محاسبات عددیNumerical calculations

مدیران انجمن: parse, javad123javad

ارسال پست
نمایه کاربر
rohamjpl

نام: Roham Hesami رهام حسامی

محل اقامت: فعلا تهران قیطریه بلوار کتابی 8 متری صبا City of Leicester Area of Leicestershire LE7

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 2132

سپاس: 3824

جنسیت:

تماس:

محاسبات عددیNumerical calculations

پست توسط rohamjpl »

مهندسان هوافضا از اصول حساب دیفرانسیل و انتگرال، مثلثات و سایر موضوعات پیشرفته در ریاضیات برای تجزیه و تحلیل، طراحی و عیب یابی در کار خود استفاده می کنن خوب ما معمولا روش‌های عددی برای حل مسائل پیچیده انتقال حرارت شامل مکانیسم‌هایی مانند هدایت، همرفت، تابش یا ترکیبی از آنها استفاده می‌شود. روش های عددی مختلفی مانند روش اجزای محدود، روش حجم محدود، روش تفاضل محدود و روش المان مرزی در دسترس هستند.استفاده میکنیم کاربردهای آیرودینامیکی در مهندسی هوانوردی از اهمیت بالایی برخوردار است. روش های عددی نیز نقش عمده ای در تحلیل این کاربردها دارند.
مثال من در حال انجام آنالیز عددی و عدم قطعیت برای تابع زاویه موج ضربه مورب هستم:
$\tan(\delta)=\frac{2}{\tan(\theta)}\frac{M^2\sin^2(\theta)-1}{M^2(\gamma+\cos(2\theta))+2}$
که در آن δ زاویه انحراف، θ زاویه ضربه، M عدد ماخ و $\gamma$ نسبت گرمای ویژه است. در مشاهدات ما، δ، θ، و M همگی دارای عدم قطعیت هستند. $\gamma$ دقیق فرض می شود.
کمیت مجهول ما $\theta \pm \sigma_{\theta}$ است. اگر بتوان برای θ را به صورت تحلیلی حل کرد، انتشار عدم قطعیت (به استثنای کوواریانس ها) بی اهمیت خواهد بود:$\sigma_{\theta}^2 = \left( \frac{\partial\theta}{\partial M}\sigma_M \right)^2+ \left( \frac{\partial\theta}{\partial\delta}\sigma_{\delta} \right)^2$
سوال این است: چگونه θ را تعریف کنم تا بتوانم مشتقی از آن را با توجه به M و δ برای تحلیل عدم قطعیت بگیرم؟ یا شاید راهی برای تقریب θ و گرفتن مشتق عددی وجود دارد؟ من احتمالاً در این مورد بیش از حد فکر می کنم.Roham Hesami, 7th semester of aerospace engineeringتصویر
smile260 smile016 :?:
آخرین ویرایش توسط rohamjpl جمعه ۱۴۰۱/۶/۲۵ - ۰۸:۵۷, ویرایش شده کلا 2 بار
تصویر

نمایه کاربر
rohamjpl

نام: Roham Hesami رهام حسامی

محل اقامت: فعلا تهران قیطریه بلوار کتابی 8 متری صبا City of Leicester Area of Leicestershire LE7

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 2132

سپاس: 3824

جنسیت:

تماس:

Re: محاسبات عددیNumerical calculations

پست توسط rohamjpl »

من سعی می کنم به این سوال به صورت دقیق بپردازم. عبارت تابع زاویه را می توان به صورت$ f(δ,M;θ)$ بیان کرد. می توانید مشتقات جزئی این تابع را به صورت محاسبه کنید$\frac{\partial f}{\partial \delta} = \frac{\partial f}{\partial \theta} \frac{\partial \theta}{\partial \delta}$و$\frac{\partial f}{\partial M} = \frac{\partial f}{\partial \theta} \frac{\partial \theta}{\partial M}$
این دو مشتق جزئی θ را که به دنبال آن هستید به شما می دهد..Roham Hesami, 7th semester of aerospace engineeringتصویر
smile260 smile016 :?:
آخرین ویرایش توسط rohamjpl جمعه ۱۴۰۱/۶/۲۵ - ۰۸:۵۷, ویرایش شده کلا 2 بار
تصویر

نمایه کاربر
rohamjpl

نام: Roham Hesami رهام حسامی

محل اقامت: فعلا تهران قیطریه بلوار کتابی 8 متری صبا City of Leicester Area of Leicestershire LE7

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 2132

سپاس: 3824

جنسیت:

تماس:

Re: محاسبات عددیNumerical calculations

پست توسط rohamjpl »

