جناب کاربر You-Seeگفتند مکان هندسی هذلولی صفحه هذلولی صفحه ای هستش که هر نقطه آن یک نقطه زینه یا. شبهکرههای مختلفی در فضای اقلیدسی وجود داره که دارای ناحیه محدودی از انحنای گاوسی منفی ثابت است اینطور بگم میدونیدانحنای گاوسی یک معیار ذاتی انحنایه که فقط به فواصل اندازه گیری شده روی سطح بستگی دارد، نه به نحوه ایزومتریک بودن آن در فضای اقلیدسی.هنگامی که یک سطح دارای انحنای گاوسی مثبت ثابته هندسه سطح هندسه کرویه مثل توپ
هنگامی که یک سطح دارای انحنای گاوسی منفی ثابته آنگاه یک سطح شبه کرویه و هندسه سطح هندسه هذلولیه
انتگرال سطح انحنای گاوسی بر روی قسمتی از یک سطح را انحنای کل میگیم. انحنای کل یک مثلث ژئودزیکی برابر است با انحراف مجموع زوایای آن از $ π$. مجموع زوایای یک مثلث در سطحی با انحنای مثبت از $ π$ بیشتر میشه در حالی که مجموع زوایای یک مثلث در سطحی با انحنای منفی کمتر از π هست. در سطحی با انحنای صفرهم مانند صفحه اقلیدسی مجموع زاویه ها دقیقاً به رادیان $ π$ میرسه${\displaystyle \sum _{i=1}^{3}\theta _{i}=\pi +\iint _{T}K\,dA.}$
.می توان فاصله هذلولی بین p و q را ابتدا با یافتن نقاط ایده آل u و v از خط هذلولی از طریق p و q محاسبه کنیم و سپس با استفاده از فرمول $\begin{equation*}
d_H(p,q) = \ln\left(\frac{1+|T(q)|}{1-|T(q)|}\right)\text{.}
\end{equation*}$یا $\begin{equation*}
d_H(p,q) =
\ln\left[\frac{|1-\overline{p}q|+|q-p|}{|1-\overline{p}q|-|q-p|}\right]\text{.}
\end{equation*}$با توجه که میدونم $\displaystyle T(q) = \frac{q-p}{1-\overline{p}q}$
نقطه C در امتداد منحنی هذلولی حرکت می کنه که با $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$ داده میشه
فواصل d0 و d1 به ترتیب از A تا C و B تا C هستند.
نقطه C را طوری پیدا کنیم که طول کل $d_{0}+d_{1}$ را به حداقل برسونه تفاضل فواصل هر نقطه روی هذلولی از این دو نقطه برای هر هذلولی ثابت و برابر ${\displaystyle 2a}$ باشه حالااگه منظورتون این نوع مدل سواله یعنی میخواین بگین
من یک مثلث با 3 نقطه دارم. موقعیت های دو نقطه در دسترس است. و همچنین فواصل بین سه نقطه را میدونم. چگونه میتونم موقعیت نقطه سوم را محاسبه کنم نقطه A (مختصات x و y)
نقطه B (مختصات x و y)
AB (فاصله بین نقطه A و نقطه B)
BC (فاصله بین نقطه B و نقطه C)
AC (فاصله بین نقطه A و نقطه C)نا مشخص
نقطه C (مختصات x و y)
شما دو هویت زیر را می شناسید:
$AC = \sqrt{(C_x-A_x)^2+(C_y-A_y)^2}\quad\quad(roham)$
$BC = \sqrt{(C_x-B_x)^2+(C_y-B_y)^2}\quad\quad(roham)$
بنابراین من دو معادله با دو مجهول دارم. من می تونم با استفاده از روشی که با آن آشنا هستم حل کنمش. در اینجا چند قدم اول استفاده از جایگزینی (برای شروع کار)میارم.
