سری لوران-اعداد استرلینگ-اعداد اویلر-تابع دلتای کرونکر

[rohamavation]

در ریاضیات سری لوران از یک تابع پیچیدهf(z) نمایشی از آن تابع به عنوان یک سری توانه که شامل شرایط درجه منفیه. ممکنه برای بیان توابع پیچیده در مواردی استفاده بشه که بسط سری تیلور نمی تونه اعمال بشه.سری Laurent برای عملکرد پیچیدهسری لوران نمایشی از تابع مختلط f(z) به صورت یک سری است. برخلاف سری تیلور که f(z) را به صورت یک سری با توان‌های غیرمنفی z نشان میده سری لوران شامل جملاتی با توان‌های منفیه. در نتیجه در مواردی که استفاده از بسط تیلور امکان‌پذیر نباشه می‌توان سری لوران Laurent Series را به کار برد.در این بخش، روش به دست آمدن سری لوران را بررسی می‌کنیم. دو کانتور دایره‌ای C2 و C1 را در نظر بگیرید که شعاع C1 بزرگ‌تر از شعاع C2 است. فرض کنیدz0 درون C1 و C2 قرار داشته باشد، و z بین C1 و C2 باشه. اکنون، پاره‌خط Cc بینC1 و C2 را ایجاد کرده و در مسیر $C\equiv C_1+C_c-C_2-C_c$ انتگرال‌گیری می‌کنیم، به گونه‌ای که مثبت و منفی Cc یکدیگر را حذف کنند. با توجه به فرمول انتگرال کوشی داریم:$\large \begin {eqnarray}
f ( z ) & = & { 1 \over 2 \pi i } \int _ C { f ( z’ ) \over z’ -z } \, d z’ \nonumber \\
& = & { 1 \over 2 \pi i } \int _ { C _ 1 } { f ( z’ ) \over z’ -z } \, d z’ + { 1 \over 2 \pi i } \int _ { C _ c } { f ( z’ ) \over z’ – z } \, d z’ \nonumber \\
& \phantom { = } & – { 1 \over 2 \pi i } \int _ { C _ 2 }{ f ( z’ ) \over z’ – z } \, d z’ – { 1 \over 2 \pi i } \int _ { C _ c }{ f ( z’ ) \over z’ – z } \, d z’ \nonumber \\
& = & { 1 \over 2 \pi i } \int _ { C _ 1 } { f ( z’ ) \over z’ -z } \, d z’ – { 1 \over 2 \pi i } \int _ { C _ 2 } { f ( z’ ) \over z’ – z } \, d z’ .
\end {eqnarray}$اکنون، بخش‌های مربوط به پاره‌خط که جهت مخالف نیز دارند، حذف می‌شوند:$\large \begin {eqnarray}
f ( z ) & = & { 1 \over 2 \pi i } \int _ { C _ 1 } { f ( z’ ) \over ( z’ – z _ 0 ) – ( z – z _ 0 ) } d z’ – { 1 \over 2 \pi i } \int _ { C _ 2 } { f ( z’ ) \over ( z’ – z _ 0 ) – ( z -z _ 0 ) } d z’ \nonumber \\
& = & { 1 \over 2 \pi i } \int _ { C _ 1 } { f ( z’ ) \over ( z’ – z _ 0 ) \left ( { 1 – { z – z _ 0 \over z’ – z _ 0 } } \right ) } \, d z’ – { 1 \over 2 \pi i } \int _ { C _ 2 } { f ( z’ ) \over ( z – z _ 0 ) \left ( { { z’ – z _ 0 \over z – z _ 0 } – 1 } \right ) } \, d z’ \nonumber \\
& = & { 1 \over 2 \pi i } \int _ { C _ 1 } { f ( z’ ) \over ( z’ -z _ 0 ) \left ( { 1 – { z – z _ 0 \over z’ – z _ 0 } } \right ) } \,d z’ + { 1 \over 2 \pi i } \int _ { C _ 2 } { f ( z’ ) \over ( z -z _ 0 ) \left ( { 1 – { z’ – z _ 0 \over z – z _ 0 } } \right ) } \, d z’ .
\end {eqnarray}$در انتگرال اول$| z’ – z _ 0 | > |z-z_ 0 |$ و در انتگرال دوم$|z’-z_0|< | z – z _ 0 |$ است. اکنون از بسط تیلور (معتبر برای$|t|<1$) استفاده می‌کنیم:$\large \begin {equation}
{ 1 \over 1 – t } = \sum _ { n = 0 } ^ \infty t ^ n
\end {equation}$دارم $\large \begin {eqnarray}
f ( z ) & = & { 1 \over 2 \pi i } \left [ { \int _ { C _ 1 } { f ( z’ ) \over z’ – z _ 0 } \sum _ { n = 0 } ^ \infty \left ( { z – z _ 0 \over z’ – z _ 0 } \right ) ^ n \, d z’ + \int _ { C _ 2 } { f ( z’ ) \over z – z _ 0 } \sum _ { n = 0 } ^ \infty \left ( { z’ – z _ 0 \over z – z _ 0 } \right ) ^ n \, d z’ } \right ] \nonumber \\
& = & { 1 \over 2 \pi i } \sum _ { n = 0 } ^ \infty ( z -z _ 0 ) ^ n \int _ { C _ 1 } { f ( z’ ) \over ( z’ – z _ 0 ) ^ { n + 1 } } \, d z’ \nonumber \\
& \phantom { = } & + { 1 \over 2 \pi i } \sum _ { n = 0 } ^ \infty ( z – z _ 0 ) ^ { – n – 1 } \int _ { C _ 2 } ( z’ -z _ 0 ) ^ n f ( z’ ) \, d z’ \nonumber \\
& = & { 1 \over 2 \pi i } \sum _ { n = 0 } ^ \infty ( z – z _ 0 ) ^ n \int _ { C _ 1 } { f ( z’ ) \over ( z’ – z _ 0 ) ^ { n + 1 } } \, d z’ \nonumber \\
& \phantom { = } & + { 1 \over 2 \pi i } \sum _ { n = 1 } ^ \infty ( z – z _ 0 ) ^ { – n } \int _ { C _ 2 } ( z’ -z _ 0 ) ^ { n + 1 } f ( z’ ) \, d z’ ,
\end {eqnarray}$که در آن، عبارت دوم، تغییر متغیر داده شده است. با یک بار دیگر تغییر متغیر، داریم:$\large \begin {equation}
f ( z ) = { 1 \over 2 \pi i } \sum _ { n = 0 } ^ \infty ( z -z _ 0 ) ^ n \int _ { C _ 1 } { f ( z’ ) \over ( z’ – z _ 0 ) ^ { n + 1 } } \, d z’ \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;+ { 1 \over 2 \pi i } \sum _ { n = – \infty } ^ { – 1 } ( z -z _ 0 ) ^ n \int _ { C _ 2 } { f ( z’ ) \over ( z’ -z _ 0 ) ^ { n + 1 } } \, d z’ .
\end {equation}$اکنون از قضیه انتگرال کوشی استفاده می‌کنیم انتگرال کانتور یک تابع بدون محصور کردن قطب در 0 داشته باشد. اما
$1 / (z’ – z _ 0 ) ^ { n + 1 }$ هیچگاه درون C2 برای n≥0 تکین نخواهد شد و $1 / ( z’ – z _ 0 ) ^ { n + 1 }$ هیچگاه درون C1
برای n≤–1 تکین نمی‌شود. به طور مشابه، قطبی در پاره‌خط بسته $C _ c – C _ c$ وجود ندارد. بنابراین، می‌توانیم C1 و C2 را در انتگرال‌های بالا بدون تغییر مقادیرشان با C تعویض کنیم. در نتیجه، خواهیم داشت:$\large \begin {eqnarray}