من سعی می کنم یک کد MATLAb برای تعیین فرکانس های طبیعی یک صفحه تغییر شکل برشی مرتبه اول با استفاده از روش ریتز بنویسم. من از چند جمله‌ای لژاندر به عنوان توابع آزمایشی در روش ریتز استفاده می‌کنم و کد من برای تحلیل استاتیک صفحه به خوبی کار می‌کند. من چند مشکل ساختاری را با کدم حل کردم و نتایج را با MSC NASTRAN مقایسه کردم. نتایج دقیق با حداکثر خطای 5 درصد است.
با این حال، وقتی سعی می کنم مقادیر ویژه را پیدا کنم، حداقل یک مقدار ویژه منفی است. همچنین، مقادیر ویژه با مقادیر ویژه به دست آمده از MSC NASTRAN (تحلیل مودال) مطابقت ندارند.
آیا ممکن است یک صفحه دارای مقادیر ویژه منفی باشد؟تنها راهی که می توانید مقادیر ویژه منفی به دست آورید این است که در صورت وجود تنش های فشاری که باعث کمانش صفحه می شود، اثرات سختی تنش (که گاهی اوقات "سفتی هندسی" نامیده می شود) را وارد کنید.
البته اگر صفحه بتواند به عنوان یک جسم صلب حرکت کند، مقادیر ویژه صفر وجود دارد، و ممکن است به عنوان اعداد منفی کوچک محاسبه شوند، اما این مقادیر باید چند مرتبه کوچکتر از اولین مقدار ویژه مثبت باشند.
FWIW "دقیق تا 5٪" احتمالا به معنای "اشتباه" است. سعی کنید یک بار موردی پیدا کنید که راه حل دقیق آن مشخص باشد.
ترسیم شکل تغییر شکل یافته برای مقادیر ویژه منفی شما ممکن است به یافتن خطا کمک کند.Roham Hesami, 7th semester of aerospace engineeringتصویر
smile260 smile016 :?:
آخرین ویرایش توسط rohamjpl جمعه ۱۴۰۱/۶/۲۵ - ۰۸:۵۸, ویرایش شده کلا 2 بار
تصویر

نمایه کاربر
rohamjpl

نام: Roham Hesami رهام حسامی

محل اقامت: فعلا تهران قیطریه بلوار کتابی 8 متری صبا City of Leicester Area of Leicestershire LE7

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 2132

سپاس: 3824

جنسیت:

تماس:

Re: محاسبات عددیNumerical calculations

پست توسط rohamjpl »

چگونه معادله انتگرال ضرایب نیروی آیرودینامیکی عادی و محوری را برای محاسبه ضریب بالابر برای ایرفویل حل کنیم؟$c_n = \frac{1}{c} \left[ \int_0^c (C_{p,l} - C_{p,u}) \, dx + \int_0^c \left(c_{f, u} \frac{dy_u}{dx} + c_{f,l} \frac{dy_l}{dx} \right) dx \right]$
$c_a = \frac{1}{c} \left[ \int_0^c \left(C_{p, u} \frac{dy_u}{dx} - C_{p,l} \frac{dy_l}{dx} \right) dx + \int_0^c (c_{f,u} + c_{f,l}) \, dx \right]$
من سعی می کنم منحنی کلر در مقابل آلفا را برای ایرفویل NACA2412 محاسبه کنم. من Cp غیر چسبناک (ضریب فشار) را با استفاده از روش پانل و Cf (ضریب اصطکاک) را با استفاده از معادلات انتگرال لایه مرزی Thwaites، Michael و Head محاسبه کردم. من در حال حاضر هر دو Cp و Cf برای تمام پانل ها دارم. برای محاسبه کلر (ضریب بالابر)، ابتدا باید این ضرایب نیرو را محاسبه کنم. من اینجا گیر کردم، برای حل این دو معادله مشکل دارم. لطفاً یکی به من کمک کند تا این دو معادله انتگرال را حل کنم تا بتوانم مقادیر Cp و Cf خود را وارد کنم تا Cn (ضریب نیروی طبیعی) و Ca (ضریب نیروی محوری) را بدست بیاورم. نویسنده این معادلات را به عنوان تمرین برای خوانندگان گذاشته است، اما به نظر می رسد که من در حل آن سردرگمی های زیادی دارم. من می‌توانم داده‌های dy/dx را از روش پانل داشته باشم (این فقط tan(ph) برای هر پانل است).
منبع معادله - مبانی آیرودینامیکتصویر
برای یافتن مقدار CP حاصل در طول وتر، باید ناحیه محصور نمودار توزیع فشار را تعیین کنیم. کاری که حل یک معادله انتگرال انجام می دهد.
معادله را می توان به صورت تحلیلی حل کرد اگر نمودارهای به دست آمده را بتوان در یک تابع ریاضی با طول وتر ثبت کرد، که روش ترجیحی من برای ادامه کار نیست. یا به طور عملی تر، مقادیر یافت شده با روش پانل را می توان به صورت خطی درون یابی کرد، که یک روش عددی برای حل است.
هر مستطیل آبی عبارت است از:
در جهت عمودی، میانگین دو نقطه بالا منهای میانگین دو نقطه پایین.
در جهت افقی = 0.1 * وتر c
تمام 10 مستطیل را اضافه کنید تا مساحت کل را بدست آورید. تقسیم بر c برای بدست آوردن وحدت بی بعد.
Mutatis mutandis برای بیت های باقی مانده از معادلات..Roham Hesami rad, 7th semester of aerospace engineeringتصویر
smile260 smile016 :?:
آخرین ویرایش توسط rohamjpl جمعه ۱۴۰۱/۶/۲۵ - ۰۸:۵۸, ویرایش شده کلا 2 بار
تصویر

