بدست آوردن ریشه سوم

مدیران انجمن: parse, javad123javad

ارسال پست
نمایه کاربر
decoder

عضویت : چهارشنبه ۱۴۰۰/۱۱/۱۳ - ۱۶:۱۹


پست: 32

سپاس: 4

جنسیت:

تماس:

بدست آوردن ریشه سوم

پست توسط decoder »

سلام smile217
ببخشید کسی اینجا متد Long Division برای کعب گیری اعداد رو بلده؟ من جذر گیری با این روش رو بلدم اما کعب گیری رو نه. اگر کسی الگوریتم کامل این روش رو داره ممنون میشم این پایین قرار بده smile072

نمایه کاربر
rohamavation

نام: roham hesami radرهام حسامی راد

محل اقامت: فعلا تهران قیطریه بلوار کتابی 8 متری صبا City of Leicester Area of Leicestershire LE7

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 2469

سپاس: 4615

جنسیت:

تماس:

Re: بدست آوردن ریشه سوم

پست توسط rohamavation »

$y = (a+x)^3 = a^3 + (3 a^2+3x+x^2) x$بررسی کنید . من یک ریشه مکعبی را با ارائه دو روش انجام می دهم.
$N-r=a^3+(3a^2+(3a+b)b)b \iff \frac{N-r}{\left [\frac{a^2}{2a+b}+b \right ]\left [2a+b \right ]}=a+b$
یک r مثبت وجود داره که عددی را که می‌خواهیم ریشه آن را در صورتی که یک مکعب کامل نباشد، کم کنیم. معمولاً آخرین انجام می شود، زیرا می خواهید باقیمانده تا حد امکان کم باشه. عبارت سمت راست همان چیزی است که وقتی یک بسط دوجمله‌ای درجه سوم را به $(a+b)(a^2+(2a+b)b)$ سازماندهی می‌کنید و زمانی که روی مخرج قرار می‌گیرد فاکتور$ (2a+b)$ را به دست می‌آورید.
بیایید از هر دو عبارت برای پیدا کردن ریشه ای که مکعب آن به 1953000 نزدیک تر است استفاده کنیم، در صورتی که یک مکعب کامل نیست.
اعداد را در دو یا سه رقم مانند این $1'953'000$ مرتب کنید تا a^3$ $نزدیکترین مکعب با صفرهای پشت سر باشد. در این حالت، $a^3 = 1'000'000 \iff a=100$ است، به این معنی که شما از قبل a دارید. می توانید مکعب آن را کم کرده و در هر دو عبارت جایگزین کنید.
$953000-r=(30000+(300+b)b)b \iff \frac{1953000-r}{\left [\frac{10000}{200+b}+b \right ]\left [200+b \right ]}=100+b$
برای حدس زدن b دو رقمی باید $3a^2b=3'00'00b$ را بررسی کنید تا به $95'00'00$نزدیکتر شود. من ارقام را به این ترتیب گروه بندی کردم زیرا اکنون مربع است. وقتی b=30، عبارت سمت راست نشان می دهد که بیش از حدزیاده، بنابراین باید b=20 را امتحان کنید. معلوم می شود که درست است.
$953000-r=(30000+(320+c)(20+c))(20+c) \iff \frac{1953000-r}{\left [\frac{10000}{220+c}+20+c \right ]\left [220+c \right ]}=120+c$
توجه داشته باشید که من برای تک رقمی که باقی مانده است c اضافه کردم. ضرب با استفاده از عبارت سمت چپ در حال حاضر پیچیده است. شما می توانید از گزینه مناسب برای حدس زدن اینکه کدام c به 220 تقسیم 10000 اضافه شده است استفاده کنید. یک تخمین خوب می تواند c=5 باشد، اما از عدد ما بیشتر میشه، بنابراین می توانید c=4 را بررسی کنید که 10000 را تقسیم نمی کنه. هر چند با همان عامل
$953000-r=(30000+(324)24)24 \iff \frac{1953000-r}{\left [\frac{10000}{224}+24 \right ]\left [224 \right ]}=124$
اکنون فقط باید ضرب را با استفاده از عبارت سمت راست انجام دهید، نتیجه آن را از 1953000 کم کنید تا حداقل r را پیدا کنید و ریشه خود را از طریق a+b+c بدانید. 124 است که مکعب آن به عددی که با آن شروع کردیم نزدیکتر است و باقیمانده آن 46376 است.
همانطور که می بینید، امکان تنظیم مجدد یک بسط دو جمله ای در صفحه وجود دارد تا دنبال کردن آن راحت تر باشد،
معلوم می شود زمانی که شما (و من) متوجه شوید که تنها عباراتی که از عبارت سمت چپ استفاده شده است، $a^3$ و $3a^2b$ و $(\frac{a^2}{2a+b}+b)(2a+b)$ از سمت راست بوده اند، می توان آن را تعمیم داد. . این تقریب اپسیلونی ریشه n است.