f ( z ) & = & { 1 \over 2 \pi i } \sum _ { n = 0 } ^ \infty ( z – z _ 0 ) ^ n \int _ { C } { f ( z’ ) \over ( z’ – z _ 0 ) ^ { n + 1 } } \, d z’ \nonumber \\
& \phantom { = } & + { 1 \over 2 \pi i } \sum _ { n = – \infty } ^ { – 1 } ( z – z _ 0 ) ^ n \int _ { C } { f ( z’ ) \over ( z’ – z _ 0 ) ^ { n + 1 } } \, d z’ \nonumber \\
& = & { 1 \over 2 \pi i } \sum _ { n = – \infty } ^ \infty ( z – z _ 0 ) ^ n \int _ C { f ( z’ ) \over ( z’ -z _ 0 ) ^ { n + 1 } } \, d z’ \nonumber \\
& \equiv & \sum _ { n = – \infty } ^ \infty a _ n ( z – z _ 0 ) ^ n .
\end {eqnarray}$تنها الزام C این است که z را محصور کند، به گونه‌ای که برای انتخاب هر کانتور γ آزاد باشیم. بنابراین، مانده an
به صورت زیر تعریف می‌شود:$\large \begin {equation}
a _ n \equiv { 1 \over 2 \pi i } \int _ \gamma { f ( z’ ) \over (z’ – z _ 0 ) ^ { n + 1 } } \, d z’ .
\end {equation}$محاسبه بسط سری لوران توابع
برای محاسبه سری لوران از سری هندسی استاندارد و اصلاح شده استفاده می‌کنیم که به صورت زیر است:$\large \begin {equation} \frac { 1 } { 1 – z } = \left \{ \begin {array} { c l } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } z ^ { n } , & | z | < 1 \\- \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { z ^ { n } } , & | z | > 1 \end {array} \right . \end {equation} \;\;\;\;\; ( 1 )$در اینجا$f ( z ) = \frac {1}{1-z}$ در همه جا جز تکینگی z=1 تحلیلی است. عبارات بالا، بسط‌‌های f در ناحیه‌های درون و بیرون دایره‌ای به شعاع 1 و مرکز
z=0 هستند که $|z|< 1$ ناحیه درون دایره و $|z|>1$ ناحیه خارج از آن است.به یاد بیاورید که تابع f از متغیر مختلط z در نقطه z0 تحلیلی است اگر در هر نقطه در محله ای از z0 مشتقی داشته باشد. یک تابع کامل تابعی است که در هر نقطه از کل صفحه محدود تحلیلی است. اگر تابع f در نقطه z0 نمی تواند تحلیلی باشد اما در نقطه ای در هر محله z0 تحلیلی است، سپس z0 نقطه مفرد یا تکینگی f نامیده می شود.فرض کنید که f(z)یا هر شاخه با ارزش واحدی از f(z)، اگر f(z) چند ارزشی است، در منطقه $0\lt|z-z_0|\lt R$تحلیلی است و نه در نقطه z0. سپس نقطه z0 یک نقطه منفرد جدا شده از f(z) نامیده می شود..
اکنون، همچنین به یاد بیاورید که هر تابعی که در سراسر دیسک تحلیلی است$|z -z_0|\lt R_0$ باید یک سری تیلور در مورد z0 داشته باشد. اگر تابع نتواند در نقطه z0 تحلیلی باشد، اغلب می توان یک نمایش سری برای f(z) پیدا کرد. شامل هر دو قدرت مثبت و منفی z-z0. به طور رسمی نتیجه زیر را داریم:قضیه: فرض کنید تابع f در سراسر یک دامنه حلقوی $R_1 \lt |z - z_0| \lt R_2$ تحلیلی است، با مرکز z0و اجازه دهید C هر کانتور بسته ساده با جهت مثبت در اطراف z0 را نشان می دهد و در آن . سپس در هر نقطه از دامنه، f(z) دارای نمایش سری $f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n(z-z_0)^n+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{b_n}{(z-z_0)^n}$
در عمل، فرمول های انتگرال فوق (2) و (3) ممکن است کاربردی ترین روش را برای محاسبه ضرایب an ارائه ندهد
و bn برای یک تابع معین f(z); درعوض، اغلب با ترکیب بسط های شناخته شده تیلور، سری Laurent را با هم ترکیب می کنیم. از آنجا که بسط Laurent یک تابع هر زمان که وجود داشته باشد منحصر به فرد است، هر عبارتی از این شکل که در واقع برابر با تابع داده شده f(z) باشد. در برخی حلقه ها در واقع باید بسط لورن f(z) باشد.
به عنوان مثال، تابع را در نظر بگیرید$f(z)=\frac{1}{z(1+z^2)}$که دارای تکینگی های ایزوله در z=0 است و z=±i. در این مورد، نمایش سری Laurent برای دامنه $0\lt |z|\lt 1$ وجود دارد و همچنین یکی برای دامنه $1\lt |z|\lt \infty$، که بیرون دایره است |z|=1
. برای یافتن هر یک از این سری های Laurent، نمایش سری Maclaurin را به یاد می آوریم$\frac{1}{1-z}=\sum_{n=0}^{\infty}z^n,\quad |z|\lt 1.$
$a_n=\frac{1}{2\pi i}\oint_C \frac{f(z)dz}{(z-z_0)^{n+1}},\quad n=0,1,2,$
$b_n=\frac{1}{2\pi i}\oint_C \frac{f(z)dz}{(z-z_0)^{-n+1}},\quad n=1,2,$
در سراسر یک دامنه حلقوی$R_1 \lt |z - z_0| \lt R_2$ تحلیلی است
.در عمل، فرمول های انتگرال فوق (2) و (3) ممکن است کاربردی ترین روش را برای محاسبه ضرایب an ارائه ندهد
و bn برای یک تابع معین f(z); درعوض، اغلب با ترکیب بسط های شناخته شده تیلور، سری Laurent را با هم ترکیب می کنیم. از آنجا که بسط Laurent یک تابع هر زمان که وجود داشته باشد منحصر به فرد است، هر عبارتی از این شکل که در واقع برابر با تابع داده شده f(z) باشد. در برخی حلقه ها در واقع باید بسط لورن f(z) باشد.
.به عنوان مثال، تابع را در نظر بگیرید
$f(z)=\frac{1}{z(1+z^2)}$که دارای تکینگی های ایزوله در z=0 است و z=±i. در این مورد، نمایش سری Laurent برای دامنه $0\lt |z|\lt 1$ وجود دارد و همچنین یکی برای دامنه$0\lt |z|\lt 1$، که بیرون دایره است |z|=1. برای یافتن هر یک از این سری های Laurent، نمایش سری Maclaurin را به یاد می آوریم$\frac{1}{1-z}=\sum_{n=0}^{\infty}z^n,\quad |z|\lt 1.$
برای دامنه 0<|z|<1، ما داریم
در این بخش آخر از این واقعیت استفاده می کنیم که $(-1)^{n-1}=(-1)^{n-1}(-1)^2=(-1)^{n+1}$
. در یک سری Laurent معتبر برای 0<|z|<∞
.$\frac 1{1+t}=1-t+t^2-t^3+\cdots$که می دانیم برای |t|<1 برقرار است. با انتگرال گیری از طرفین تساوی بالا از صفر تا x