نمایه کاربر
rohamjpl

نام: Roham Hesami رهام حسامی

محل اقامت: فعلا تهران قیطریه بلوار کتابی 8 متری صبا City of Leicester Area of Leicestershire LE7

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 2132

سپاس: 3824

جنسیت:

تماس:

Re: محاسبات عددیNumerical calculations

پست توسط rohamjpl »

چه روش های عددی برای مدل سازی تغییر شکل ها در فیزیک الاستیک استفاده می شود؟برای مثال، در اینجا مثالی از تغییر شکل هایپرالاستیک در Ansys آورده شده است:
شبیه سازی الاستیک
شاید ساده تر از الاستیسیته، برای کشش خطی، معادلات زیر را داشته باشیم:
$\nabla\cdot\sigma + {F} = \rho\ddot{{u}}\\
{\varepsilon} =\tfrac{1}{2} \left[{\nabla}{u}+({\nabla}{u})^\mathrm{T}\right]\\
{\sigma} = {C}:{\varepsilon}$
جایی که
σ - تانسور استرس
ϵ - تانسور کرنش
u - جابجایی
C - تانسور سختی
فرض کنید ما یک عنصر محدود را روی شبکه ای از دامنه ترکیب شده با چیزی شبیه به روش Runge-Kutta برای کنترل زمان اعمال می کنیم، می توانیم معادلات بالا را حل کنیم و یک راه حل u را پیدا کنیم که نشان دهنده یک تغییر شکل است. با این حال، به نظر می‌رسد تغییر شکل نشان می‌دهد که چیزی باید حرکت کند و تا این مرحله، یک شبکه ثابت و بدون حرکت از دامنه داریم. در این صورت چه چیزی حرکت می کند؟ تصویر
به طور کلی تر، کلاس کلی الگوریتم های مورد استفاده برای مدل سازی حرکت و تغییر شکل یک ماده الاستیک مشابه آنچه شبیه سازی بالا نشان می دهد چیست؟به نظر می‌رسد که نوع الگوریتم‌ها بسته به اینکه مشکل وجود دارد یا نه، تفاوت قابل توجهی دارد:
الاستیک کوازیستاتیک یا
هایپرالاستیک
در مورد الاستیک شبه استاتیک، یک رویکرد ساده به شرح زیر است: به عنوان قسمت اول هر مرحله زمانی، میدان جابجایی u محاسبه می شود. از آنجایی که اکنون جابجایی u در هر گره مش شناخته شده است، گره ها را می توان بر اساس u به عنوان قسمت دوم هر مرحله زمانی جابجا کرد.
همچنین یک مثال عینی برای یک مشکل هایپرالاستیک ارائه می دهد. با این حال، شرح مشکل در آنجا به قدری درگیر است که نمی‌خواهم آن را در اینجا با جزئیات کامل تکرار کنم. فقط به عنوان یک خلاصه کوتاه، آنها از یک اصل تغییرات سه میدانی برای استخراج مجموعه ای از معادلات اویلر-لاگرانژ برای جابجایی u و تانسور تنش σ استفاده می کنند.در اینجا چند چیز برای باز کردن بسته بندی وجود دارد. اول، شبیه‌سازی که نشان می‌دهید شامل تماس بین یک جسم الاستیک (حلقه) و یک مرز سخت است، بنابراین محدودیت‌ها غیرهولونومیک هستند. مشکلات تماسی بسیار چالش برانگیزتر از مثلاً تغییر شکل الاستیک تحت گرانش است که فقط دارای محدودیت های هولونومی است.
در انیمیشنی که در بالا نشان دادید، تنها چیزی که به نظر می رسد تغییر می کند، موقعیت گره های مش است. این یک رویکرد معقول برای اتخاذ زمانی است که تغییر شکل‌های پیکربندی مرجع مواد کوچک هستند، که دقیقاً زمانی است که معادلات الاستیسیته خطی هستند. برای تغییر شکل‌های بسیار بزرگ، توری تبدیل شده در پیکربندی بدنه ممکن است درهم بپیچد و همانطور که ممکن است تصور کنید این خبر بدی است. چند راه برای این کار وجود دارد.
ابتدا، می‌توانید عملکرد داخلی شبیه‌سازی را با استفاده مجدد دوره‌ای تغییر دهید. هنگامی که مثلث ها بیش از حد از بین می روند، می توانید لبه ها را برگردانید تا کیفیت مش را بازیابی کنید. این رویکرد می‌تواند احتمال گره خوردن مش را از بین ببرد، اما کدنویسی درست دشوار است.
