی داشته باشند ، \ مثلث $△ ABC$ متساوی الساقین است. اگر آنها یک خط نباشند ، در نقطه ای قطع می شوند. بیایید آن را D بنامیم.
اجازه دهید E نقطه میانی BC باشد. F و G به ترتیب پای عمود از D تا AB و AC هستند. به B ، DB ، D و C ، DC ، D بپیوندید.
توجه کنید که مثلث $△BDE $ و $△CDE$ متقارن [SAS] هستند ، زیرا $BE=CE, DE=DE$ و $∠DEB=∠DEC$ از آنجا که برابر با زاویه قائمه
بنابراین ، اکنون می توانیم$BD=CD(1).$را بنویسیم.
مثلث های ADF و ADG نیز [AAS] به صورت $\angle DFA=\angle DGA=90^\circ
$,$∠FAD=∠GAD$به یاد داشته باشید که AD نیمساز زاویه $∠BAC]$و AD = AD بود.
از آن می توانیم DF = DG(2) را بنویسیم
و AF = AG (3).
حال به سراغ مثلث های $DBF$ و $DCG$ می رویم.
از (1) و (2) و از این جهت که زاویه $∠DFB$و $∠DGC$زاویه ای قائمه هستند ، می توان نتیجه گرفت که مثلث های $DBF$ و $DCG $نیز متجانس هستند.
و این بدان معناست که 4$FB=GC$.
حالا (3) و (4) را با هم جمع کنید و ببینید چه اتفاقی می افتد.
$AF+FB = AG+GC$پس $⇒AB=AC$
یعنی مثلث $△ ABC$ متساوی الساقین است! چطور اتفاق افتاد؟ می توانید از استدلال های مشابه برای اثبات$BC=AC$ استفاده کنید و ثابت کنید که همه مثلث ها در واقع متساوی الاضلاع هستند!
اکنون این سوالم کمی بیش از حد مطرح می شود: چه مشکلی پیش آمد؟ به مراحل بازگردید و سعی کنید آن را بفهمید. اگر نمی خواهید راه حل را بدون توجه به آن بدانید ، به خواندن ادامه ندهید.
من معتقدم که شما مدتی در مورد این استدلال فکر کرده اید. آیا متوجه آن شده اید؟ اگر صحبت مکرر در مورداستدلال یا سفسطه غلط یک چیز را به ما آموخت ، آن این است: ترسیم یک تصویر به اندازه کافی دقیق همیشه کمک می کند. و این توصیه تنها به سفسطه هایی مانند این محدود نمی شود. می توانید از این روش حتی در حل مسائل هندسی معمولی استفاده کنید. یک رقم دقیق به شما کمک می کند تا حدس های خوب و منطقی بزنید [برای مثال ، "خطوط مطمئناً شبیه به هم هستند ، بیایید ثابت کنیم! و آن زاویه شبیه یک زاویه راست است. آیا می توانم آن را اثبات کنم؟ ...]. بنابراین ، بیایید به تصویر دقیق تری نگاه کنید:
این در واقع منطقی است. نقطه D در واقع خارج از مثلث است. ما هرگز ثابت نکردیم که D کجاست. ما فقط [به اشتباه] فرض کردیم که داخل آن است. این همچنین به ما می گوید که همه چیز تا آخرین مرحله کاملاً صحیح بوده است. طول ها برابر بود. مثلث ها هم متجانس بودند. حتی $AF+FB=AG+GC$ درست بود. اما انتقال به مرحله نهایی چنین نبود. ما یک فرض نادرست را مطرح کردیم که $AG+GC=AC. If AB>AC, AC=AG-GC$ ، نه $AG+GC$. این همان چیزی است که ما را وادار به نتیجه گیری اشتباه کرد.تصویر
I hope I help you understand the question. Roham Hesami smile072 smile261 smile260
تصویر

ارسال پست