دلتای کرونکرKronecker deltaو تابع هویت(Identity Function

مدیران انجمن: parse, javad123javad

ارسال پست
نمایه کاربر
rohamavation

نام: roham hesami radرهام حسامی راد

محل اقامت: 100 مایلی شمال لندن جاده آیلستون، لستر، لسترشر. LE2

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 3222

سپاس: 5492

جنسیت:

تماس:

دلتای کرونکرKronecker deltaو تابع هویت(Identity Function

پست توسط rohamavation »

تابعی از دو متغیر است که زمانی که متغیرها دارای مقادیر یکسانی هستند 1 و زمانی که مقادیر متفاوتی دارند 0 است.فاکتور کرونکر-دلتا یک "ردیابی" انجام می دهد، به معنای جمع کردن اجزای مورب. به یاد داشته باشید که $\delta_{ij}=0$اگر i≠j باشد. بنابراین، برای هر تابع f(i،j)، شما باید داشته باشید
$\begin{equation}
\sum_{i,j} \delta_{ij} f(i,j) = \sum_{i=j} f(i,j) = \sum_i f(i,i)
\end{equation}$
پس در مثال شما،
$\begin{equation}
\sum_{i,j} (1+\delta_{ij}) M_{ij} = \sum_{i,j} M_{ij} + \sum_i M_{ii}
\end{equation}$
جمله اول مجموع هر عنصر در ماتریس است. جمله دوم مجموع عناصر روی قطر است
دلتای کرونکر تابعی است با دامنه مجموعه جفت‌ها (از هر مجموعه شاخصی که باشد) و مجموعه {0،1} را هم دامنه دارد.
ماتریس هویت n×n که به عنوان یک تابع تفسیر می شود، تابعی است با n-tuples دامنه و codomain n-tuples.
آنها یکسان نیستند. آنها یک دامنه ندارند، آنها یک codomain یکسان ندارند.
شاید منظور شما این بود که:
بگوییم که مجموعه شاخص ها$\{1,2,\ldots,k\}$ است. سپس ماتریس A که ورودی (i,j) آن δij است دقیقاً ماتریس هویت k×k است. چرا از ماتریس برای نمایش تابع دلتای کرونکر استفاده نمی کنیم؟
پاسخ این است: به همان دلیلی که ما از نمادهایی مانند f(x) و فرمول ها در هنگام برخورد با توابع به جای استفاده از نمودارهای آنها استفاده می کنیم. استفاده از نام تابع و فرمول آن بسیار کشسان تر و مفیدتر از تلاش برای استفاده دائمی از "گراف" است، چیزی که آن ماتریس با آن مطابقت دارد.
اضافه. ممکن است ارزش افزودن داشته باشد که من کتابهایی را دیده ام که مسیر دیگری را دنبال می کنند: آنها ماتریس هویت n×n را با گفتن اینکه ورودی (i,j) آن δij است تعریف می کنند. یعنی ماتریس هویت را به عنوان "گراف" تابع دلتای کرونکر در مجموعه شاخص تعریف می کنند.تابع دلتای کرونکر
«تابع دلتای کرونکر» (Kronecker Delta Function) یک تابع دو متغیره است که معمولا براساس مقادیر صحیح نامنفی محاسبه می‌شود. این تابع در صورت برابری دو متغیر آن، برابر با یک و در غیر اینصورت مقدار صفر را خواهد داشت.
$\large \delta _{{ij}} = {\begin{cases} 0 & {\text{if }} i \neq j , \\ 1 & {\text{if }} i = j \end{cases}}$
نکته: گاهی تابع دلتای کرونکر را به صورت «براکت ایروسن» (Iverson Brackets) نشان می‌دهند.$\large {\displaystyle \delta _{ij} = [i = j] \,}$برای مثال مقدار دلتای کرونکر برای $\delta_{1 \ 2}$ برابر با صفر ولی برای $\delta_{ 3\ 3}$δ3 3 برابر با ۱ است.
