صفحه 1 از 1

فیثاغورث "پارادوکس" (مثلث قائم الزاویه)

ارسال شده: شنبه ۱۴۰۰/۹/۱۳ - ۰۸:۱۰
توسط rohamjpl
مانند شکل (بالا سمت چپ) یک مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین را در نظر بگیرید. طول هیپوتانوز آن c است. این شکل هر دو پایه مثلث را متمایز می کند، با این حال، از این به بعد فرض می کنیم که یک مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین است، b=a. حال، بیایید یک پله بر روی هیپوتنوس با پله های ارتفاع a و عرض $\frac{a}{n}$ بسازیم. اگر n=1 تصویر شکل (مرکز بالا) را داریم که در آن d=a و e=a است. در اینجا طول پله$d+e=2a$ است.تصویر
علامت گذاری: من به هر مرحله از پله به عنوان $s_k$ اشاره می کنم
برای برخی از$k\in\mathbb N:0<k\leq n$
اگر به همین رویه ادامه دهیم، آن را برای مقداری $n\in\mathbb N$ خواهیم داشت
که طول ℓ(n)پله این است:
$\ell(n)=\sum\limits_{k=1}^n \text{lenght}(s_k) = \sum\limits_{k=1}^n2\frac{a}{n}=2a.$
اگر پله‌ای با پله‌های بی‌نهایت کوچک می‌سازیم، چرا در نهایت به یک خط مستقیم نمی‌رسیم؟ زیرا اگر این کار را می کردیم، می گفتیم که c=2a
و با قضیه فیثاغورث می دانیم که $c=\sqrt{2}a$. من قدردان نظرات شما هستم..I hope I help you understand the question. Roham Hesami smile072 smile261 smile260 رهام حسامی ترم پنجم مهندسی هوافضا

Re: فیثاغورث "پارادوکس" (مثلث قائم الزاویه).

ارسال شده: شنبه ۱۴۰۰/۹/۱۳ - ۱۰:۰۴
توسط M_J1364@yahoo.com
یه خرده اگه فکر کنی متوجه می شی که پله ای که توی دو راستای عمود بر هم، ابعادی از مرتبه ی دیفرانسیلی یکسان داره، تقریب خوبی برای یه خط نیست.

Re: فیثاغورث "پارادوکس" (مثلث قائم الزاویه)

ارسال شده: شنبه ۱۴۰۰/۹/۱۳ - ۲۲:۰۱
توسط assarzadeh
ضمن تأیید نظر آقای جوانشیری، موقعی می‌تونیم به جای محاسبه طول وتر هر یک از مثلث‌های مربوط به هر پله، از مجموع طول دو ساق اون به عنوان تقریب استفاده کنیم که با کوچک شدن مثلث‌ها (یعنی با افزایش $n$) نسبت مجموع طول دو ساق (تقریبی که برای طول وتر در نظر گرفتیم) به طول وتر به عدد $1$ میل کنه. اما اگه دقت کنیم می‌بینیم که این نسبت به ازای هر $n$ همواره ثابت و برابر با $\sqrt 2$ باقی می‌مونه. در نتیجه مجموع تقریب‌ها هم همواره $\sqrt 2$ برابر وتر مثلث بزرگ خواهد بود.
اگه تقریب زدن‌ها طوری بود که با افزایش تعداد پله‌ها نسبت مقادیری که به عنوان تقریبی از مقدار مورد نظر لحاظ می‌کردیم، به مقدار دقیق مورد نظر (طول وتر هر پله)، به $1$ میل می‌کرد، اون‌وقت با میل کردن $n$ به بینهایت، جمع کل تقریب‌ها هم به مقدار دقیق مورد نظر یعنی طول وتر مثلث بزرگ میل می‌کرد.

Re: فیثاغورث "پارادوکس" (مثلث قائم الزاویه)

ارسال شده: یک‌شنبه ۱۴۰۰/۹/۱۴ - ۱۲:۱۹
توسط You-See
برای این که تقریب بگیریم باید در هر نقطه مشتق پذیری داشته باشیم، در این سیستم بعد از میل کردن، در هیچ نقطه ای مشتق پذیری نداریم.