داریم$\begin{align}\int_0^x \frac 1{1+t}dt&=\ln (1+x)\\
&=x-\frac{x^2}2+\frac{x^3}3-\frac{x^4}4+\cdots\end{align}$
پس چند جمله ای لورن سری لورن است که در آن فقط تعداد محدودی ضرایب غیر صفر هستند. چند جمله ای های لوران با چند جمله ای های معمولی تفاوت دارند زیرا ممکن است دارای درجه منفی باشند.
چگونه سری Laurent را برای$f(z)=\frac 1{\cos(z^4)-1}$ بدست آوریم
من می دانم که
$\cos(z^4)-1=-\frac{z^8}{2!}+\frac{z^{16}}{4!}+...$
اما چگونه می توانم متقابل این سری را بگیرم (لطفاً از علامت کم استفاده نکنید)؟ یا روش های بهتری برای بدست آوردن سری های مورد نیاز وجود دارد؟تابع $f(z)=\frac1{\cos(z^4)-1}$
را می توان به عنوان بازآرایی کرد
$\begin{align*}
f(z)&=-\frac1{1-\cos(z^4)}\\
&=-\frac{1}{2\sin^2\frac{z^4}2}\\
&=-\frac12\biggl(\frac{2}{z^4}\biggr)^2 \Biggl(\frac{\frac{z^4}{2}}{\sin\frac{z^4}{2}}\Biggr)^2\\
&=-\frac{2}{z^8} \Biggl\{1+\sum_{q=1}^{\infty}(-1)^q\Biggl[\sum_{k=1}^{2q}\frac{(2)_k}{k!}
\sum_{j=1}^k(-1)^j\binom{k}{j} \frac{T(2q+j,j)}{\binom{2q+j}{j}}\Biggr]\frac{z^{8q}}{(2q)!}\Biggr\},\quad z^4<2\pi,
\end{align*}$جایی که $(2)_k$
نماد Pochhammer یا فاکتوریل افزایشی است و$T(2q+j,j)$
نشان دهنده اعداد فاکتوریل مرکزی نوع دوم است.
من می خواهم این فرمول بازگشتی را برای اعداد استرلینگ نوع اول اثبات کنم:
$s_{n+1,k+1} = \sum_{i=k}^{n} \binom{i}{k} s_{n,i}$
اما من فاقد یک ایده مفید هستم. شاید کسی بتواند به من کمک کنه
با احترام.نکته: با استفاده از فرمول فاکتوریل سقوط، توجه داشته باشید که
$(x)_{n+1} = x \cdot (x-1)_n \; .$
فاکتوریل سقوط را بر حسب اعداد استرلینگ نوع اول و توان های $(x-1)^k$ توسعه دهید.
. سپس، از فرمول دو جمله ای نیوتن برای بسط توان$(x-1)^k$ استفاده کنید
. کمی تنظیم مجدد اصطلاحات اثبات را تمام می کند.
از (توجه داشته باشید که فرموم را کمی تغییر دادم، خواهید دید که تشخیص نتیجه نهایی آسانتر است)
$\sum_{i=0}^{n}\sum_{k=0}^{i} s(n,i)\binom{i}{k} (-1)^{i-k} x^{k+1}$
شما می توانید به عنوان دوباره تنظیم کنید
$\sum_{k=0}^{n}\sum_{i=k}^{n} s(n,i)\binom{i}{k} (-1)^{i-k} x^{k+1} \; .$
اگر این را نمی بینید، برخی از شرایط این مجموع دو برابر را به صراحت کار کنید، باید واضح باشد. سپس سمت چپ معادله فاکتوریل در حال سقوط است
$(x)_{n+1}=\sum_{k=0}^{n+1} s(n+1,k) x^k = \sum_{k=0}^{n} s(n+1,k+1) x^{k+1}$
با مساوی کردن سمت چپ و راست، دریافت می کنیم
$s(n+1,k+1) = \sum_{i=k}^{n} s(n,i)\binom{i}{k} (-1)^{i-k} \; .$.
اکنون، ممکن است این فرمولی متفاوت از فرمولی باشد که شما باید آن را استخراج کنید، اما این فقط به این دلیل است که من فرمولی را برای اعداد استرلینگ امضا شده از نوع اول استخراج کردم، در حالی که فرمول شما احتمالاً برای اعداد بدون علامت بود. مشکلی نیست، فقط هر دو طرف معادلات را در$(-1)^{k-n}$ ضرب کنید
.چندین نماد مختلف برای اعداد استرلینگ در حال استفاده است. نماد رایج برای اعداد استرلینگ معمولی (امضا) از نوع اول:
s(n,k)برای اعداد استرلینگ بدون علامت از نوع اول، که تعداد جایگشت های n عنصر را با k چرخه ناپیوسته می شمارند، برابر است با:
${\displaystyle {\biggl [}{n \atop k}{\biggr ]}=c(n,k)=|s(n,k)|=(-1)^{n-k}s(n,k) \,}$
و برای اعداد استرلینگ نوع دوم، که تعداد روش‌های تقسیم‌بندی مجموعه‌ای از n عنصر را به k زیرمجموعه غیرخالی می‌شمارند
${\displaystyle {\biggl \{}{\!n\! \atop \!k\!}{\biggr \}}=S(n,k)=S_{n}^{(k)}\,}$
به عنوان مثال، مجموع
${\textstyle \displaystyle \sum _{k=0}^{n}\left[{n \atop k}\right]=n!}$ تعداد همه جایگشت‌ها است، در حالی که مجموع
${\textstyle \displaystyle \sum _{k=0}^{n}\left\{{\!n\! \atop \!k\!}\right\}=B_{n}} $nامین شماره زنگ است.
یعنی فاکتوریل سقوط که به صورت تعریف شده است
${\displaystyle (x)_{n}=x(x-1)\cdots (x-n+1)}$، چند جمله‌ای در x از درجه n است که بسط آن برابر است
${\displaystyle (x)_{n}=\sum _{k=0}^{n}s(n,k)x^{k}}$
با اعداد استرلینگ از نوع اول به عنوان ضرایب.
${\displaystyle x^{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}S(n,k)x^{(k)}.}$سری لوران با عملکرد پیچیده
بنابراین من می خواهم سری Laurent این تابع را محاسبه کنم
$f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}, \quad f(z) = \frac{1}{z^{2}+1}.$
سری Laurent باید به این شکل باشد:
$\sum_{n=- \infty }^{ \infty } a_{n} (z-i)^n$
برای یک دیسک دایره ای$0<| z-i|<p,$جایی که $p$ باید پیدا شود
با بسط کسری جزئی دارم می گیرم
$f(z) =\frac{i}{2}\left( \frac{1}{z+i} - \frac{1}{z-i}\right).$
برای جمع اول،
$\frac{1}{z+i} = \frac{1}{2i} \frac{1}{1+\frac{z-i}{2i}} = \frac{1}{2i} \sum_{n= 0 }^{ \infty }\left(\frac{-(z-i)}{2i}\right)^n = \frac{1}{2i} \sum_{n= 0 }^{ \infty } \left(\frac{i}{2}\right)^n (z-i)^n$
برای$\left|\frac{-(z-i)}{2i}\right| < 1 \Longrightarrow \left| z-i \right| < 2.$
حالا نمیدونم چطوری ادامه بدم$\frac{1}{z-i} .$.
نظر من بدون تجزیه جزئی کسر ساده تر است: اجازه دهید$z=w+i$
سپس برای$0<|w|<2$
$f(z) = \frac{1}{z^{2}+1}=\frac{1}{w(w+2i)}=\frac{1}{2iw(1-iw/2)}=-\frac{i}{2w}\sum_{k=0}^{\infty}(iw/2)^k.$
از این رو بسط Laurent از f در $0<|z-i|<2$ است