دوم، شما می توانید مشکل فیزیک را که در وهله اول شبیه سازی می کنید، تغییر دهید. اگر تغییر شکل‌ها آنقدر زیاد باشند، استفاده از یک سیستم معادلات خطی شده دیگر راه خوبی برای توصیف مسئله نیست. کشش غیرخطی، برای مثال به جامدات نئو هوکی نگاه کنید، شامل اصطلاحاتی است که زمانی که ژاکوبین تبدیل مرجع به بدن مفرد می شود، به بی نهایت می روند. این از تغییر شکل های عجیب و غریب در سطح ریاضی جلوگیری می کند، اما حل عددی مسئله را نیز چالش برانگیزتر می کند.
هر دوی این ایده‌ها بسیار در ذهنیت روش‌های المان محدود Galerkin در مش‌های ساده هستند. انحراف بسیار بزرگتر از این طرز تفکر، استفاده از روشهای بدون مش است. این شامل مواردی مانند هیدرودینامیک ذرات هموار، روش نقطه ماده، و غیره است. این موارد اغلب از نظر محاسباتی گران‌تر هستند، زیرا شما نیاز دارید که در هر مرحله پرس‌وجوهای همسایه را انجام دهید و این کار سختی است که به حافظه پنهان تبدیل شود. اما آنها می توانند خیلی بهتر با هندسه های بسیار تغییر شکل یا متحرک سازگار شوند.منظور از روش گالرکین چیست؟
در ریاضیات، در حوزه تحلیل عددی، روش‌های گالرکین که به نام ریاضیدان روسی بوریس گالرکین نامگذاری شده است، یک مسئله عملگر پیوسته، مانند معادله دیفرانسیل، معمولاً در فرمول ضعیف، را با اعمال محدودیت‌های خطی تعیین شده توسط محدود، به یک مسئله گسسته تبدیل می‌کند. روش اجزای محدود (FEM) یک روش محبوب برای حل عددی معادلات دیفرانسیل ناشی از مهندسی و مدل‌سازی ریاضی است. مناطق مورد علاقه مشکل معمولی شامل زمینه های سنتی تحلیل سازه، انتقال حرارت، جریان سیال، انتقال جرم و پتانسیل الکترومغناطیسی است.
FEM یک روش عددی کلی برای حل معادلات دیفرانسیل جزئی در دو یا سه متغیر فضایی (به عنوان مثال، برخی مسائل مقدار مرزی) است. برای حل یک مشکل، FEM یک سیستم بزرگ را به بخش‌های کوچکتر و ساده‌تر تقسیم می‌کند که عناصر محدود نامیده می‌شوند. این امر با گسسته‌سازی فضایی خاص در ابعاد فضا به دست می‌آید که با ساخت شبکه‌ای از جسم اجرا می‌شود: حوزه عددی برای حل، که دارای تعداد محدودی نقطه است.پس در کل روش المان حدی مسئله مورد نظر را به یک دستگاه معادلات جبری تبدیل می‌کند. این روش، مقادیر تخمینی پارامترهای مجهول را برای تعدادی از نقاط مجزا در محدوده تعریف مسئله به دست می‌آورد. راه حل روش المان محدود، تقسیم مسائل بزرگ به بخش‌های کوچک‌تر و ساده‌تری به نام «المان‌های محدود» (Finite Elements) است. در مرحله بعد، معادلات ساده‌ای که معرف این المان‌های محدود هستند، در یک دستگاه معادلات بزرگ‌تر در کنار یکدیگر قرار می‌گیرند و فرم کلی مسئله اصلی را تشکیل می‌دهند. انجام مطالعه یا تحلیل بر روی یک پدیده با استفاده از FEM، با عنوان «تحلیل المان محدود» (Finite Element Analysis) شناخته می‌شود..Roham Hesami rad, 7th semester of aerospace engineeringتصویر
smile260 smile016 :?:
آخرین ویرایش توسط rohamjpl جمعه ۱۴۰۱/۶/۲۵ - ۰۸:۵۹, ویرایش شده کلا 2 بار
تصویر

نمایه کاربر
rohamjpl

نام: Roham Hesami رهام حسامی

محل اقامت: فعلا تهران قیطریه بلوار کتابی 8 متری صبا City of Leicester Area of Leicestershire LE7

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 2132

سپاس: 3824

جنسیت:

تماس:

Re: محاسبات عددیNumerical calculations

پست توسط rohamjpl »

روش المان محدود در مرحله اول، معادله مرتبط با هر یک از المان‌ها به صورت مجموعه معادلات ساده‌ای است که معادلات پیچیده اصلی (اغلب معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی) را در نواحی مختلف تخمین می‌زند. برای انجام این تخمین، معمولاً FEM به عنوان حالت خاص «روش گالرکین» (Galerkin Method) در نظر گرفته می‌شود. این فرآیند در ریاضیات، با انتگرال‌گیری از ضرب داخلی توابع وزنی و باقیمانده و همچنین برابر با صفر قرار دادن حاصل انتگرال صورت می‌گیرد. به عبارت ساده‌تر، این فرآیند با برازش توابع آزمایشی به معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی، میزان خطای تخمین را به حداقل می‌رساند. مقدار باقیمانده، خطای به دست آمده از توابع آزمایشی است. توابع وزنی نیز توابع تقریب چندجمله‌ای هستند که میزان باقیمانده را نشان می‌دهند. فرآیند مذکور، تمام مشتقات فضایی معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی را حذف می‌کند و آن‌ها را از طریق دو دستگاه زیر به صورت ناحیه‌ای تخمین می‌زند:
دستگاه معادلات جبری برای مسائل حالت پایدار
دستگاه معادلات دیفرانسیل معمولی برای مسائل گذرا
این دو دستگاه معادلات مختص به المان‌های مسئله هستند. اگر معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی به صورت خطی باشند، معادلات المان‌ها نیز خطی خواهند بود و بالعکس. معادلات جبری به دست آمده از مسائل حالت پایدار با استفاده از روش‌های جبر خطی عددی حل می‌شوند؛ در حالی که حل معادلات دیفرانسیل معمولی به دست آمده از مسائل گذرا توسط روش‌های استاندارد انتگرال‌گیری عددی نظیر روش اویلر یا «رونگه‐کوتا» (Runge-Kutta) صورت می‌گیرد.
در مرحله دوم، یک دستگاه معادلات کلی با استفاده از معادلات مربوط به المان‌ها تشکیل می‌شود. این فرآیند از طریق تبدیل مختصات گره‌های محلی محدودهای کوچک به گره‌های کلی محدوده اصلی صورت می‌گیرد. برای انجام این تبدیلات فضایی به تنظیم جهت‌گیری مناسب نسبت به دستگاه مختصات مرجع نیاز است. در اغلب موارد، این عملیات توسط نرم‌افزاری مبتنی بر FEM و با استفاده از داده‌های مختصاتی به دست آمده از محدوده‌های کوچک اجرا می‌شود.
درک روش المان محدود با استفاده از کاربرد عملی آن یعنی «تحلیل المان محدود» (Finite Element Analysis) یا اصطلاحاً «FEA» ساده‌تر است. FEA، یک ابزار محاسباتی برای اجرای تحلیل‌های مهندسی است. این ابزار از روش‌های تولید مش برای تقسیم‌بندی یک مسئله پیچیده به المان‌های کوچک و کدهای نرم‌افزاری الگوریتم‌های FEM بهره می‌برد. در هنگام به کارگیری FEA، یک مسئله پیچیده معمولاً به صورت یک سیستم فیزیکی بر مبنای قواعدی نظیر «معادله تیر اویلر-برنولی» (Euler-Bernoulli Beam Equation)، «معادله گرما» (Heat Equation) یا «معادلات ناویه-استوکس» (Navier-Stokes Equations) در نظر گرفته می‌شود که توسط معادلات انتگرالی یا معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی بیان شده است. هر یک از المان‌های کوچک این مسئله پیچیده، نواحی مختلف سیستم فیزیکی تعریف شده را نشان می‌دهند.
به منظور تحلیل مسائلی با محدوده‌های بسیار پیچیده (ماشین‌ها و خطوط انتقال نفت)، محدوده‌های متغیر (در حین واکنش حالت جامد به همراه تغییر مرز)، نیاز به دقت‌های متفاوت در بخش‌های مختلف محدوده یا عدم هموار بودن روش حل، FEA گزینه مناسبی خواهد بود. در شرایطی که نیاز به ساخت نمونه‌های اولیه با دقت بالا باشد، شبیه‌سازی‌های FEA با فراهم کردن یک ابزار ارزشمند، تعداد نمونه‌های مورد نیاز را کاهش می‌دهند. به عنوان مثال، در شبیه‌سازی تصادف خودرو از جلو، امکان افزایش دقت نواحی مهم نظیر بخش جلویی ماشین و کاهش این دقت در بخش عقب وجود دارد. این کار باعث کاهش هزینه شبیه‌سازی می‌شود. در پیش‌بینی آب و هوا توسط روش‌های عددی نیز پیش‌بینی دقیق پدیده‌های شدید غیرخطی (مانند گردباد یا گرداب) از اهمیت بالاتری نسبت به نواحی نسبتاً آرام برخوردار است.
