دوست گرامی اعداد مختلطComplex number یا عدد هم‌تافت تشکیل یک فیلد میدن فیلد مختلط C ازاونجایی که عدد مختلط a + bi به‌طور منحصربه‌فرد با یک زوج مرتب (a, b) نمایش داده میشه پس اعداد مختلط یک تناظر یک به یک با نقاط در صفحه دارند. به آن صفحه مختلط میگن.a+bi جمع یک عدد واقعی a و یک عدد خیالی bi را نشان میده. همچنین می توان یک عدد مختلط را به عنوان یک نقطه در $\mathbb{R}^2$ نشون داد: (a,b)، که در آن a جزء واقعی و b جزء خیالی است. می توانیم این نمایش ها را به صورت بنویسیم
a+bi=a(1,0)+b(0,1)=(a,b)تو مختصات قطبی هم $z = x + yi) $میگیم ${\displaystyle \textstyle r=|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.\,}$ خوب قابلیت انجام کلیه عملیات ریاضی رو داره عدد مختلط $z=a+ bi$ را در نظر بگیرید. این عدد را میتوانیم به‌عنوان نقطه (a,b) در دستگاه مختصات کارتزین استاندارد یا به‌عنوان برداری که از مبدا شروع شده و پایان آن در نقطه (a,b) است، در نظر بگیریم نمایش اعداد مختلط، محور x، محور حقیقی و محورy، محور موهومیه. اغلب، صفحه
xy را صفحه مختلط می‌نامیم.فرم قطبی $\begin{equation}z = r\left( {\cos \theta + i\sin \theta } \right) \end{equation}$با تریف $a = r\cos \theta \hspace{0.75in} b = r\sin \theta$که $\theta = \arg z$یا $\begin{equation}\tan \theta = \frac{b}{a}\end{equation}$با فرمولاویلر بحث نمایی ا $\begin{equation}{{\bf{e}}^{i\,\theta }} = \cos \theta + i\sin \theta \end{equation}$یا $z = r{{\bf{e}}^{i\,\theta }}$پی میشه عملیات ریاضی انجام داد حتی ریشه اعداد مختلط هم محاسبه کرد
در مکانیک سیالات از اعداد مختلط برای توصیف جریان پتانسیل در دو بعد استفاده می شود.
حتی در سیستم های مکانیکی دستگاه های متقابل پیچیده ای با انرژی ذخیره شده در فلایویل ها یا فنرها وجود دارد. سلف ها و خازن ها از این نظر مشابه هستند که می توانند انرژی را ذخیره کنند، که در ریاضیات به آن مقدار خیالی میگن .
درس کنترل هواپیما اعداد مختلط به ما این امکان را میده که ویژگی های سیستم های دینامیکی را از دیدگاه فرکانس توصیف کنیم. این تحلیل را می توان با استفاده از ایده تابع انتقال طیفی که از تابع انتقال با جایگزینی متغیر مختلط "s" با "jω" محاسبه کردتو درس کنترل اتوماتیک قسمت پاسخ های فرکانسی خیلی کاربرد داره پاسخ فركانسي همان رفتار سينوسي يك سيستم ديناميكي در حالت ماندگار ه. فقط یک مثال اما بسیار جذاب از کاربرد اعداد مختلط در تئوری هیدرودینامیک/آیرودینامیک به شما بدم مفهوم تابع تحلیلی همراه با معادلات کوشی-ریمان برای تعیین طرح‌های بخش AEROFOIL برای هواپیما و سایر وسایل بالابر در مهندسی هوانوردی استفاده میشه .
برای جریان پتانسیل دو بعدی، میدان سرعت (u,v) دارای پیچش صفر است و باید شیب پتانسیل ϕ باشد:
$u = \frac{\partial \phi}{\partial x}, \,\,\,\,\, v = \frac{\partial \phi}{\partial y}$
معمولاً فرض می کنیم که مولفه های سرعت با توجه به مختصات (x,y) بی نهایت قابل تفکیک هستند. پتانسیل مختلط یک تابع تحلیلی $f(z) = \phi(x,y) + i \psi(x,y)$ از متغیر مختلط$ z=x+iy$ است که قسمت واقعی ϕ پتانسیل سرعت و قسمت خیالی ψ است. به نام تابع جریان.