$f(z)=-\frac{i}{2(z-i)}+\sum_{k=0}^{\infty}\frac{i^{k}(z-i)^{k}}{2^{k+2}}$
در ریاضیات، اعداد اویلر یک دنباله به شکل En از اعداد طبیعی هستند که بوسیله «سری تیلور» (Taylor Series) و به صورت زیر معرفی می‌شوند.$\large {\displaystyle {\frac {1}{\cosh t}} = {\frac {2}{e^{t} + e^{ -t}}} = \sum_{n = 0}^{\infty }{\frac {E_{n}}{n!}} \cdot t^{n}}$اعداد اویلر به شکلی خاص با چند جمله‌ای اویلر در ارتباط هستند.$\large {\displaystyle E_{n}=2^{n}E_{n}({\tfrac {1}{2}})}$نکته: چند جمله‌ای اویلر به صورت زیر نوشته می‌شود.$\large E_m(x)= \sum_{n=0}^m \frac{1}{2^n} \sum_{k=0}^n (-1)^k {n \choose k} (x+k)^m$که در آن m درجه چند جمله‌ای و (nk) ترکیب k از n است.
اعداد برنولی در بسط یا سری تیلور برای تابع «سکانت» (Secant) و «سکانت هذلولوی» (Secant Hyperbolic) نیز دیده می‌شوند. همچنین این اعداد را در «ترتیب‌های متناوب» (Alternating Permutations) زمانی که تعداد عناصر زوج باشد می‌توان مشاهده کرد.رابطه‌هایی که در ادامه مشاهده می‌کنید، نحوه تشکیل اعداد برنولی را برحسب «اعداد استرلینگ نوع دوم» (Striling Numbers of the Second Kind) نشان می‌دهkد.$\large {\displaystyle E_{r}=2^{2r-1}\sum _{k=1}^{r}{\frac {(-1)^{k}S(r,k)}{k+1}}\left(3\left({\frac {1}{4}}\right)^{(k)}-\left({\frac {3}{4}}\right)^{(k)}\right)}$و همچنین رابطه زیر نیز برای زمانی که مرتبه زوج اعداد اویلر مورد نظر باشد، مناسب است.$\large {\displaystyle E_{2l}=-4^{2l}\sum _{k=1}^{2l}(-1)^{k}\cdot {\frac {S(2l,k)}{k+1}}\cdot \left({\frac {3}{4}}\right)^{(k)}}$در رابطه‌های بالا منظور از S(r,k) عدد استرلینگ نوع دوم بوده و x(n) که به آن «فاکتوریل صعودی» (Rising Factorial) گفته می‌شود نیز به شکل زیر محاسبه می‌شود.$\large {\displaystyle x^{(n)} = (x)(x + 1)\cdots (x + n – 1 )}$به این ترتیب می‌توانیم این دنباله از اعداد را به صورت زیر محاسبه کنیم.$E_0 = 1 \\ E_2 = −1 \\ E_4 = 5 \\ E_6 = −61 \\ E_8 = 1385 \\ E_10 = 50521 \\ E_12 = 2702765 \\ E_14 = −199360981 \\ E_16 = 19391512145 \\ E_18 = −2404879675441$ دنباله اعداد اویلر برای مرتبه‌های فرد برابر با صفر است. همچنین برای مرتبه یا اندیس‌های زوج نیز ترتیب علامت اعداد اویلر به طور متناوب تغییر می‌کند. نظیر این ویژگی را در «اعداد برنولی» (Bernoulli’s Numbers) نیز مشاهده کرده‌اید.نمایش اعداد اویلر به کمک جمع مضاعف
رابطه زیر اعداد اویلر را به کمک «جمع مضاعف» (Double Sums) نشان می‌دهد.$\large {\displaystyle E_{2k}=(2k+1)\sum _{\ell =1}^{2k}(-1)^{\ell }{\frac {1}{2^{\ell }(\ell +1)}}{\binom {2k}{\ell }}\sum _{q=0}^{\ell }{\binom {\ell }{q}}(2q-\ell )^{2k}}$همچنین رابطه زیر نیز به همین منظور قابل استفاده است.$\large {\displaystyle E_{2k}=\sum _{i=1}^{2k}(-1)^{i}{\frac {1}{2^{i}}}\sum _{\ell =0}^{2i}(-1)^{\ell }{\binom {2i}{\ell }}(i-\ell )^{2k}}$نمایش اعداد اویلر به کمک جمع مکرر
نظیر رابطه‌ای که برای حالت نمایش جمع مضاعف اعداد اویلر داشتیم، به کمک جمع مکرر (Iterated Sum) نیز می‌توان اعداد اویلر را محاسبه کرد و نمایش داد.$\large {\displaystyle E_{2n} = i \sum _{k = 1}^{2n + 1} \sum_{j = 0}^{k}{\binom {k}{j}}{\frac {(-1)^{j}(k – 2j)^{2n + 1}}{2^{k}i^{k}k }}}$فقط توجه داشته باشید که در اینجا منظور از i همان «عدد مختلط واحد» (Imaginary Unit) است که برایش داریم $i^2 = -1$نمایش اعداد اویلر به کمک تفکیک جمعاعداد اویلر (E2n) را می‌توان به صورت جمع روی «افرازهای زوج» (Even Partitions) از 2n محاسبه کرد. به رابطه زیر دقت کنید.$\large {\displaystyle E_{2n} = (2n)! \sum _{0\leq k_{1}, \ldots ,k_{n}\leq n}{ \binom {K}{k_{1}, \ldots , k_{n}}} \delta _{n,\sum mk_{m}}\left(-{\frac {1}{2!}}\right)^{k_{1}}\left(-{\frac {1}{4!}} \right)^{k_{2}}\cdots \left(- {\frac {1}{(2n)!}} \right)^{k_{n}}}$همین کار را روی افرازهای فرد 2n−1 نیز می‌توان اجرا کرد.توجه داشته باشید که در اینجا K=k1+…+kn و داریم:$\large {\displaystyle {\binom {K}{k_{1},\ldots ,k_{n}}}\equiv {\frac {K!}{k_{1}!\cdots k_{n}!}}}$رابطه بالا، همان ضرایب چند جمله‌ای‌ها است. از طرفی نماد
δ نیز بیانگر «تابع دلتای کرونکر» (Kronecker Delta Function) است که باعث می‌شود جمع روی ks تا $2k_1 + 4k_2+ \ldots + 2nk_n= 2n$ محدود شود.به عنوان یک مثال رابطه زیر را برای محاسبه E10 در نظر بگیرید.$\large {\displaystyle {\begin{aligned}E_{10} & = 10! \left( – {\frac {1}{10!}} + {\frac {2}{2!\,8!}} + {\frac {2}{4!\,6!}} – {\frac {3}{2!^{2}\,6!}} – {\frac {3}{2!\,4!^{2}}} + {\frac {4}{2!^{3}\,4!}} – {\frac {1}{2!^{5}}}\right) \\[6pt] & = 9! \left(- {\frac {1}{9!}} + {\frac {3}{1!^{2}\,7!}} + {\frac {6}{1!\,3!\,5!}} + {\frac {1}{3!^{3}}} – {\frac {5}{1!^{4}\,5!}} – {\frac {10}{1!^{3}\,3!^{2}}} + {\frac {7}{1!^{6}\,3!}} -{\frac {1}{1!^{9}}}\right) \\[6pt] & = – 50\, 521\end{aligned}}}$شیوه دیگری برای نمایش اعداد اویلر، استفاده از نمایش «دترمینانی» (Determinant) است که در زیر قابل مشاهده اس$\large {\displaystyle {\begin{aligned}E_{2n}&=(-1)^{n}(2n)!{\begin{vmatrix}{\frac {1}{2!}}&1& & &\\{\frac {1}{4!}}&{\frac {1}{2!}}&1& &\\ \vdots &~&\ddots &\ddots &\\{\frac {1}{(2n-2)!}}&{\frac {1}{(2n-4)!}}& &{\frac {1}{2!}}&1\\{\frac {1}{(2n)!}}&{\frac {1}{(2n-2)!}}&\cdots &{\frac {1}{4!}}&{\frac {1}{2!}}\end{vmatrix}}\end{aligned}}}$نمایش اعداد اویلر به صورت انتگرال