$\begin{array}{r|r}
& \underline{5 \quad 8 \quad 1} \quad\quad\quad\quad \quad \quad\quad \quad\quad\quad \quad \quad \quad\quad\\
\hline
5 & \overline{196}\quad\overline{122}\quad\overline{941} \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad\quad\quad \quad \quad&\\
&-125 \quad \quad\quad\quad \quad \quad\quad \quad\quad\quad \quad \quad\quad\quad \quad \quad\\
\\
\hline
((300\times5^2)+8=)7508 & 71 \quad 122 \quad \quad\quad\quad\quad \quad \quad\quad \quad\quad\quad \quad \quad\quad\\
& -70 \quad 112 (=(30(5)(58)+8^2)\times8)\quad\quad \quad\\
\\
\hline
((300\times 58^2)+1=)1009201 & 1010 \quad 941 \quad \quad\quad\quad\quad \quad \quad \quad\quad \quad\quad \quad\quad \\
& -1010 \quad 941 (=(30(58)(581)+1^2)\times1)\quad \\
\\
\hline
& 0 \quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad\quad \quad \quad\quad\\
\end{array}$, و $\begin{array}{r|r|}
& \underline{5 \quad 8 \quad 1}\quad \quad \quad \quad\quad \quad\quad\quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad\quad \quad\quad \quad\\
\hline
5 & \overline{196}\quad\overline{122}\quad\overline{941} \quad \quad \quad \quad\quad \quad\quad\quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \\
& -125 \quad \quad\quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad\quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\\
\\
\hline
([(5+5+5)\times10]+8=)158 & 71 \quad 122 \quad \quad \quad\quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\\
& -70 \quad 112 (=[(15\times8\times5)\times100]+[158\times8\times8])\quad \quad\\
\\
\hline
([(158+8+8)\times10 ]+1=)1741 & 1010 \quad 941 \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \\
& -1010 \quad 941 (=[(174\times1\times58)\times100]+[1741\times1\times1])\\
\\
\hline
& 0 \quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \\
\end{array}$توجه شود که $A_{n}10^n...+A_{1}10^1+A_{0}10^0$
روشهای عددی از متن محاسبات عددی جزوه هایم
روش نیوتن یک روش تکراری است که می توان از آن برای محاسبه ریشه مکعب استفاده کرد. برای اعداد ممیز شناور واقعی، این روش به الگوریتم تکراری زیر کاهش می یابد تا تقریب های متوالی بهتری از ریشه مکعب a ایجاد کنه
${\displaystyle x_{n+1}={\frac {1}{3}}\left({\frac {a}{x_{n}^{2}}}+2x_{n}\right).}$
روش به سادگی میانگین گیری سه عامل انتخاب شده است به طوری که
${\displaystyle x_{n}\times x_{n}\times {\frac {a}{x_{n}^{2}}}=a}$
در هر تکرار${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}\left({\frac {x_{n}^{3}+2a}{2x_{n}^{3}+a}}\right).}$
این به صورت مکعبی همگرا می شود، بنابراین دو تکرار به اندازه سه تکرار روش نیوتن کار می کنند. هر تکرار روش نیوتن دو ضرب، یک جمع و یک تقسیم، که1/3a از قبل محاسبه شده است، بنابراین سه تکرار به اضافه محاسبه پیش نیاز به هفت ضرب، سه جمع و سه تقسیم دارند.
در هر دو روش، تقریب اولیه ضعیف$ x_0 $می‌تواند عملکرد بسیار ضعیفی از الگوریتم داشته باشد، و رسیدن به یک تقریب اولیه برخی از پیاده سازی ها بیت های توان عدد ممیز شناور را دستکاری می کنند. یعنی با تقسیم توان بر 3 به تقریب اولیه می رسند.
همچنین این کسر ادامه یافته تعمیم یافته بر اساس روش ریشه n مفید است:
اگر x اولین تقریب خوبی برای ریشه مکعب a باشد و $y = a − x^3 $باشد، آنگاه:

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{a}}={\sqrt[{3}]{x^{3}+y}}=x+{\cfrac {y}{3x^{2}+{\cfrac {2y}{2x+{\cfrac {4y}{9x^{2}+{\cfrac {5y}{2x+{\cfrac {7y}{15x^{2}+{\cfrac {8y}{2x+\ddots }}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle =x+{\cfrac {2x\cdot y}{3(2x^{3}+y)-y-{\cfrac {2\cdot 4y^{2}}{9(2x^{3}+y)-{\cfrac {5\cdot 7y^{2}}{15(2x^{3}+y)-{\cfrac {8\cdot 10y^{2}}{21(2x^{3}+y)-\ddots }}}}}}}}.}$
معادله دوم هر جفت کسر از اولی را در یک کسر واحد ترکیب می کند، بنابراین سرعت همگرایی را دو برابر می کند.
ظاهر در حل معادلات درجه سوم و چهارم
معادلات مکعبی که معادلات چند جمله ای درجه سوم هستند (یعنی بالاترین توان مجهول 3 است) همیشه می توانند برای سه راه حل آنها بر حسب ریشه مکعب و جذر حل شوند (البته عبارات ساده تری فقط بر حسب ریشه مربع وجود دارد. هر سه راه حل، اگر حداقل یکی از آنها یک عدد گویا باشد). اگر دو تا از راه‌حل‌ها اعداد مختلط باشند، هر سه عبارت حل شامل ریشه مکعب واقعی یک عدد واقعی هستند، در حالی که اگر هر سه راه‌حل اعداد حقیقی باشند، ممکن است بر حسب ریشه مکعب مختلط یک عدد مختلط بیان شوند.
معادلات کوارتیک را می توان بر حسب ریشه مکعب و جذر نیز حل کرد.
.$63^{1/3}=(64-1)^{1/3}=4\left(1-\frac1{64}\right)^{1/3}
=4\left(1-\frac{1/3}{64}-\frac{1/9}{64^2}-\cdots\right)$
(قضیه دو جمله ای). مطمئناً $4(1-1/(3\times 64))$) به اندازه کافی برای اهداف شما نزدیک خواهد بود.
این یک ترفند نسبتاً شناخته شده برای اجتناب از تقسیم در محاسبه ریشه های مربع برای استفاده از روش نیوتن برای یافتن $1/\sqrt{x}$است، و احتمالاً بهتر شناخته شده است، با استفاده از روش نیوتن برای یافتن متقابل های بدون تقسیم.
برای مثال، اگر بخواهیم حل کنیم:
$x^{-3} = a^2$
سپس $x = a^{-2/3}$ و $\sqrt[3]{a} = ax$. تکرار نیوتن برای معادله فوق به سادگی:
$x_{n+1} = x_n - \frac{ x_n^{-3} - a^2 }{-3x_n^{-4}}
= \frac{4}{3}x_n - \frac{1}{3}a^2 x_n^4$
باز هم از عملیات تقسیم اجتناب می‌کنیم، حداقل اگر ثابت‌های کسری از قبل برای ضرب‌های FP ارزیابی شده باشند.
به طور کلی، اگر روش نیوتن را برای $x^\alpha-\beta$ اعمال کنید، تکرار می شود
$(1-\alpha^{-1})x+\frac\beta\alpha x^{1-\alpha},$
بنابراین شما فقط باید معادله را انتخاب کنید تا α عدد صحیح منفی باشد، این فقط مکعب و ریشه مربع نیست
از تکرار هالی با تقسیم استفاده می کند. :
$x_{n+1} = x_n \frac{2b+x_n^3}{b+2x_n^3}.$

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{a}}={\sqrt[{3}]{x^{3}+y}}=x+{\cfrac {y}{3x^{2}+{\cfrac {2y}{2x+{\cfrac {4y}{9x^{2}+{\cfrac {5y}{2x+{\cfrac {7y}{15x^{2}+{\cfrac {8y}{2x+\ddots }}}}}}}}}}}}}{\displaystyle {\sqrt[{3}]{a}}={\sqrt[{3}]{x^{3}+y}}=x+{\cfrac {y}{3x^{2}+{\cfrac {2y}{2x+{\cfrac {4y}{9x^{2}+{\cfrac {5y}{2x+{\cfrac {7y}{15x^{2}+{\cfrac {8y}{2x+\ddots }}}}}}}}}}}}}
{\displaystyle =x+{\cfrac {2x\cdot y}{3(2x^{3}+y)-y-{\cfrac {2\cdot 4y^{2}}{9(2x^{3}+y)-{\cfrac {5\cdot 7y^{2}}{15(2x^{3}+y)-{\cfrac {8\cdot 10y^{2}}{21(2x^{3}+y)-\ddots }}}}}}}}.}{\displaystyle =x+{\cfrac {2x\cdot y}{3(2x^{3}+y)-y-{\cfrac {2\cdot 4y^{2}}{9(2x^{3}+y)-{\cfrac {5\cdot 7y^{2}}{15(2x^{3}+y)-{\cfrac {8\cdot 10y^{2}}{21(2x^{3}+y)-\ddots }}}}}}}}.}$
تصویر

ارسال پست