Re: فیثاغورث "پارادوکس" (مثلث قائم الزاویه)

ارسال شده: یک‌شنبه ۱۴۰۰/۹/۱۴ - ۱۶:۰۸
توسط Player
همیشه وقتی رابطه ای می نویسید، آن را به ازای مقادیر کوچک تست کنید تا مطمئن شوید رابطه ای که نوشته اید درست باشد. سامیشن، حتی به ازای n = 2 هم پاسخ درستی نمی دهد. بنابرین رابطه تان از پایه مشکل دارد. اما کاملا امکان بدست آوردن وتر مثلث از روی مثلث های دیفرانسیلی کوچک وجود دارد. کافیست با این رابطه شروع کنید که در آن ds وتر، و dx و dy اضلاع مثلث دیفرانسیلی هستند:

$$ds = \sqrt{dx^2 + dy^2} = \sqrt{1 + (dy/dx)^2}dx = \sqrt{1 + tan(t)^2}dx = dx/cos(t)$$

که تی برابر 45 درجه است، چون مثلث ها را متساوی الساقین گرفتید. با انتگرال گیری از دو طرف، یعنی جمع زدن وتر مثلث های کوچک برای ساخت مثلث بزرگ به رابطه $s = x\sqrt{2}$ میرسیم که باید هم میرسیدیم.

Re: فیثاغورث "پارادوکس" (مثلث قائم الزاویه)

ارسال شده: دوشنبه ۱۴۰۰/۹/۱۵ - ۰۰:۲۰
توسط M_J1364@yahoo.com
You-See نوشته شده:
یک‌شنبه ۱۴۰۰/۹/۱۴ - ۱۲:۱۹
برای این که تقریب بگیریم باید در هر نقطه مشتق پذیری داشته باشیم، در این سیستم بعد از میل کردن، در هیچ نقطه ای مشتق پذیری نداریم.
اینکه در هیچ نقطه ای مشتق نداریم درسته (یا به عبارتی در هر نقطه مشتق چپ و راست نابرابره) ولی مطمئن نیستم که مشتق داشتن توی هر نقطه دقیقاً چطوری تقریب گرفتن رو مجاز می دونه. در هر حال حس می کنم نکته ای که گفتی جالبه و جای فکر داره. منو یاد کارای قدیمیم توی ریاضی انداخت! یادمه نوعی از رسم الخط برای تعریف توابع اختراع کرده بودم که می تونست برخی از توابع با رفتارای عجیب رو توصیف کنه. مثل توابعی که توی هر نقطه ی دلخواه از دامنه ش، پیوستگی راست داشت ولی پیوستگی چپ نداشت!

Re: فیثاغورث "پارادوکس" (مثلث قائم الزاویه)

ارسال شده: دوشنبه ۱۴۰۰/۹/۱۵ - ۰۲:۵۶
توسط You-See
اتفاقا یک کلیپ در همین رابطه در یوتیوب هست و دقیقا هم همین مورد یکی از مواردیه که داره بررسی می کنه، اگه برات جالبه بگردم بذارم ببینی

Re: فیثاغورث "پارادوکس" (مثلث قائم الزاویه)

ارسال شده: دوشنبه ۱۴۰۰/۹/۱۵ - ۰۹:۵۹
توسط M_J1364@yahoo.com
You-See نوشته شده:
دوشنبه ۱۴۰۰/۹/۱۵ - ۰۲:۵۶
اتفاقا یک کلیپ در همین رابطه در یوتیوب هست و دقیقا هم همین مورد یکی از مواردیه که داره بررسی می کنه، اگه برات جالبه بگردم بذارم ببینی
دستت درد نکنه یوسف جان. بی زحمت بذار ببینیم.