برای درک بهتر کاربرد روش المان محدود، به معرفی یک مثال می‌پردازیم. به تصویر زیر دقت کنید. این تصویر، نمونه‌ای از مش FEM ساخته شده برای حل یک مسئله مغناطیسی را نمایش می‌دهد. رنگ‌های مختلف در این مش‌بندی، بیانگر خصوصیات مادی متفاوت برای هر ناحیه هستند. در این مثال، سیم‌پیچ رسانا با رنگ نارنجی، قطعه فرومغناطیس (احتمالاً آهن) با رنگ آبی روشن و هوا با رنگ خاکستری نشان داده شده است. تفاوت اندازه المان‌ها در نواحی مختلف، دقت تحلیل در آن محل‌ها را تغییر می‌دهد. معمولاً هر چه اندازه المان‌ها کوچک‌تر باشد (مش‌بندی ریز)، دقت نتایج و متعاقباً زمان مورد نیاز برای اجرای تحلیل افزایش می‌یابد. به این ترتیب، تحلیل‌گر برای ایجاد توازن بین زمان تحلیل و دقت بالا در نواحی مهم، مش‌بندی مسئله را تقریباً بهینه می‌کند. با اینکه هندسه این مسئله ساده به نظر می‌رسد، محاسبه میدان مغناطیسی آن بدون استفاده از یک نرم‌افزار FEM و تنها با به کارگیری معادلات جبری کار بسیار چالش‌برانگیزی خواهد بود.
،انواع روش‌های المان محدود
در این بخش به معرفی انواع روش‌های المان محدود می‌پردازیم و برخی از آن‌ها را به طور مختصر توضیح می‌دهیم.
«روش المان کاربردی» (Applied Element Method) یا «AEM»
AEM، یک روش تحلیل عددی برای پیش‌بینی رفتار سازه‌های پیوسته و ناپیوسته است. این روش برای ارزیابی آسیب‌پذیری سازه‌ها (خرابی پیش‌رونده، تحلیل انفجار، تحلیل ضربه و تحلیل لرزه‌ای)، مهندسی قانونی، طراحی مبتنی بر عملکرد، تحلیل تخریب، تحلیل عملکرد شیشه و ایجاد جلوه‌های بصری به کار می‎رود.
«روش المان محدود تعمیم یافته» (Generalized Finite Element Method) یا «GFEM»
GFEM، به منظور بهبود تخمین‌های محلی در مدل‌های المان محدود توسعه یافته است. استفاده از این روش مسائلی با شرایط مرزی پیچیده، مقیاس میکرو و لایه‌های مرزی پیشنهاد می‌شود.
«روش المان محدود ترکیبی» (Mixed Finite Element Method)
این روش با عنوان «Hybrid Finite Element Method» نیز می‌گویند. در این روش، هنگام گسسته سازی معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی، چندین متغیر مستقل به عنوان متغیرهای گره‌ای به مسئله افزوده می‌شوند. این روش برای مسائلی مناسب است که از نظر عددی «بدطرح» (Ill-Posed) هستند. به عنوان مثال، تعیین میدان تنش و کرنش در یک جسم تقریباً تراکم ناپذیر، یک مسئله بدطرح به حساب می‌آید.
«نسخه hp روش المان محدود» (hp-version of Finite Element Method) یا «hp-FEM»
hp-FEM، فرم کلی روش المان محدود استاندارد است که برای حل معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی از رویکرد تخمین چندجمله‌ای‌های تکه‌ای استفاده می‌کند. در سال 1992، «بابوسکا و همکاران» (.Babuska et al) دریافتند که در صورت تقسیم‌بندی المان‌ها به بخش‌های کوچک‌تر (نسخه h) و افزایش مرتبه چندجمله‌ای آن‌ها (نسخه p)، سرعت همگرایی روش المان محدود به صورت نمایی افزایش می‌یابد. این ویژگی باعث جذابیت بیشتر hp-FEM نسبت به دیگر روش‌های المان محدود می‌شود. با این وجود، با توجه به عواملی نظیر زمان مورد نیاز برای تحلیل، درک مبانی ریاضی، اجرای تحلیل و غیره، استفاده از این روش نسبت به روش استاندارد چالش‌برانگیزتر است.
«روش المان محدود توسعه یافته» (Extended Finite Element Method) یا «XFEM»
