تفاوت روش PDE و ODE در حل معادلات

مدیران انجمن: javad123javad, parse

ارسال پست
نمایه کاربر
rohamjpl

نام: Roham Hesami

محل اقامت: Tehran, Qeytariyeh

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 847

سپاس: 524

جنسیت:

تماس:

تفاوت روش PDE و ODE در حل معادلات

پست توسط rohamjpl »

ابتدا ببینیم معادله دیفرانسیل چیه معادله دیفرانسیل نوعی معادله ریاضی محض است که بیانگر یک تابع مجهول(محصول محض) از یک یا چند متغیر مستقل و مشتق هایی با مرتبه‌های مختلف(ضریب دیفرانسیلی متغیر) نسبت به متغیرهای مستقل است.خوب ما دو نوع داریم معادلات دیفرانسیل معمولی: در این نوع معادلات تابع پاسخ دارای تنها یک متغیر مستقل است.
معادلات دیفرانسیل با مشتقات پاره‌ای: در این نوع معادلات تابع پاسخ دارای چندین متغیر مستقل می‌باشد.
معادله شامل متغیر مستقل x، تابع (y=f(x و مشتقات f را یک معادله دیفرانسیل عادی می‌نامند. معادله‌ای پدید آمده از یک تابع مجهول با بیش از یک متغیر مستقل همراه با مشتقات جزئی آن را معادله دیفرانسیل جزئی می‌نامند.
مرتبه: عبارت است از مرتبه مشتقی که بالاترین مرتبه را در معادله دارد.
درجه: پس از حذف مخرج کسرها و رادیکال‌های مربوط به متغیر وابسته و مشتقاتش، بالاترین توان مشتقی که بالاترین مرتبه را در معادله دارد، درجه معادله است.
معمولاً یک معادله دیفرانسیل مرتبه n پاسخی شامل n ثابت دلخواه دارد. این پاسخ را پاسخ عمومی می‌نامند.
ساختار معادلات دیفرانسیل، متفاوت است و هر ساختار، ویژگی‌های متفاوتی دارد:
معادلات مرتبه اول از درجه اول با متغیرهای جدایی‌پذیر؛
همگن؛
خطی برنولی با دیفرانسیل‌های کامل؛
معادلات مرتبه دوم؛
معادلات خطی با ضرایب ثابت
همگن
ناهمگن
روش‌های تقریب‌زدن
سری‌های توانی
روش‌های عددی
معادله دیفرانسیل مرتبه اول از درجه اول را همواره می‌توان به صورت زیر در آورد که در آن M و N معرف توابعی از x و y هستند.
$Mdx + Ndy = 0$
در معادله بالا هرگاه M فقط تابعی از x و N فقط تابعی از y باشد. به صورت معادله جدایی پذیر مرتبه اول است. در این صورت با انتگرال‌گیری از هر جمله پاسخ بدست می‌آید. یعنی:$M(x) dx+ ∫N(y) dy = C∫$
معادله دیفرانسیل معمولی یک معادله دیفرانسیل است که فقط به یک متغیر مستقل بستگی دارد. معادله دیفرانسیل جزئی معادله دیفرانسیل است که در آن متغیر وابسته به دو یا چند متغیر مستقل وابسته است یا اینطور بگم یک معادله دیفرانسیل معمولی (ODE) تنها با یک متغیر تفاوت دارد ، معادلات دیفرانسیل جزئی (PDE) با توجه به چندین متغیر مستقل دارای دیفرانسیل است.تفاوت بین حل یک ODE و یک مشکل انتگرال چیست؟
انتگرال عمومی ترین راه حل را ارائه می دهد ، یعنی خانواده منحنی که معادله دیفرانسیل معینی را برآورده می کند. با این حال ، راه حل معادله دیفرانسیل ممکن است متفاوت از شرایط مرزی باشد تا یک راه حل منحصر به فرد پیدا شودنکته در معادلات PDE، مشتقات را با علامت ∂ و در ODE، با d نشان می‌دهند.