Re: فیثاغورث "پارادوکس" (مثلث قائم الزاویه)

ارسال شده: سه‌شنبه ۱۴۰۰/۹/۱۶ - ۰۰:۵۲
توسط You-See
یک مقدار اشتباه کردم، درستش اینه که با میل کردن به سمت بینهایت، باید شکل یک مقداری به شکل اصلی نزدیک تر بشه، حالا با خم تر شدن زوایا، یا هرچیز دیگه
به بیان دیگه این که مشتقش باید در هر نقطه به مشتق خود شکل نزدیک تر بشه، نه این که اصلا فرقی نکنه یا دورتر بشه
این رو ببین:

Re: فیثاغورث "پارادوکس" (مثلث قائم الزاویه)

ارسال شده: سه‌شنبه ۱۴۰۰/۹/۱۶ - ۱۲:۲۳
توسط M_J1364@yahoo.com
جالب بود ممنون. اینکه جهتِ حرکت باید میل کنه به جهتِ حرک اصلی که آخرای کلیپ بحثش شد تقریباً مؤیّد حرف خودته. فقط ما توی همون حالتی که دایره رو داریم با چند ضلعی هم تقریب می زنیم باز توی هر نقطه دوتا مشتقِ چپ و راستِ نابرابر داریم (یا به عبارتی توی خودِ نقطه مشتق نداریم) ولی خاصیت تقریب زنی با چند ضلعی اینه که اگه n ضلعیمون به اندازه ی کافی اضلاعش زیاد باشه، توی هر نقطه، همونطور که خودتم اشاره کردی، مشتق چپ و راست به هم میل می کنن.

Re: فیثاغورث "پارادوکس" (مثلث قائم الزاویه).