البته شرط صحیح (نامنفی) بودن متغیرهای این تابع می‌تواند برداشته شده و برای اعداد گویا و منفی نیز تعریف قبلی به کار برده شود. به این ترتیب رابطه‌های زیر را خواهیم داشت.$\large {\displaystyle {\begin{aligned}\delta_{(-1)(-3)}& = 0 & \qquad \delta _{(- 2)(- 2)} & = 1 \\ \delta_{\left({\frac {1}{2}}\right) \left(-{\frac{3}{2}} \right)}& = 0 & \qquad \delta_{\left({ \frac {5}{3}} \right) \left( {\frac {5}{3}} \right) } & = 1 \end{aligned}}}$
نکته: متاسفانه تابع دلتای کرونکر برای «اعداد مختلط» (Complex Numbers) به کار برده نمی‌شود.
یک شیوه دیگر نیز برای نمایش تابع دلتای کرونکر وجود دارد که از یک پارامتر بهره می‌برد. به این ترتیب تابع دلتای کرونکر را به صورت δi نشان داده و در حقیقت پارامتر j را برابر با صفر در نظر می‌گیرند. در این حال تابع دلتای کرونکر به شکل زیر حاصل می‌شود.
$\large\delta_{i} = \begin{cases} 0, & \mbox{if } i \ne 0 \\ 1, & \mbox{if } i=0 \end{cases}$
تابع دلتای کرونکر در بسیاری از موارد و حوزه‌های مربوط به فیزیک و مهندسی نیز ظاهر می‌شود. برای مثال، در جبر خطی (Linear Algebra)، می‌توان «ماتریس یکه» یا «ماتریس همانی» (Identity Matrix) که یک ماتریس مربعی n×n است را برحسب تابع دلتای کرونکر نمایش داد.$\large {\displaystyle I_{ij}=\delta _{ij}}, \;\;i , j = 1 , 2, , \ldots , n$
حتی «ضرب داخلی بردارهای» (Inner Product) برحسب تابع دلتای کرونکر قابل تعیین است. فرض کنید که a و b دو بردار باشند. در این صورت ضرب داخلی آن‌ها را با استفاده از تابع دلتای کرونکر به صورت زیر می‌توان نوشت:$\large{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i,j=1}^{n}a_{i}\;\; \delta _{ij} \;\; b_{j}}$
leopold kroneckerلئوپولد کرونکر (Leopold kronecker)، ریاضیدان آلمانینکته: تابع دلتای کرونکر را به کمک تابع نمایی و عدد مختلط واحد ($i^2 = – 1$ به صورت مجموع یک دنباله نیز می‌توان نشان داد که برگرفته از «سری هندسی متناهی» (Finite Geometric Series) است.$\large {\displaystyle \delta_{nm} = { \frac {1}{N}} \sum_{k = 1}^{N}e^{2\pi i{\frac {k}{N}}(n – m)}}$
خواص تابع دلتای کرونکرخواص زیر برای تابع دلتای کرونکر در نظر گرفته می‌شوند. البته توجه داشته باشید که مقدار ai، یک عدد حقیقی است.$\large \sum_{j} \delta_{ij} a_j = a_i$و$\large \sum_{i} a_i\delta_{ij} = a_j$و$\large \sum_{k} \delta_{ik}\delta_{kj} = \delta_{ij}$با توجه به رابطه‌های بالا می‌توان ماتریس δ را به صورت یک ماتریس یکه در نظر گرفت. همچنین اگر j∈Z یعنی «اعداد صحیح» (Whole Numbers) باشد، تابع دلتای کرونکر در رابطه زیر صدق خواهد کرد.$\large \sum_{ i = – \infty}^\infty a_i \delta_{ij} = a_j$این خاصیت را به نام «غربالگری» (Sifting) می‌شناسیم.
اگر اعداد صحیح (نامنفی) را به صورت یک «فضای اندازه» (Measure Space) در نظر بگیریم، ویژگی ذکر شده با خاصیت «تابع دلتای دیراک» (Dirac delta function) برابر خواهد شد. در نتیجه داریم:
ممکن است در بعضی از حوزه‌ها که نماد یکسانی برای تابع دلتای کرونکر و تابع دلتای دیراک استفاده می‌شود، این دو تابع با یکدیگر اشتباه شوند. در مباحث مربوط به «پردازش سیگنال» (Signal Processing)، چه در محیط زمان-گسسته یا زمان-پیوسته (Discrete or Continuous time)، تفاوت تابع دلتای کرونکر و دیراک بستگی به محتوای مورد بحث دارد.$\large {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty } \delta (x – y) f(x)\,dx = f(y)}$معمولا نماد δ(t) برای مشخص کردن تابع دلتای دیراک در حالت زمان-پیوسته به کار می‌رود. در حالیکه نماد برای پارامترهای تابع اگر به شکل $i, j , k , l , m ,n$