روابط زیر نحوه نمایش اعداد اویلر را به صورت حاصل انتگرال، مشخص کرده‌اند.
$\large{\displaystyle {\begin{aligned}(-1)^{n} E_{2n} & = \int_{0}^{ \infty }{\frac {t^{2n}} { \cosh {\frac {\pi t}{2}}}}\; dt = \left( {\frac {2}{\pi }} \right) ^{2n + 1} \int _{0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{\cosh x}} \;dx \\[8pt] & = \left({\frac {2}{\pi }} \right)^{2n} \int _{0}^{1} \log ^{2n} \left( \tan {\frac {\pi t}{4}}\right) \, dt = \left({\frac {2}{\pi }}\right)^{2n + 1}\int_{0}^{\pi /2} \log ^{2n}\left( \tan {\frac {x}{2}}\right)\, dx \\[8pt] & = {\frac {2^{2n + 3}}{\pi ^{2n + 2}}}\int _{0}^{\pi /2}x \log ^{2n}(\tan x) \, dx = \left({\frac {2}{\pi }}\right)^{2n + 2}\int_{0}^{\pi }{\frac {x}{2}}\log ^{2n}\left(\tan {\frac {x}{2}}\right) \, dx\end{aligned}}}$
نمایش اعداد اویلر با استفاده از ترتیب و تناسب«تساوی ترکیباتی» (Combinational Identity) بین اعداد اویلر و اعداد اول (
p) را در رابطه زیر مشاهده می‌کنید.$\large {\displaystyle ( – 1)^{\frac {p – 1}{2}}E_{p – 1} \equiv \textstyle {\begin{cases} 0 \mod p & { \text{if }} p \equiv 1 { \bmod {4}};\\ – 2 \mod p & {\text{if }} p \equiv 3 {\bmod {4}}\end{cases}}}$
می‌توان اثبات کرد که برای هر عدد اول همنهشت با ۱ به پیمانه ۴ و عدد صحیح بزرگتر از ۱ مثل α≥1، خواهیم اشت:$\large{\displaystyle E_{\phi (p^{\alpha })/2}\not \equiv 0{\pmod {p^{\alpha }}}}$بطوری که
ϕ(n) «تابع فی اویلر» (Euler Phi Function) است.نکته: همنهشتی عدد p با ۱ به پیمانه ۴ را به صورت زیر نشان می‌دهیم.$\large p \equiv 1 (\pmod 4)$تقریب مجانبی
میزان رشد اعداد برنولی به صورت جهشی و بسیار زیاد است. در نتیجه محاسبه برای اندیس‌های بزرگ، با مشکلاتی زیادی همراه است. رابطه زیر یک کران پایین برای اعداد برنولی معرفی کرده است.$\large |E_{2 n}| > 8 \sqrt { \frac{n}{\pi} } \left(\frac{4 n}{ \pi e}\right)^{2 n}$اعداد زیگزاگ اویلر
سری تیلور برای ${\displaystyle \sec x + \tan x = \tan \left({\frac {\pi }{4}} + {\frac {x}{2}}\right)}$
به صورت زیر خواهد بود.$\large {\displaystyle \sum _{n = 0}^{\infty }{\frac {A_{n}}{n!}}x^{n}}$توجه داشته باشید که در اینجا
An اعداد زیگزاگ اویلر (Euler Zigzag Numbers) هستند که به صورت زیر مشخص شده‌اند.
برای n زوج:$\large {\displaystyle A_{n} = (- 1)^{\frac {n}{2}} E_{n}}$که در آن En عدد اویلر nام است.
برای اعداد فرد:$\large {\displaystyle A_{n} = ( – 1)^{\frac {n – 1}{2}}{\frac {2^{n + 1 } \left( 2^{n + 1} – 1\right)B_{n + 1}}{n + 1}}}$که در آن Bn نشانگر nامین عدد برنولی (Bernoulli Numbers) است.
به این ترتیب می‌توان رابطه زیر را برای اعداد زیگزاگ اویلر نوشت:$\large {\displaystyle {\frac {A_{n – 1}}{(n – 1) !}}\sin { \left({ \frac {n\pi }{2}}\right)} + \sum_{m = 0}^{n – 1}{\frac {A_{m}}{m!(n – m – 1)!}} \sin {\left( {\frac {m \pi }{2}}\right)} = {\frac {1}{(n – 1)!}}}$
در نتیجه این اعداد، تشکیل دنباله‌ای می‌دهند که چند عنصر اول آن در ادامه آورده شده است.$1, 1, 1, 2, 5, 16, 61, 272, 1385, 7936, 50521, 353792, 2702765, 22368256, 199360981,\\ 1903757312, 19391512145, 209865342976, 2404879675441, 29088885112832, \ldots$
تابعی از دو متغیر است که زمانی که متغیرها دارای مقادیر یکسانی هستند 1 و زمانی که مقادیر متفاوتی دارند 0 است.فاکتور کرونکر-دلتا یک "ردیابی" انجام می دهد، به معنای جمع کردن اجزای مورب. به یاد داشته باشید که $\delta_{ij}=0$اگر i≠j باشد. بنابراین، برای هر تابع f(i،j)، شما باید داشته باشید
$\begin{equation}
\sum_{i,j} \delta_{ij} f(i,j) = \sum_{i=j} f(i,j) = \sum_i f(i,i)
\end{equation}$
پس در مثال شما،
$\begin{equation}
\sum_{i,j} (1+\delta_{ij}) M_{ij} = \sum_{i,j} M_{ij} + \sum_i M_{ii}
\end{equation}$
جمله اول مجموع هر عنصر در ماتریس است. جمله دوم مجموع عناصر روی قطر است
دلتای کرونکر تابعی است با دامنه مجموعه جفت‌ها (از هر مجموعه شاخصی که باشد) و مجموعه {0،1} را هم دامنه دارد.
ماتریس هویت n×n که به عنوان یک تابع تفسیر می شود، تابعی است با n-tuples دامنه و codomain n-tuples.
آنها یکسان نیستند. آنها یک دامنه ندارند، آنها یک codomain یکسان ندارند.
شاید منظور شما این بود که:
بگوییم که مجموعه شاخص ها$\{1,2,\ldots,k\}$ است. سپس ماتریس A که ورودی (i,j) آن δij است دقیقاً ماتریس هویت k×k است. چرا از ماتریس برای نمایش تابع دلتای کرونکر استفاده نمی کنیم؟
پاسخ این است: به همان دلیلی که ما از نمادهایی مانند f(x) و فرمول ها در هنگام برخورد با توابع به جای استفاده از نمودارهای آنها استفاده می کنیم. استفاده از نام تابع و فرمول آن بسیار کشسان تر و مفیدتر از تلاش برای استفاده دائمی از "گراف" است، چیزی که آن ماتریس با آن مطابقت دارد.
اضافه. ممکن است ارزش افزودن داشته باشد که من کتابهایی را دیده ام که مسیر دیگری را دنبال می کنند: آنها ماتریس هویت n×n را با گفتن اینکه ورودی (i,j) آن δij است تعریف می کنند. یعنی ماتریس هویت را به عنوان "گراف" تابع دلتای کرونکر در مجموعه شاخص تعریف می کنند.تابع دلتای کرونکر