.خوب روشهای متفاوتی هست روشهای حل معادلات دیفرانسیل یا روش اویلر.روش یکپارچه ساز نمایی مرتبه اول. و..
تفاوت اساسی بین معادلات دیفرانسیل معمولی و معادلات دیفرانسیل جزئی چیست؟هر دو معادلات دیفرانسیل هستند (معادلاتی که مشتقات را شامل می شوند). ODE ها مشتقات را فقط در یک متغیر شامل می شوند ، در حالی که PDE ها مشتقات را در چند متغیر شامل می شوند. بنابراین همه ODE ها را می توان به عنوان PDE در نظر گرفت.
به طور کلی درک راه حل های PDE نسبت به ODE ها دشوارتر است. اساساً هر قضیه بزرگ در مورد ODE ها در مورد PDE ها صدق نمی کند. این بیش از دلیل اصلی وجود متغیرهای بیشتر است. برای یک ODE ، ما اغلب می توانیم متغیر مستقل را به عنوان یک متغیر زمان در نظر بگیریم ، به طوری که ODE ها حرکت یا جریان یک جسم را در زمان کنترل می کنند. ایده ODE های حاکم بر "حرکت" به ما امکان می دهد از نتایج ریاضی زیادی استفاده کنیم که مشابه آن در فیزیک است (به عنوان مثال رفتار تجربی در مورد قانون نیوتن) و به ما این امکان را می دهد که راه حل ها را بسیار دقیقتر درک کنیم.
من اینجا مثال ساده میگم $\frac{dy}{dx}+2y=7,\quad y(0)=0 .$خوب اینطور مینویسم $dy+2ydx=7dx$تفکیک متغیرها می دهد
$\int\frac{dy}{7-2y} =\int dx +C.$
برای دیدن آن فقط اینو را به صورت زیر بنویسید$\frac{dy}{dx} = 7-2y.$
اضافه:$-2 y = e^{-2x+C}-7 \implies y=\frac{7}{2}-e^{C}e^{-2x} \implies y(x)=\frac{7}{2}-A e^{-2x}.$
برای یافتن ثابت A از شرط اولیه استفاده کنید.
کمی سختر حل معادله دیفرانسیل با دو متغیرنحوه حل معادله دیفرانسیل شکل زیر:
$\dfrac{ax}{\dfrac{\partial{f(x,y)}}{\partial x}} + \dfrac{by}{\dfrac{\partial{f(x,y)}}{\partial y}}=-1$
جایی که ، $ax∂f (x، y) ∂x+by∂f (x، y) ∂y = −1 $
این یک PDE غیر خطی است: شرط داده شده برای تعیین یک راه حل منحصر به فرد کافی نیست.
به عنوان مثال ، روش جداسازی متغیرها منجر به موارد زیر می شود:
$f(x,y)=\frac{a(x^2-x_0^2)}{2\lambda}-\frac{b(y^2-y_0^2)}{2(\lambda+1)}+c$
که خانواده ای از راه حل های PDE است که با شرایط داده شده مطابقت دارد.
این برای هر λ ثابت است ، به جز 0 و −1. بنابراین ، آنها بی نهایت راه حل هستند.
توجه: راه حل $\frac a2(x^2-x_0^2)-\frac b{\color{red}{4}}(y^2-y_0^2)+c$که توسط من ذکر شده است فقط یک راه حل خاصی در مورد λ = 1 است.بذارین من توضیح بیشتر بدم با استفاده از تعریف تمایز ضمنی برای f (x، y) می توان نوشت
$\frac{dy}{dx}=-\frac{f_x}{f_y}$
و از معادله من:$\frac{a x}{f_x}=-\frac{b y+f_y}{f_y}$
از این رو:
$\begin{align}
\frac{dy}{dx}=\frac{a x}{b y+f_y}&\implies\int a x\,dx=\int(b y+f_y)dy\\
&\implies\dfrac 12 ax^2+C=\dfrac 12 by^2+f(x,y)\\
&\implies f(x,y)=\dfrac 12 ax^2-\dfrac 12 by^2+C