باشند، منظور تابع دلتای کرونکر بوده و مرتبط با سیگنال‌های زمان-گسسته است.
نکته: تابع دلتای دیراک، تابعی است که در سه خاصیت زیر صدق کند. اغلب در پردازش سیگنال برای نمایش حالت زمان-گسسته، تابع دلتا را به صورت $\delta[n]$ نشان می‌دهند.
$\large \delta \left [ { t – a } \right ] = 0 , \, \, \, \, t \ne a$و$\large \displaystyle \int _ { { \, a – \varepsilon } } ^ { { \, a + \varepsilon } } { { \delta \left [ { t – a } \right ] \, d t } } = 1 , \hspace {0.25in} \varepsilon > 0$و$\large \displaystyle \int _ { { \, \, a – \varepsilon } } ^ { { \, \, a + \varepsilon } } { { f \left ( t \right ) \delta \left [ { t – a } \right ] \, d t } } = f \left ( a \right ) , \hspace {0.25in} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \varepsilon > 0$
به یاد داشته باشید که نمونه‌گیری مستقیم از تابع دلتای دیراک منجر به تولید تابع دلتای کرونکر نمی‌شود. بلکه این کار باید تحت قیود مشخصی صورت گیرد.کاربرد تابع دلتای کرونکر در پردازش سیگنال در مطالعه «پردازش سیگنال دیجیتال» (Digital Signal Processing) یا به اختصار DSP، «تابع دلتای نمونه‌گیری واحد» (Unit Sample Function) که با نماد ${\displaystyle \delta [n] }$
مشخص می‌شود، نمایانگر مورد ویژه‌ای از «تابع دو پارامتری دلتای کرونکر» (δij) است، به طوری که یکی از پارامترها صفر است. در این مورد خواهیم داشت:$\large {\displaystyle \delta [n – k] \equiv \delta [k – n] \equiv \delta_{n k} \equiv \delta _{k n}}$
بطوری که$\large {\displaystyle – \infty < n < \infty , – \infty < k < \infty }$
در مباحث مربوط به «تانسورها» (Tensor)، معمولاً تعداد بردارهای پایه در ابعاد خاص به جای اندیس صفر از اندیس 1 شروع می‌شوند. در این حالت رابطه ${ \displaystyle \delta [n] \equiv \delta_ {n 0} \equiv \delta_ {0 n}}$ وجود ندارد.Unit impulse
تابع نمونه‌گیری واحددر واقع، تابع دلتای کرونکر و «تابع نمونه‌گیری واحد» (Unit Sample function) توابع مختلفی هستند که به طور اتفاقی در یک مورد خاص با یکدیگر همپوشانی دارند. واضح است که در این حالت زیرنویس‌ یا اندیس‌ها ممکن است رقم صفر (0) را شامل شوند. در این وضعیت دو اندیس یا زیرنویس وجود داشته که یکی از آن‌ها حتما مقدار صفر خواهد داشت.
هر چند «تابع نمونه‌گیری واحد زمان-گسسته» (Discrete Unit Sample Function) و تابع «دلتا کرونکر» از نماد یکسانی استفاده می‌کنند ولی با یکدیگر تفاوت‌هایی دارند. برای تابع نمونه‌گیری واحد زمان-گسسته، معمولا از نماد براکت و یک عدد صحیح استفاده می‌شود. در مقابل برای تابع دلتای کرونکر، اعداد به صورت زیرنویس یا اندیس در کنار علامت δ قرار می‌گیرند.