(1) را برای Cx حل کنید تا به دست آورم:$C_x=\sqrt{AC^2-(C_y-A_y)^2} +A_x\quad\quad(3)$
(گزینه منهای جذر را نادیده گرفتم
حالا (3) را به (2) وصل میکنم و Cy را حل میکنم. (این یک پاسخ عددی برای Cy به من میده که سپس می تونم آن را به (3) وصل کنم تا یک پاسخ عددی برای Cx دریافت کنم
ببین که من از AB استفاده نکردم. از آنجایی که من قبلاً $A_x,A_y,B_x,$ و By را میدونم AB هیچ اطلاعات جدیدی به من نمیده
راه حل دوم
میزارم $AB = c, \, BC = a, \, CA = b$. فرض میکنم مختصات نقاط A و B را میدونم یعنی بردارهای $\vec{OA}$ و $\vec{OB}$ را میدانیم که در آن O مبدأ سیستم مختصات منه
با $\alpha = \angle \, CAB$ علامت میزنم و میزارمH برآمدگی متعامد راس C بر روی لبه AB باشه. سپس ارتفاع CH متعامد بر AB است.ابتدا طول ارتفاع CH و طول قطعه AH را محاسبه می کنیم (این دومی برآمدگی متعامد AC هستش دیگه. با فرمول هرون مساحت SABC مثلث برابره ب$S(a,b,c) = \frac{1}{4}\, \sqrt{(a+b+c)(a+ b -c)(a-b+c)(-a+b+c)}$
از طرف دیگه می تونم آن را به عنوان محاسبه کنم
$S(a,b,c) =S_{ABC} = \frac{1}{2} \,c \cdot CH$
بنابراین$CH = \frac{2 \, S(a,b,c)}{c} = \frac{\, \sqrt{(a+b+c)(a+ b -c)(a-b+c)(-a+b+c)}\,}{2\,c}$
در مثلث قائم الزاویه ACH
$AH = AC \, \cos(\angle \, CAB) = b \, \cos(\angle \, CAB)$
طبق قانون کسینوس برای مثلث ABC
$\cos(\angle \, CAB) = \frac{c^2+b^2-a^2}{2cb}$
بنابراین$AH =\frac{c^2+b^2-a^2}{2c}$
اگر بردار$\vec{AB}$ را بدونم می تونم بلافاصله یک بردار متعامد (در واقع یک جفت متضاد) $\vec{AB^{\perp}}$ پیدا کنم. این کار را می توان به صورت زیر انجام بدم: اگر$\vec{AB}$ دارای مختصات (u,v) باشد، $\vec{AB^{\perp}}$ دارای مختصات (-v,u) یا (v,-u) است (از این رو دو بردار مخالف و بنابراین دو راه حل ممکن). بنابراین یافتن مختصات نقطه C که همان یافتن مختصات بردار$\vec{OC}$ است
$\vec{OC} = \vec{OA} + \vec{AH} + \vec{HC} = \vec{OA} + \frac{|AH|}{c} \, \vec{AB} + \frac{|CH|}{c}\, \vec{AB^{\perp}}$
$\vec{OC} = \vec{OA} + \left(\frac{c^2+b^2-a^2}{2c^2} \right)\vec{AB} + \frac{2 \, S(a,b,c)}{c^2}\,\, \vec{AB^{\perp}}$
به طور واضح تر، اگر مختصات A $\vec{OC} = \vec{OA} + \left(\frac{c^2+b^2-a^2}{2c^2} \right)\vec{AB} + \frac{2 \, S(a,b,c)}{c^2}\,\, \vec{AB^{\perp}}$ و مختصات B $(x_B,y_B)$ باشند،
$\vec{AB} = (x_B - x_A, \,\, y_B - y_A)$
و بنابراین
$\vec{AB^{\perp}} = (y_A - y_B, \,\, x_B - x_A)$
یا $\vec{AB^{\perp}} = (y_B - y_A, \,\, x_A - x_B)$ سپس مختصات $(x_C, \, y_C)$ نقطه C هستند
$\begin{align}
x_C &= x_A + \left(\frac{c^2+b^2-a^2}{2c^2} \right) (x_B - x_A) + \epsilon \,\frac{2 \, S(a,b,c)}{c^2}\,\, (y_A - y_B)\\
y_C &= y_A + \left(\frac{c^2+b^2-a^2}{2c^2} \right) (y_B - y_A) + \epsilon \,\frac{2 \, S(a,b,c)}{c^2}\,\, (x_B - x_A)
\end{align}$
که در آن ε=1 یا -1 و$S(a,b,c) = \frac{1}{4}\, \sqrt{(a+b+c)(a+ b -c)(a-b+c)(-a+b+c)}$
امیدوارم کمک کنه بهتون .من چیز زیادی نمیدونم در مورد فضاهی نا اقلیدسی بچه های فیزیک میتونند کمک کنند .یا از بجه های ریاضی بپرسید اخه ما بیشتر با محاسبات سرکار داریم و مفاهیم مکانیک کلاسیک مثل دینامیک وترمو و ایرودینامیک hope I helped you understand the question. Roham
Hesami, sixth
semester of aerospace engineering
رهام حسامی ترم ششم مهندسی هوافضا