[rohamavation]

«تابع دلتای کرونکر» (Kronecker Delta Function) یک تابع دو متغیره است که معمولا براساس مقادیر صحیح نامنفی محاسبه می‌شود. این تابع در صورت برابری دو متغیر آن، برابر با یک و در غیر اینصورت مقدار صفر را خواهد داشت.
$\large \delta _{{ij}} = {\begin{cases} 0 & {\text{if }} i \neq j , \\ 1 & {\text{if }} i = j \end{cases}}$
نکته: گاهی تابع دلتای کرونکر را به صورت «براکت ایروسن» (Iverson Brackets) نشان می‌دهند.$\large {\displaystyle \delta _{ij} = [i = j] \,}$برای مثال مقدار دلتای کرونکر برای $\delta_{1 \ 2}$ برابر با صفر ولی برای $\delta_{ 3\ 3}$δ3 3 برابر با ۱ است.
البته شرط صحیح (نامنفی) بودن متغیرهای این تابع می‌تواند برداشته شده و برای اعداد گویا و منفی نیز تعریف قبلی به کار برده شود. به این ترتیب رابطه‌های زیر را خواهیم داشت.$\large {\displaystyle {\begin{aligned}\delta_{(-1)(-3)}& = 0 & \qquad \delta _{(- 2)(- 2)} & = 1 \\ \delta_{\left({\frac {1}{2}}\right) \left(-{\frac{3}{2}} \right)}& = 0 & \qquad \delta_{\left({ \frac {5}{3}} \right) \left( {\frac {5}{3}} \right) } & = 1 \end{aligned}}}$
نکته: متاسفانه تابع دلتای کرونکر برای «اعداد مختلط» (Complex Numbers) به کار برده نمی‌شود.
یک شیوه دیگر نیز برای نمایش تابع دلتای کرونکر وجود دارد که از یک پارامتر بهره می‌برد. به این ترتیب تابع دلتای کرونکر را به صورت δi نشان داده و در حقیقت پارامتر j را برابر با صفر در نظر می‌گیرند. در این حال تابع دلتای کرونکر به شکل زیر حاصل می‌شود.
$\large\delta_{i} = \begin{cases} 0, & \mbox{if } i \ne 0 \\ 1, & \mbox{if } i=0 \end{cases}$
تابع دلتای کرونکر در بسیاری از موارد و حوزه‌های مربوط به فیزیک و مهندسی نیز ظاهر می‌شود. برای مثال، در جبر خطی (Linear Algebra)، می‌توان «ماتریس یکه» یا «ماتریس همانی» (Identity Matrix) که یک ماتریس مربعی n×n است را برحسب تابع دلتای کرونکر نمایش داد.$\large {\displaystyle I_{ij}=\delta _{ij}}, \;\;i , j = 1 , 2, , \ldots , n$
حتی «ضرب داخلی بردارهای» (Inner Product) برحسب تابع دلتای کرونکر قابل تعیین است. فرض کنید که a و b دو بردار باشند. در این صورت ضرب داخلی آن‌ها را با استفاده از تابع دلتای کرونکر به صورت زیر می‌توان نوشت:$\large{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i,j=1}^{n}a_{i}\;\; \delta _{ij} \;\; b_{j}}$
leopold kroneckerلئوپولد کرونکر (Leopold kronecker)، ریاضیدان آلمانینکته: تابع دلتای کرونکر را به کمک تابع نمایی و عدد مختلط واحد ($i^2 = – 1$ به صورت مجموع یک دنباله نیز می‌توان نشان داد که برگرفته از «سری هندسی متناهی» (Finite Geometric Series) است.$\large {\displaystyle \delta_{nm} = { \frac {1}{N}} \sum_{k = 1}^{N}e^{2\pi i{\frac {k}{N}}(n – m)}}$
خواص تابع دلتای کرونکرخواص زیر برای تابع دلتای کرونکر در نظر گرفته می‌شوند. البته توجه داشته باشید که مقدار ai، یک عدد حقیقی است.$\large \sum_{j} \delta_{ij} a_j = a_i$و$\large \sum_{i} a_i\delta_{ij} = a_j$و$\large \sum_{k} \delta_{ik}\delta_{kj} = \delta_{ij}$با توجه به رابطه‌های بالا می‌توان ماتریس δ را به صورت یک ماتریس یکه در نظر گرفت. همچنین اگر j∈Z یعنی «اعداد صحیح» (Whole Numbers) باشد، تابع دلتای کرونکر در رابطه زیر صدق خواهد کرد.$\large \sum_{ i = – \infty}^\infty a_i \delta_{ij} = a_j$این خاصیت را به نام «غربالگری» (Sifting) می‌شناسیم.
اگر اعداد صحیح (نامنفی) را به صورت یک «فضای اندازه» (Measure Space) در نظر بگیریم، ویژگی ذکر شده با خاصیت «تابع دلتای دیراک» (Dirac delta function) برابر خواهد شد. در نتیجه داریم:
ممکن است در بعضی از حوزه‌ها که نماد یکسانی برای تابع دلتای کرونکر و تابع دلتای دیراک استفاده می‌شود، این دو تابع با یکدیگر اشتباه شوند. در مباحث مربوط به «پردازش سیگنال» (Signal Processing)، چه در محیط زمان-گسسته یا زمان-پیوسته (Discrete or Continuous time)، تفاوت تابع دلتای کرونکر و دیراک بستگی به محتوای مورد بحث دارد.$\large {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty } \delta (x – y) f(x)\,dx = f(y)}$معمولا نماد δ(t) برای مشخص کردن تابع دلتای دیراک در حالت زمان-پیوسته به کار می‌رود. در حالیکه نماد برای پارامترهای تابع اگر به شکل $i, j , k , l , m ,n$
باشند، منظور تابع دلتای کرونکر بوده و مرتبط با سیگنال‌های زمان-گسسته است.
نکته: تابع دلتای دیراک، تابعی است که در سه خاصیت زیر صدق کند. اغلب در پردازش سیگنال برای نمایش حالت زمان-گسسته، تابع دلتا را به صورت $\delta[n]$ نشان می‌دهند.