از طرفی، هدف از به کارگیری «تابع نمونه واحد زمان-گسسته» با هدف از به کارگیری «تابع دلتای کرونکر» تفاوت دارد. در DSP، از تابع نمونه واحد گسسته معمولاً به عنوان یک تابع ورودی به یک سیستم گسسته برای کشف «تابع سیستم» (System Function) سامانه استفاده می‌شود که خروجی‌ها توسط آن تولید شده‌اند.
از دیدگاه استراتژیک، هدف اصلی در استفاده از تابع دلتا کرونکر، فیلتر کردن جملات از «مجموع انیشتین» (Eisenstein Summation) است و هر یک از اندیس‌های تابع دلتا کرونکر یک بُعد را در یک مجموعه پایه نشان می‌دهند.
نکته: مجموع اینشتین، به مجموع متناهی در یک میدان متناهی گفته می‌شود که مرتبط با «مجموع گاوسی» (Gauss Sum) است.
تابع نمونه‌گیری گسسته به شکل ساده، مطابق با رابطه زیر تعریف می‌شود:$\large {\displaystyle \delta [n] = {\begin{cases} 1 & n = 0 \\ 0 & {\text{otherwise}} \end{cases}}}$otherwiseعلاوه بر این، در مباحث مربوط به DSP تابعی به نام تابع دلتای دیراک نیز به کار می‌رود که اغلب با دو تابع دیگر یعنی تابع دلتا کرونکر و تابع نمونه‌گیری واحد اشتباه گرفته می‌شود. توجه داشته باشید که تابع دلتای دیراک به صورت زیر معرفی می‌شود.$\large {\displaystyle \delta (t) = {\begin{cases} \infty & t = 0 \\ 0 &{\text{otherwise}} \end{cases}}}$به این موضوع نیز توجه داشته باشید که بر خلاف تابع دلتا کرونکر δij و «تابع نمونه‌گیری واحد»
δ[n]، تابع دلتای دیراک δ(t) دارای پارامتر با مقدار صحیح نیست، بلکه مقادیر پیوسته را به عنوان متغیر می‌پذیرد.
ارتباط تابع دلتای کرونکر با دلتای دیراک در نظریه احتمال و آمار، تابع دلتای کرونکر و دلتای دیراک می‌توانند برای بیان یک «تابع توزیع گسسته» (Discrete Distribution) به کار روند. اگر تکیه‌گاه توزیع شامل نقاطی به صورت
$S_X = \{x_1, x_2 ,\ldots, x_n\}$ با احتمالات $p_1, p_2 , \ldots, p_n$ باشد، آنگاه تابع جرم احتمال (Probability Mass Function) یا به طور خلاصه تابع احتمال $p(X)$ را روی SX به صورت زیر و به کمک تابع دلتای کرونکر نشان می‌دهند.$\large p(x) = \sum_{i = 1}^n p_i \delta_{x – x_i}$منظور از $\delta_{x-x_i}$، همان تابع دلتای کرونکر تک پارامتری است.
در صورتی که متغیر تصادفی X، دارای تابع چگالی پیوسته (Continuous) یا تابع چگالی احتمال (Probability Density Function) به شکل f(x) باشد، آنگاه می‌توان رابطه زیر را برای آن نوشت.$\large f(x)=\sum _{i = 1}^{n}p_{i}\delta (x – x_{i})$که در آن
$\delta(x – x_i)$
، همان تابع دلتای دیراک است.
تحت شرایط خاص، دلتا کرونکر می‌تواند حاصل یک نمونه‌گیری از تابع دلتای دیراک باشد. به عنوان مثال، اگر یک ضربان دلتا دیراک، دقیقاً در یک نقطه نمونه‌گیری و از «فیلتر پایین گذر ایده‌آل» (Ideally Lowpass-filter) عبور داده شود (با شرط قطع در فرکانس بحرانی)، طبق «قضیه نمونه‌برداری شانون-نیکوئیت» (Nyquist-Shannon Sampling Theorem)، سیگنال ایجاد شده یک سیگنال زمان-گسسته بوده که همان تابع دلتای کرونکر خواهد بود.digital signal processing
پردازش سیگنال دیجیتال خلاصه و جمع‌بندی