ارسال شده: جمعه ۱۴۰۰/۹/۱۹ - ۰۹:۱۳
توسط rohamjpl
ممنون از جوابتون .اره درسته به این قضیه نگاه نکردم .اخه یکی از همکلاسی هایم تو دانشگاه بهم گفت و منم اینو بهش گفتم و اصلا به حرف شما فکر نکردم .من فکر می کنم من ممکن است به مثال زیگزاگ خود به روش اشتباه خودم نگاه کنم . به جای نگاه کردن به طول زیگزاگ، بیایید به ناحیه زیر آن نگاه کنیم: تصویر
بگویید زیگزاگ از n تشکیل شده است
مستطیل مساحت کادر k ام از سمت راست به صورت زیر خواهد بود:
$\frac{k-1}{n}\cdot\frac{1}{n}=\frac{k-1}{n^2}$
بنابراین، مساحت زیر زیگزاگ را می توان به صورت زیر نوشت:
$\sum_{k=1}^{n}\frac{k-1}{n^2}=\frac{n(n-1)}{2n^2}$
توجه کنید وقتی n چه اتفاقی می افتد
واقعاً بزرگ می شود؟ -1 ناچیز می شود، بنابراین منطقه به صورت زیر می شود:
$\frac{n^2}{2n^2}=\frac{1}{2}$
این مساحت مثلث است. حالا، شرط می بندم که فکر می کنید این اشتباه است، زیرا «نمی توانید 1- را نادیده بگیرید.
اینجاست که مفهوم محدودیت وارد می شود. کاری که می خواهیم انجام دهیم محاسبه موارد زیر است:
$\lim_{n \to \infty} \frac{n(n-1)}{2n^2}$
بیایید این مقدار را M بنامیم ما M را تعریف می کنیم مقداری باشد که موارد زیر برای آن درست است:
برای هر ϵ ، یک N وجود دارد به طوری که n>N دلالت بر $\displaystyle \left|\frac{n(n-1)}{2n^2}-M\right|<\epsilon$دارد
مکث کنید و فکر کنید که چرا این حد را به این شکل تعریف می کنیم.
می خواهیم نشان دهیم که $\displaystyle M=\frac{1}{2}$
. ما می توانیم این کار را با تنظیم N برابر با $\displaystyle \frac{1}{2 \epsilon}$ انجام دهیم:
$\left|\frac{n(n-1)}{2n^2}-\frac{1}{2}\right|=\frac{1}{2n}<\frac{1}{2\cdot\frac{1}{2\epsilon}}=\epsilon$
بنابراین، ما می گوییم که یک n به بی نهایت نزدیک می شود، مساحت زیر زیگزاگ به مساحت مثلث نزدیک می شود.
اگر طول زیگزاگ شما را آزار می دهد، اجازه دهید سعی کنم توضیح دهم: هیچکس طول قطر را به این صورت تقریبی نمی کند. در حساب دیفرانسیل و انتگرال از چیز دیگری استفاده می کنیم:
$\int_a^b \sqrt{1+\left[f'(x)\right]^2}dx$در این حالت a=0
، b=1 و f(x)=−x+1. اگر این را محاسبه کنید، 2–√ دریافت می کنید
فرض کنید من به دنبال تابعی هستم که کوتاه ترین فاصله بین نقاط x و y را نشان می دهد و نمی دانستم پاسخ $\sqrt{x^2+y^2} $ است.
(همیشه از مبدا فاصله بگیرید (0,0) )این یک فرمول فاصله است و به همین ترتیب دارای ویژگی هایی است که D(x,y)≥0
$D(x,y)=0⟹x=y$
$D(x,y)≤D(x,z)+D(z,y)$
"پله" نیز یک فرمول فاصله است، یعنی |x|+|y|
این یک مشکل در حساب تغییرات است: یعنی من یک کلاس از توابع C دارم و می‌خواهم حداقل آن کلاس را پیدا کنم. جزئیات زیادی وجود دارد که در اینجا به نحوه کارکرد آن پرداخته می شود، اما حساب تغییرات مقدمه خوبی است برای اینکه چرا کوتاهترین فاصله بین دو نقطه یک خط مستقیم است، ما می‌توانیم بحث خود را در اینجا ساده کنیم، فقط با در نظر گرفتن کلاس فرمول فاصله $ \leq (|x|^{p}+|y|^{p})^{1/p} $وشرط $p≥1,x>0,y>0$
که در آن p=1 راه پله و p=2 است.فیثاغورث است.مقدار p چقدر است
که این را به حداقل می رساند؟ مشتق را بگیرید.بعنی $ \frac{d}{dx}[ (|x|^{p}+|y|^{p})^{1/p}]$
وقتی سمت راست صفر باشد، این یک صفر است. بدون از دست دادن کلیت، x=y=e را تنظیم می کنیم
$ (((y^p+x^p)^(1/p))(y^pln(y)+x^pln(x)))/(y^p+x^p)p−(ln(y^p+x^p))/(p^2)
$
و بسیاری از بهم ریختگی ها را پاک کنیدو $1/p−2/p^2=0$
بنابراین p=2 ، و فیثاغورث یک بار دیگر نشان داده می شود که کوتاه ترین فاصله است.
اما اگر یک قید را اضافه کنیم که برای هر نقطه در امتداد منحنی f
بین مبدا و x,y، یا $∂f/∂x=0$ یا $∂f/∂y=0$؟ حل تحلیلی این غیر ممکن است،.I hope I help you understand the question. Roham Hesami smile072 smile261 smile260 رهام حسامی ترم پنجم مهندسی هوافضا
.

Re: فیثاغورث "پارادوکس" (مثلث قائم الزاویه)

ارسال شده: جمعه ۱۴۰۰/۹/۱۹ - ۱۵:۰۴
توسط Player
زمانی که با مساحت سر و کار دارید، اون بخش های خالی مثلثی شکل بالای مستطیل ها که با مستطیل های دیفرانسیلی پر نشده اند، در مساحت کل مثلث بزرگ سهم ناچیزی خواهند داشت. در همین شکلی که گذاشته اید، k مستطیل تقریبا 90% از مساحت شکل را پوشش داده اند. برای همین زمانی که n به بینهایت میل می کند به جواب درست می رسید. اما زمانی که وتر یک مثلث را محاسبه می کنید، به جای مستطیل های دیفرانسیلی باید از خطوط دیفرانسیلی استفاده کنید تا به نتیجه درست برسید. رادیکال منفی دویی که نوشته اید هم غلط است، دقت کنید که مشتق تابع به توان دو می رسد بنابرین رادیکال دو دارید نه رادیکال منفی دو.