هوپا، انجمن علم ایران

قضیه گرین بیان می کند که انتگرال خط برابر است با انتگرال دوگانه این کمیت در ناحیه محصور.من میگم اگه منطقه ایr در صفحه باشه که توسط یک منحنی xyصاف بسته و تکه ای cمحدود شده $\mathbf{F} = P\left( {x,y} \right)\mathbf{i} + Q\left( {x,y} \right)\mathbf{j}$
یک تابع برداری پیوسته با مشتقات جزئی اول پیوسته باشه${\frac{{\partial P}}{{\partial y}}}, {\frac{{\partial Q}}{{\partial x}}}$
در یک دامنهr حاوی قضیه سپس گرین بیان می کنه که$\iint\limits_R {\left( {\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} - \frac{{\partial P}}{{\partial y}}} \right)dxdy} = \oint\limits_C {Pdx + Qdy} ,$
جایی که نماد$\oint\limits_C {}$ نشان می دهد که منحنی (کانتور) cبسته است و ادغام در خلاف جهت عقربه های ساعت حول این منحنی انجام می شه.
اگر فرمول گرین نتیجه داد:$Q = x,$, $P = -y,$
که در آن منطقه از منطقه محدود شده توسط کانتور است$S = \iint\limits_R {dxdy} = \frac{1}{2}\oint\limits_C {xdy - ydx} ,$
همچنین می توانیم قضیه گرین را به صورت برداری بنویسیم. برای این منظور به اصطلاح curl of a vector را معرفی می کنیم. اجازه دهید$\mathbf{F} = P\left( {x,y,z} \right)\mathbf{i} + Q\left( {x,y,z} \right)\mathbf{j} + R\left( {x,y,z} \right)\mathbf{k}$
یک فیلد برداری باشد$\nabla \times \mathbf{F}$ سپس بردار میدان برداری را بردار می گویند که با یا نشان داده می شود که برابر است با$\text{rot}\,\mathbf{F} = \nabla \times \mathbf{F} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\
{\frac{\partial }{{\partial x}}}&{\frac{\partial }{{\partial y}}}&{\frac{\partial }{{\partial z}}}\\
P&Q&R
\end{array}} \right|
= \left( {\frac{{\partial R}}{{\partial y}} - \frac{{\partial Q}}{{\partial z}}} \right)\mathbf{i}
+ \left( {\frac{{\partial P}}{{\partial z}} - \frac{{\partial R}}{{\partial x}}} \right)\mathbf{j}
+ \left( {\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} - \frac{{\partial P}}{{\partial y}}} \right)\mathbf{k}.$

از نظر کرل، قضیه گرین را می توان به صورت زیر نوشت
$\iint\limits_R {\left( \text{rot}\,\mathbf{F} \right) \cdot \mathbf{k}\,dxdy} = \oint\limits_C {\mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}} .$
توجه داشته باشید که قضیه گرین به سادگی قضیه استوک است که در یک صفحه با ابعاد اعمال می شود.قضیه گرینز بیان می کند:
$\oint_C P dx + Q dy = \int \int_D (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) dxdy$.hope I helped you understand the question. Roham Hesami, sixth semester of aerospace engineering
رهام حسامی ترم ششم مهندسی هوافضا