XFEM، یک روش عددی بر پایه GFEM و «روش تقسیم واحد» (Partition of Unity Method) یا اصطلاحاً «PUM» است. این روش به منظور حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی، با افزودن توابع ناپیوسته به فضای حل مسئله روش المان محدود قدیمی را توسعه می‌دهد. به این ترتیب، امکان بهره‌گیری از ویژگی‌های مرتبط با ناپیوستگی‌ها، تکینگی‌های جبری، لایه‌های مرزی، مش‌بندی معمولی ریزساختارها و غیره فراهم می‌شود. نتایج به دست آمده از XFEM، بهبود دقت و نرخ همگرایی را نشان می‌دهند. به علاوه، به دلیل عدم نیاز به مش‌بندی مجدد سطوح ناپیوستگی‌ها در این روش، زمان محاسباتی و خطاهای رایج در روش‌های مرسوم المان محدود کاهش می‌یابد.
نرم‌افزارهایی نظیر «xfem++ 3» ،«GetFEM++ 2» و «++openxfem»، از روش XFEM برای تحلیل مسائل مختلف استفاده می‌کنند. این روش در کدهایی نظیر «ASTER» ،«Morfeo» ،«Radioss» و نرم‌افزارهای معروف «آباکوس» (Abaqus) و «انسیس» (ANSYS) نیز به کار گرفته می‌شود.
«روش المان محدود مرزی مقیاس شده» (Scaled Boundary Finite Element Method) یا «SBFEM»
SBFEM، در سال 1997 توسط «سانگ» (Song) و «وُلف» (Wolf) معرفی شد. این روش مفیدترین مشارکت صورت گرفته در حوزه تحلیل عددی مسائل مربوط به مکانیک شکستگی به حساب می‌آید. SBFEM از نقاط قوت فرآیندها و مبانی ریاضی روش المان محدود و همچنین فرآیند گسسته سازی روش المان مرزی بهره می‌برد.
«روش المان محدود هموار» (Smoothed Finite Element Method) یا «S-FEM»
روش‌های المان محدود هموار، دسته‌ای از الگوریتم‌های شبیه‌سازی عددی برای شبیه‌سازی پدیده‌های فیزیکی به شمار می‌روند. این روش‌ها از ترکیب روش‌های بدون مش با روش المان محدود توسعه یافته‌اند. S-FEM برای مسائلی مانند مکانیک سازه‌های جامد و پیزو الکتریک، مکانیک شکست و رشد ترک، مسائل غیرخطی، تحلیل‌های تصادفی، انتقال حرارت، آکوستیک سازه‌ها، مدل‌سازی پلاستیسیته بلورها و غیره کاربرد دارد.
«روش المان طیفی» (Spectral element method) یا «SEM»
روش‌های المان طیفی، پیچیدگی هندسی المان‌های محدود و دقت بالای روش‌های طیفی را با هم ترکیب می‌کنند. SEM برای تشخیص عیب و نقص‌های کوچک سازه کاربرد دارد. نحوه مدل‌سازی هندسه‌های پیچیده در این روش نسبت به روش المان محدود دشوارتر است.
«روش‌های بدون مش» (Meshfree Methods)
در حوزه تحلیل عددی، روش‌های بدون مش به روش‌هایی اطلاق می‌شود که در آن‌ها نیازی به ایجاد ارتباط بین تمام گره‌های مدل وجود ندارد. با این وجود، فعل و انفعالات بین هر گره با گره‌های اطراف آن در نظر گرفته می‌شود. به این ترتیب، به جای اختصاص خواصی نظیر جرم یا انرژی جنبشی به المان‌های مش، هر یک از این خواص برای گره‌های منفرد تخصیص می‌یابند. روش‌های بدون مش می‌توانند برخی مسائل دشوار را با صرف زمان محاسباتی و برنامه‌نویسی بیشتر شبیه‌سازی کنند. این روش‌ها برای شبیه‌سازی هندسه‌های پیچیده، ایجاد ترک، خمش، رفتار غیرخطی، ناپیوستگی‌ها و تکینگی مفید هستند.
«روش‌های گالرکین ناپیوسته» (Discontinuous Galerkin Methods)
در ریاضیات کاربردی، روش‌های گالرکین ناپیوسته گروهی از روش‌های عددی برای حل معادلات دیفرانسیل به حساب می‌آیند. این روش‌ها، ویژگی‌های رویکرد المان محدود و حجم محدود را با هم ترکیب می‌کنند. در مسائل حوزه‌های الکترودینامیک، مکانیک سیالات و فیزیک پلاسما، تمایل زیادی به استفاده از روش‌های گالرکین ناپیوسته وجود دارد.
«تحلیل حدی المان محدود» (Finite Element Limit Analysis) یا «FELA»