در این نوشتار به بررسی تابع دلتای کرونکر و خواص آن پرداختیم. مشخص شد که در بعضی از حالات، دو تابع دلتای کرونکر و دلتای دیراک برابر هستند و نقش یکسانی در بعضی از حوزه‌های علوم دارند. نقش تابع دلتای دیراک برای توصیف پدیده‌هایی زمان-گسسته در فیزیک و الکتریسیته و حتی نظریه احتمال دیده می‌شود. همچنین به نظر می‌رسد نقش تابع دلتای کرونکر مشابه تابع نشانگر در اعداد صحیح باشد. در علوم مرتبط با سیگنال و پردازش آن، تابع دلتای کرونکر و تابع دلتای دیراک بسیار کاربرد دارند.
تابع هویت تابعی است که همان مقداری را که به عنوان آرگومان آن استفاده شده است، برمی گرداند. به آن رابطه هویت یا نقشه هویت یا دگرگونی هویت نیز می گویند. اگر f یک تابع باشد، آنگاه رابطه هویت برای آرگومان x به صورت f(x) = x برای تمام مقادیر x نشان داده می شود.همانطور که می‌شود حدس زد، تابع همانی (Identity Function)، هر مقدار را به خود آن، نگاشت یا تبدیل می‌کند. به این ترتیب تابع f را یک تابع همانی می‌نامند، اگر پارامتر تابع با مقدار تابع برای همه اعضای دامنه، یکسان باشد. با توجه به این موضوع تابع f(x)=x یک تابع همانی است، زیرا به ازاء هر مقدار از دامنه، نتیجه تابع همان مقدار است. مسلما باید از این رابطه نتیجه گرفت که دامنه و برد چنین تابعی یکسان است.تعریف تابع همانیبه طور رسمی، اگر M یک مجموعه بوده و تابع f با ضابطه زیر، روی آن تعریف شده باشد، بطوری که دامنه و برد آن یکسان بوده و برابر با M باشند، f را تابع همانی می‌نامند.f(x)=x,∀x∈Mبه بیان دیگر تابع f(x) در M
، همیشه همان مقدار ورودی تابع خواهد بود. همانطور که دیده می‌شود، «هم‌دامنه» (Codomain) و «دامنه تابع» (Domain) یکسان بوده و هر دو مجموعه M هستند.واضح است که تابع همانی، یک تابع یک به یک (Injective) است. همچنین آن را می‌توان یک تابع پوشا (Surjective) نیز در نظر گرفت، در نتیجه چنین تابعی را می‌توان «یک به یک و پوشا» (One to one correspanding)، در نتیجه «معکوس‌پذیر» (Invertable) دانست.جالب است که معکوس تابع همانی، باز تابع همانی خواهد بود. معمولا تابع همانی روی مجموعه M را به صورت $id_M$ نشان می‌دهند.در نظریه مجموعه، تابعی همانی را به صورت یک «رابطه همانی» (Identity Relation) نیز در نظر می‌گیرند. همچنین می‌توان چنین تابعی را به صورت یک رابطه دو دویی در نظر گرفته و عناصر قطری ماتریس M را همان مقادیر تابع همانی منظور کرد. ماتریس حاصل از ضرب دکارتی مجموعه M در خودش، عناصر این حاصل ضرب دو دویی در نظر گرفته می‌شوند.
$\large \begin{bmatrix}(1,1) & (1,2) & (1,3)& \cdots \\ (2,1) & (2,2) &(2,3)&\cdots \\ (3,1) & (3,2) &(3,3)&\cdots \\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots \end{bmatrix}$
نمودار تابع همانی را براساس تعریف ارائه شده. همانطور که مشخص است چنین تابعی، نیم‌ساز ربع اول و سوم است. تابع همانی پیوسته و بدون هیچ نقطه شکست بوده و همه جا مشتق‌پذیر است.Identity Function plotنمودار تابع همانی در مختصات دکارتی
خصوصیات جبری تابع همانیفرض کنید که تابع f از مجموعه M به N تعریف شده است.
$\large f: M \rightarrow N$در این صورت و$\large f \circ id_M = f$بطوریکه عملگر ∘ نشانگر «ترکیب دو تابع» (Function Composition) است. به طور کلی $id_M$ یک عنصر همانی از «تَکوار» (Monoid) از M به M محسوب می‌شود.