\end{align}$
شرایط مرزی$f(x_0,y_0)=c$ است که به معنی است
$\dfrac 12 (ax_0^2-by_0^2)+C=c\implies C=c-\dfrac 12 (ax_0^2-by_0^2)$
و در نهایت
$f(x,y)=\dfrac 12 a(x^2-x_0^2)-\dfrac 12 b(y^2-y_0^2)+c$
اما به نظر می رسد پاسخ باید $\frac a2(x^2-x_0^2)-\frac b{\color{red}{4}}(y^2-y_0^2)+c$ باشد. نمی دانم چرا با چنین چیزی به پایان رسیدم.واقعا من گیج شدم/
خوب یکی دیگه $(2xy^2 + \cos x) \text{d}x + (2x^2 y + \sin y)\text{d}y = 0$خوب ابتدا این از شکل $M(x,y)\text{d}x+N(x,y) \text{d}y$یعنی $M(x,y)=2xy^2+\cos (x),~N(x,y)=2x^2y+\sin (y)$خوب من میگم معادله دقیق و درسته چون و معادله دقیق است اگر و فقط اگر $\displaystyle\frac {\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.$
حالا بیایید بررسی کنیم که آیا معادله دیفرانسیل واقعاً دقیق است یا خیر.$\displaystyle\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(2xy^{2}+\cos x\right)=4xy=\frac{\partial}{\partial x}\left(2x^{2}y+\sin y\right)=\frac{dN}{\partial x}$بنابراین معادله دقیق است.
راه حل کلی به صورت$f\left(x,y\right)=C$ است و توسط آن داده شده است
$f\left(x,y\right)=\int M(x,y)\text{d}x =\int(2xy^{2}+\cos x)\text{d}x=x^{2}y^{2}+\sin(x)+ g(y).$
برای یافتن و تشکیل دیفرانسیل g (y) f (x، y) را تا حدی نسبت به $'y'$ متمایز کرده و با N (x، y) مقایسه کنید.
یعنی:$f_{y}\left(x,y\right)=\dfrac{\partial}{dy}\left(x^{2}y^{2}+\sin x+g(y)\right)=2x^{2}y+g'\left(y\right).$ در مقایسه با $N\left(x,y\right)$خوب من ابتدا $g'\left(y\right)=\sin y,$را پیدا می کنیم ، که به این معنی است که $g\left(y\right)=-\cos y+K$
بنابراین ، راه حل کلی$x^2y^2+\sin x-\cos y=C.\quad\quad\Box$ است.
اگر $M(x,y)\text{d}x+N(x,y)\text{d}y=0$دقیق نباشد چه اتفاقی می افتد؟ سپس یک تابع u (x، y) وجود دارد که:
$[u(x,y)M(x,y)]\text{d}x+[u(x,y)N(x,y)]\text{d}y=0$
دقیق است تابع u را عامل یکپارچه می نامند. علاوه بر این ، اگر
$\frac{M_y-N_x}{N}$
فقط تابع x است ، مثلاً v (x) ، سپس $u(x,y)=u(x)=e^{\int v(x)\text{d}x}$
از طرف دیگر اگر
$\frac{M_y-N_x}{-M}$
فقط تابع y است ، مثلاً w (y) ، سپس$u(x,y)=u(y)=e^{\int w(y)\text{d}y}$

به عنوان مثال ،$(3xy-y^2)\text{d}x+(x^2-xy)\text{d}y=0$را در نظر بگیرید. واضح است که این دقیق نیست. اما $\dfrac{M_y-N_x}{N}=\dfrac{1}{x}=v(x)$ ، فقط یک تابع x است. بنابراین عامل یکپارچه سازی ما می شود
$u(x)=e^{\int \frac{1}{x}\text{d}x}=e^{\ln |x|}=|x|.$
اکنون دقیق است$(3x^2y-xy^2)\text{d}x+(x^3-x^2y)\text{d}y=0$
ما اکنون مانند قبل برای یافتن راه حل کلی اقدام می کنیم..I hope I help you understand the question. Roham Hesami smile072 smile261 smile260
تصویر

ارسال پست