در FELA، از روش‌های بهینه‌سازی برای محاسبه مستقیم کران‌های بالا و پایین بار شکست پلاستیک برای یک سیستم مکانیکی استفاده می‌شود. کاربرد اصلی این روش در حوزه مکانیک خاک و به منظور تعیین بارهای مورد نیاز برای ایجاد شکست در مسائل ژئوتکنیکی (تحلیل پایداری شیب) است. نرم‌افزارهای «OptumG2» و «OptumG3» از مبانی FELA برای تحلیل مسائل ژئوتکنیکی بهره می‌برند.
«روش شبکه کشیده» (Stretched Grid Method) یا (SGM)
روش شبکه کشیده، یک روش عددی برای یافتن راه حل‌های تقریبی در مسائل مهندسی و ریاضی است. هواشناسان از این روش برای پیش‌بینی آب و هوا استفاده می‌کنند. در علوم مهندسی نیز از SGM برای طراحی سقف‌ها و دیگر سازه‌های کششی استفاده می‌شود.
«تکرار لوبیگناک» (Loubignac iteration)
در ریاضیات کاربردی، تکرار لوبیگناک یک روش تکراری در روش‌های المان حدی است. این روش که در سال 1977 توسط «ژیل لوبیگناک» (Gilles Loubignac) معرفی شد، میدان تنش پیوسته را به دست می‌آورد. تکرار لوبیگناک برای تحلیل استاتیک المان حدی مورد استفاده قرار می‌گیرد.
مقایسه روش المان محدود با روش تفاضل محدود
تصویر مش‌بندی دهانه تونل در یک نرم‌افزار مبتنی بر روش تفاضل محدود (المان‌های چهارضلعی).
تصویر مش‌بندی دهانه تونل در یک نرم‌افزار مبتنی بر روش تفاضل محدود (المان‌های چهارضلعی).
«روش تفاضل محدود» (Finite Difference Method) یا اصطلاحاً «FDM»، یکی از روش‌های جایگزین FEM برای تخمین معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی است. موارد زیر، تفاوت‌ها و شباهت‌های بین FEM و FDM را بیان می‌کنند:
جذاب‌ترین ویژگی FEM، مدل‌سازی نسبتاً راحت هندسه و شرایط مرزی پیچیده است. المان‌های FDM باید به صورت مستطیلی شکل باشند در صورتی که تغییرات هندسه مدل در FEM از نظر تئوری نیز ساده است.
معمولاً از FDM برای هندسه‌های نامنظم استفاده نمی‌شود. در اغلب موارد، مدل‌های بلوکی یا مستطیلی با استفاده از این روش مورد تحلیل قرار می‌گیرند.
جذاب‌ترین ویژگی FDM، اجرای آسان تحلیل است.
در برخی از موارد می‌توان FDM را یک حالت خاص از FEM در نظر گرفت. در معادله پوآسن، اگر مسئله با استفاده از مش‌های مستطیلی مدل‌سازی و هر مستطیل به دو مثلث تقسیم شود، FEM مرتبه اول با FDM یکسان خواهد بود.
دلایل زیادی برای منطقی‌تر بودن مبانی ریاضی FEM وجود دارد. به عنوان مثال، کیفیت تخمین مقادیر بین نقاط گره‌ای در FDM پایین‌تر از FEM است.
مقدار تخمین‌هایی که با استفاده FEM به دست می‌آیند، در اغلب موارد بیشتر از مقدار به دست آمده از FDM هستند. البته این موضوع وابستگی زیادی به نوع مسئله دارد و در برخی از موارد نتایج عکس نیز مشاهده شده است.
در مکانیک سازه‌ها، به منظور اجرای انواع مختلف تحلیل‌ها (مانند تحلیل تغییر شکل و تنش‌های موجود در اجسام صلب یا رفتار دینامیکی سازه)، معمولاً FEM به عنوان انتخاب اصلی در نظر گرفته می‌شود. در حالی که برای مسائل مربوط به «دینامیک سیالات محاسباتی» (Computational Fluid Dynamics) یا اصطلاحاً «CFD»، روش‌هایی نظیر FDM یا «روش حجم محدود» (Finite Volume Method) یا به اختصار «FVM» مورد استفاده قرار می‌گیرد. معمولاً در مسائل حوزه CFD، یک مسئله به تعداد بسیار زیادی سلول یا نقطه گره‌ای (Gridpoint) تقسیم می‌شود. از این‌رو، با توجه به زمان و تجهیزات احتمالی مورد نیاز، برای تخمین ویژگی‌های درون هر سلول، استفاده از روش‌های ساده‌تر به همراه الگوریتم‌هایی با مرتبه پایین‌تر در اولویت قرار می‌گیرد. این موضوع، برای مسائلی با «جریان خارجی» (External Flow) مانند جریان هوا در اطراف یک خودرو یا هواپیما و شبیه‌سازی وضعیت آب و هوا نیز صادق است.I hope I have helped you in understanding the question. Roham Hesami rad , seventh semester
aerospace engineering
smile072 تصویر
تصویر

ارسال پست