نکته: منظور از «تَکوار» (Monoid)، یک مجموعه مانند S به همراه یک عملگر دو دویی (مثل⋅) است که دارای عضو خنثی است. بنابراین می‌توان آن را یک «نیم‌گروه» (Semigroup) دانست که شامل عضو خنثی خواهد بود.از آنجایی که عنصر همانی، در تَکوار، یکتا است، می‌توان تعریف تابع همانی را روی M، همان عنصر همانی در عملگر دو دویی در نظر گرفت. چنین تعریفی می‌تواند مفهوم تابع همانی را به مفاهیمی مانند «یک‌ریختی» (identity morphism) در تئوری و «نظریه رسته‌ها» (Category Theory) تبدیل کند. این موضوع را در قسمت قبل، زمانی که تابع همانی را به صورت ترکیب با تابع f به کار بردیم، مشاهده کردید.خواص تابع همانی تابع همانی، یک تابع پیوسته روی دامنه‌اش است.برد و دامنه تابع همانی، یکسان است.
تابع همانی، یک «عملگر خطی» (Linear Operator) در «فضای برداری» (Vector Space) محسوب می‌شود.
تابع همانی، روی مجموعه اعداد صحیح مثبت (مقادیر شامل سمت راست محور اعداد حقیقی) یک «تابع ضربی کامل» (Completely Multiplicative Function) است. بخصوص زمانی که در نظریه اعداد، از مضرب ۱ استفاده کنیم.
در فضای برداری n-بُعدی، تابع همانی، توسط «ماتریس یکه» (Identity Matrix) با نماد Im، بدون در نظر گرفتن پایه (Basis)، ساخته می‌شود.در فضای برداری، تابع همانی، به صورت بدیهی، یک تابع متقارن محسوب می‌شود.
در فضای تویولوژیک (Toplogic Space)، تابع همانی، همیشه پیوسته است.
تابع همانی، یک تابع «خودتوان» (Idempotent) خواهد بود. به این معنی که با تکرار این تابع روی یک متغیر، نتیجه تغییر نکرده و همیشه مقدار تابع در نقطه x را نمایش می‌دهد. پس رابطه زیر برقرار است.$\large id \left( id(X) \right) = x$جالب است که با تکرار این عمل نیز تغییری در تابع همانی بوجود نخواهد آمد.مشتق و انتگرال تابع همانی
همانطور که در نمودار این تابع مشخص است، شیب خط، همیشه یکسان بوده و زاویه این خط را محور افقی، ۴۵ درجه یا $\pi/4$
است. در نتیجه براساس معادله این خط، مقدار شیب خط یا تانژانت (Tangent) زاویه نمودار با محور افقی، برابر با ۱ خواهد بود. به این ترتیب، از آنجایی که مشتق این تابع، شیب خط مماس را مشخص می‌کند، واضح است که مقدار مشتق روی همه دامنه تابع برابر با ۱ خواهد بود.$\large \dfrac{d \left( f(x) \right)}{dx} = \dfrac{dx}{dx} = 1$از طرفی انتگرال یا سطح زیر منحنی تابع همانی نیز براساس تصویر بالا، با مساحت مثلث قائم‌الزاویه‌ای که براساس این تابع ساخته می‌شود، برابر است. در نتیجه اگر انتگرال این تابع را در بازه a‌ تا b در نظر بگیریم، مساحت مثلث حاصل برابر است با:$\large \dfrac{(b – a) \times (b – a)}{2} = \dfrac{(b – a)^2}{2}$
در همین بازه، محاسبات را انجام دهیم، به نتیجه زیر خواهیم رسید.$\large \int_a^b x \; dx = \dfrac{x^2}{ 2 }|^b_a = \dfrac{(b – a)^2}{2}$که با نتیجه قبلی نیز سازگار است.تابع همانی در فضای اعداد مختلط اگر دامنه تابع همانی را مجموعه اعداد مختلط در نظر بگیریم، آنگاه نمودار این تابع در بخش حقیقی $Re[id(z)]$، بخش موهومی $Im[id(z)]$ به شکل زیر خواهند بود. واضح است که برد چنین تابعی نیز همان اعداد مختلط خواهد بود..hope I helped you understand the question. Roham Hesami, sixth semester of aerospace engineering
smile072 smile072 رهام حسامی ترم ششم مهندسی هوافضا
تصویر

ارسال پست