$\large \delta \left [ { t – a } \right ] = 0 , \, \, \, \, t \ne a$و$\large \displaystyle \int _ { { \, a – \varepsilon } } ^ { { \, a + \varepsilon } } { { \delta \left [ { t – a } \right ] \, d t } } = 1 , \hspace {0.25in} \varepsilon > 0$و$\large \displaystyle \int _ { { \, \, a – \varepsilon } } ^ { { \, \, a + \varepsilon } } { { f \left ( t \right ) \delta \left [ { t – a } \right ] \, d t } } = f \left ( a \right ) , \hspace {0.25in} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \varepsilon > 0$
به یاد داشته باشید که نمونه‌گیری مستقیم از تابع دلتای دیراک منجر به تولید تابع دلتای کرونکر نمی‌شود. بلکه این کار باید تحت قیود مشخصی صورت گیرد.کاربرد تابع دلتای کرونکر در پردازش سیگنال در مطالعه «پردازش سیگنال دیجیتال» (Digital Signal Processing) یا به اختصار DSP، «تابع دلتای نمونه‌گیری واحد» (Unit Sample Function) که با نماد ${\displaystyle \delta [n] }$
مشخص می‌شود، نمایانگر مورد ویژه‌ای از «تابع دو پارامتری دلتای کرونکر» (δij) است، به طوری که یکی از پارامترها صفر است. در این مورد خواهیم داشت:$\large {\displaystyle \delta [n – k] \equiv \delta [k – n] \equiv \delta_{n k} \equiv \delta _{k n}}$
بطوری که$\large {\displaystyle – \infty < n < \infty , – \infty < k < \infty }$
در مباحث مربوط به «تانسورها» (Tensor)، معمولاً تعداد بردارهای پایه در ابعاد خاص به جای اندیس صفر از اندیس 1 شروع می‌شوند. در این حالت رابطه ${ \displaystyle \delta [n] \equiv \delta_ {n 0} \equiv \delta_ {0 n}}$ وجود ندارد.Unit impulse
تابع نمونه‌گیری واحددر واقع، تابع دلتای کرونکر و «تابع نمونه‌گیری واحد» (Unit Sample function) توابع مختلفی هستند که به طور اتفاقی در یک مورد خاص با یکدیگر همپوشانی دارند. واضح است که در این حالت زیرنویس‌ یا اندیس‌ها ممکن است رقم صفر (0) را شامل شوند. در این وضعیت دو اندیس یا زیرنویس وجود داشته که یکی از آن‌ها حتما مقدار صفر خواهد داشت.
هر چند «تابع نمونه‌گیری واحد زمان-گسسته» (Discrete Unit Sample Function) و تابع «دلتا کرونکر» از نماد یکسانی استفاده می‌کنند ولی با یکدیگر تفاوت‌هایی دارند. برای تابع نمونه‌گیری واحد زمان-گسسته، معمولا از نماد براکت و یک عدد صحیح استفاده می‌شود. در مقابل برای تابع دلتای کرونکر، اعداد به صورت زیرنویس یا اندیس در کنار علامت δ قرار می‌گیرند.
از طرفی، هدف از به کارگیری «تابع نمونه واحد زمان-گسسته» با هدف از به کارگیری «تابع دلتای کرونکر» تفاوت دارد. در DSP، از تابع نمونه واحد گسسته معمولاً به عنوان یک تابع ورودی به یک سیستم گسسته برای کشف «تابع سیستم» (System Function) سامانه استفاده می‌شود که خروجی‌ها توسط آن تولید شده‌اند.
از دیدگاه استراتژیک، هدف اصلی در استفاده از تابع دلتا کرونکر، فیلتر کردن جملات از «مجموع انیشتین» (Eisenstein Summation) است و هر یک از اندیس‌های تابع دلتا کرونکر یک بُعد را در یک مجموعه پایه نشان می‌دهند.
نکته: مجموع اینشتین، به مجموع متناهی در یک میدان متناهی گفته می‌شود که مرتبط با «مجموع گاوسی» (Gauss Sum) است.
تابع نمونه‌گیری گسسته به شکل ساده، مطابق با رابطه زیر تعریف می‌شود:$\large {\displaystyle \delta [n] = {\begin{cases} 1 & n = 0 \\ 0 & {\text{otherwise}} \end{cases}}}$otherwiseعلاوه بر این، در مباحث مربوط به DSP تابعی به نام تابع دلتای دیراک نیز به کار می‌رود که اغلب با دو تابع دیگر یعنی تابع دلتا کرونکر و تابع نمونه‌گیری واحد اشتباه گرفته می‌شود. توجه داشته باشید که تابع دلتای دیراک به صورت زیر معرفی می‌شود.$\large {\displaystyle \delta (t) = {\begin{cases} \infty & t = 0 \\ 0 &{\text{otherwise}} \end{cases}}}$به این موضوع نیز توجه داشته باشید که بر خلاف تابع دلتا کرونکر δij و «تابع نمونه‌گیری واحد»
δ[n]، تابع دلتای دیراک δ(t) دارای پارامتر با مقدار صحیح نیست، بلکه مقادیر پیوسته را به عنوان متغیر می‌پذیرد.
ارتباط تابع دلتای کرونکر با دلتای دیراک در نظریه احتمال و آمار، تابع دلتای کرونکر و دلتای دیراک می‌توانند برای بیان یک «تابع توزیع گسسته» (Discrete Distribution) به کار روند. اگر تکیه‌گاه توزیع شامل نقاطی به صورت
$S_X = \{x_1, x_2 ,\ldots, x_n\}$ با احتمالات $p_1, p_2 , \ldots, p_n$ باشد، آنگاه تابع جرم احتمال (Probability Mass Function) یا به طور خلاصه تابع احتمال $p(X)$ را روی SX به صورت زیر و به کمک تابع دلتای کرونکر نشان می‌دهند.$\large p(x) = \sum_{i = 1}^n p_i \delta_{x – x_i}$منظور از $\delta_{x-x_i}$، همان تابع دلتای کرونکر تک پارامتری است.
در صورتی که متغیر تصادفی X، دارای تابع چگالی پیوسته (Continuous) یا تابع چگالی احتمال (Probability Density Function) به شکل f(x) باشد، آنگاه می‌توان رابطه زیر را برای آن نوشت.$\large f(x)=\sum _{i = 1}^{n}p_{i}\delta (x – x_{i})$که در آن
$\delta(x – x_i)$
، همان تابع دلتای دیراک است.