با تحلیل f می توانیم معادلات کوشی-ریمان را برای بدست آوردن اعمال کنیم
$u = \frac{\partial \phi}{\partial x} = \frac{\partial \psi}{\partial y}, \\ v= \frac{\partial \phi}{\partial y} = -\frac{\partial \psi}{\partial x},$
و مشتق مختلط توسط داده می شود
$\frac{df}{dz} = \frac{\partial \phi}{\partial x} + i\frac{\partial \psi}{\partial x} = \frac{\partial \psi}{\partial y} - i\frac{\partial \phi}{\partial y} = \frac{\partial \phi}{\partial x} - i\frac{\partial \phi}{\partial y} = u - iv.$
توجه کنید که مشتق $\frac{df}{dz}$ به اصطلاح سرعت مختلط u−iv و نه u+iv را به ما می‌دهد، که در آن بخش واقعی و خیالی مولفه‌های سرعت با علائم صحیح هستند.
برای به دست آوردن $u + iv$ باید علامت i را در همه جا در f(z) تغییر دهیم و مشتق را نسبت به $\bar{z}$ بگیریم.
مزدوج معمولی عدد مختلط f(z) $\overline{f(z)} = \phi(x,y) - i\psi(x,y)$ است. تابع مختلط مزدوج$\bar{f}$را به صورت تعریف کنید
$\bar{f}(z) = \overline{f(\bar{z})} = \phi(x,-y) - i \psi(x,-y),$
بنابراین
$\bar{f}(\bar{z}) = \overline{f(\bar{\bar{z}})} = \overline{f(z)}= \phi(x,y) - i \psi(x,y).$
بدین ترتیب،
$\frac{d}{d\bar{z}}\bar{f}(\bar{z}) = \frac{\partial \phi}{\partial x} - i\frac{\partial \phi}{\partial(-y)} = \frac{\partial \phi}{\partial x} + i\frac{\partial \phi}{\partial y} = u +iv.$.
نتیجه نهایی این است که -- برای به دست آوردن $u +iv$را با مزدوج −i و z را با مزدوج$\bar{z}$ در همه جای f(z) جایگزین کنید و سپس مشتق را نسبت به مزدوج$\bar{z}$ بگیرید.
به عنوان مثال، فرض کنید پتانسیل مختلط$f(z) = -iz^2$ باشد.
سپس
$u - iv = \frac{df}{dz} = -2iz = -2i(x+iy) = 2y -i(2x)\\ \implies u = 2y, \,\,\,\,\, v = 2x$
و$u + iv = \frac{d\bar{f}}{d\bar{z}} = \frac{d}{d\bar{z}}(i\bar{z}^2) = 2i\bar{z} = 2i(x-iy) = 2y +i(2x)\\ \implies u = 2y, \,\,\,\,\, v = 2x$ خلاصه دنیایی واسه خودش .
همونطور که میدونی ما از اعداد مثبت میتونیم جذر بگیریم ولی از اعداد منفی نمیتونیم. چون نمیتونیم عدد پیدا کنیم که در خودش ضرب بشه و حاصلش منفی بشه. چرا؟؟؟ چون یه عدد یا مثبته یا منفی، حالا اگه مثبت باشه، مثبت در مثبت ضرب میشه و حاصلش مثبت میشه و اگه عدد منفی باشه، منفی در منفی ضرب میشه و حاصلش باز مثبت میشه. پس ما برای مثال نمیتونیم جذر عدد منفی یک رو پیدا کنیم. چون عددی رو پیدا نمیکنیم که در خودش ضرب بشه و بشه منفی یک. حالا اینجا ریاضیدان ها یهو جوگیر شدن و گفتن فرض کنیم که چنین عددی وجود داره که در خودش ضرب بشه و بشه منفی یک. همینطور عشقی اسم اون عدد رو گذاشتن "i" به چنین اعدادی اعداد موهومی میگن. الان i×i=-1 میشه. اعدادی مثل 2i, 3i, 6.5i اعداد موهومی هستن.