[اپسیلون]

در ریاضیات سری لوران از یک تابع پیچیدهf(z) نمایشی از آن تابع به عنوان یک سری توانه که شامل شرایط درجه منفیه.

درود. ممکنه یه تابع مثال بزنید که بسط لورانش شامل درجات منفی باشه؟ آیا «تابعی حقیقی» وجود داره که بسط تیلور نداشته باشه ولی بشه بسط لوران واسش نوشت؟

[aalireza]

در ریاضیات سری لوران از یک تابع پیچیدهf(z) نمایشی از آن تابع به عنوان یک سری توانه که شامل شرایط درجه منفیه.

درود. ممکنه یه تابع مثال بزنید که بسط لورانش شامل درجات منفی باشه؟ آیا «تابعی حقیقی» وجود داره که بسط تیلور نداشته باشه ولی بشه بسط لوران واسش نوشت؟

1/x در x=0

[اپسیلون]

در ریاضیات سری لوران از یک تابع پیچیدهf(z) نمایشی از آن تابع به عنوان یک سری توانه که شامل شرایط درجه منفیه.

درود. ممکنه یه تابع مثال بزنید که بسط لورانش شامل درجات منفی باشه؟ آیا «تابعی حقیقی» وجود داره که بسط تیلور نداشته باشه ولی بشه بسط لوران واسش نوشت؟

1/x در x=0

ممنون ولی میشه بگید چطوری؟ اگه میتونید و زحمتی نیست کامل توضیح بدید لطفا!

[rohamavation]

ببین سری Laurent یک تابع مختلط $f(z)$ نمایشی از آن تابع به عنوان یک سری توان است که شامل شرایط درجه منفیه ممکنه برای بیان توابع پیچیده در مواردی استفاده بشه که بسط سری تیلور نمیتونه اعمالبشه
سری Laurent که به عنوان بسط لورنت هم میگن از یک تابع پیچیده$f(z)$) به عنوان نمایشی از آن تابع بر حسب سری توان تعریف میشه که شامل شرایط درجه منفیه.چرا داشتن تعداد بی نهایت درجه منفی در یک سری لورن به معنی داشتن یک تکینگی اساسی در 0 است؟یک تکینگی ایزوله یا یک تکینگی قابل جابجایی یک قطب یا یک تکینگی اساسیه. برای یک تکینگی قابل جابجایی، پس از حذف تکینگی یک تابع تحلیلی دارین که سری Laurent آن فقط یک سری تیلوره همه عبارت های درجه منفی 0 هستند.. برای یک قطب از نظم m ، تمام شرایط درجه <−m 0 هستند. بنابراین اگر تعداد بی‌نهایت‌های غیر صفر درجه منفی وجود داشته باشه نمی‌تواند قابل جابجایی باشد و نمی‌تواند یک قطب باشد. تنها چیزی که باقی می ماند یک تکینگی اساسی است.چگونه توان منفی سری لوران از بین می رود؟
فرض کنید تابع یک تابع تحلیلی در$\{\omega={z:0<|z|\le 1}$ است
.به علاوه f هم $|f(z)| \le \frac{1}{|z|^{1/2}}|\sin(\frac{1}{|z|})|$ برای همه z در ω. یک ضریب سری Laurent است. من می خواهم نشان دهم که یک برای n منفی صفر هست
. من کوشی-گورسات را از$f(z)(z)^n$ اعمال می کنم برای مثبت n تحلیلی روی حلقیه به جز یک نقطه. آیا این معتبر ه اجازه دهیدlet r∈(0,1)
و اجازه دهید n∈Z letبه طوری که n≤-1. ما داریم$a_n= \frac{1}{2 \pi i} \int_{|z|=r} \frac{f(w)}{w^{n+1}} dw$.
یک تخمین آسان می دهد$|a_n| \le r^{-n-1/2} \sin(1/r)$.از آنجایی که r∈(0,1)
و $\sin(1/r)$ محدوده، با$r \to 0$ دریافت می کنیم که $a_n=0$
اگرf مرومورفیک است و دارای یک قطب در a است به این معنی که $f(z)=(z-a)^{-n} g(z)$ برای مقداری n∈N در همسایگی a. g هولومورفیک است و $g(a)\neq 0$
از آنجایی که g هولومورفیکه یک بسط تیلور در این همسایگی داره بگویید$g(z)=\sum_{k\geqslant 0}c_k (z-a)^k$، سپس داریم$f(z)=\sum_{k\geqslant 0}c_k (z-a)^{k-n}$
چیزی که به عنوان سری Laurent از f at a شناخته میشه
نکته زمانی که f نه هولومورفیک است و نه مرومورف، اما در همسایگی یک نقطه قابل تمایز است و در این نقطه تابع تعریف نشده طرح می‌کنم.
روی یک زیرمجموعه باز D از صفحه مختلط، تابعی است که روی تمام D به جز نقاط تکین خود هولومورف باشه. به این نقاط تکین قطب‌های تابع هست این چنین توابع را گاهی توابع منظم یا روی D منظم ‌میگن. هر تابع مرومورف روی D را می توان به صورت نسبت دو تابع هولومورف (با مخرجی که ثابت 0 نباشد) روی D بیان کرد. بنابراین قطب‌ها در صفرهای مخرج روی میدند. پس یک تابع مرومورف، ذاتاً نسبت دو تابع هولومورفه. چنین تابعی به جز در نقاطی که مخرج تابع صفره و مقدار تابع بینهایته همچنان هولومورف باقی میمونه. از دید جبری اگر D همبند باشد، آنگاه مجموعهٔ توابع مرومورف، میدان کسرهای حوزه صحیحی از مجموعهٔ توابع هولومورف است. این قایل قیاس با رابطهٔ بین ${\displaystyle \mathbb {Q} }{\mathbb {Q}}،$ اعداد گویا، و$ {\displaystyle \mathbb {Z} }{\mathbb {Z}}،$ اعداد صحیحه
فرض کنید f در $\mathbb{C}\setminus \{a\}$ هولومورف باشه و فرض کنید هیچ n∈N وجود ندارد که$(z-a)^n f(z)$در همسایگی a هولومورف باشه، آنگاه میگیم که f در a تکینگی ذاتی داره. در این مورد می توان نشون داد که میتونیم f را به عنوان یک سری توان همگرا نقطه ای با مرکز a با بی نهایت توان منفی بسط بدیم این سری Laurent از f at a نامیده میشه
$f(z)=\sum_{k\in \mathbb{Z}}c_k (z-a)^k$
که در آن بی نهایت$c_k$ با k<0 غیر صفر خواهد بود. من در اینجا این موضوع را بیشتر توضیح نمی دهم.
ببین فرض کن$f(z)$یک چند جمله ای مختلط باشه به طوری که f(z)≠0$ $برای همه z به طوری که$|z| \ge 1$. این یعنی که r>0$$ وجود دارد به طوری که$1 \over f(z)$ هولومورفیک (قابل تمایز پیچیده) در حوزه: $r <|z| < \infty$ و $r < 1$ باشه
سوال من: آیا می‌تونم خروجی سری لورنتس با مرکز صفر را تضمین کنم که عبارت‌های مثبت از بین بروند؟ یعنی آیا می توانیم سری Laurent را به شکل زیر تضمین کنیم:
${1\over f(z)} = \sum_{i = 1}^{\infty}b_{i}z^{-i}$
به طوری که این سری برای همه z در دامنه $r <|z| < \infty$ کاملا همگراند
به اعتقاد من پاسخ مثبته. با تجزیه جزئی کسری،$1/f(z)$ را می توان به صورت ترکیب خطی از عبارت های شکل $1/(z-z_0)^k$ با$|z_0|<1$ نوشت و بنابراین کافی است نشون بدم که هر تابعی از این قبیل دارد. چنین سریال لوران; اما این فقط از سری هندسی و مشتقات آن ناشی میشه
من سوال کردم که آیا $\frac 1 {f(\frac 1 z)}$ دارای بسط سری توان در $|z| <\frac 1 r$است. این درسته زیرا هر چند جمله ای غیر ثابت دارای خاصیت$|f(z) | \to \infty$ به عنوان $z| \to \infty$ است بنابراین$\frac 1 {f(\frac 1 z)}$دارای یک تکینگی قابل جابجایی در 0 است که به این معنیه که دارای یک بسط به شکل$\sum\limits_{i=0}^{\infty} b_iz^{i}$ است. برای |$|z| <\frac 1 r$. توجه داشته باشید که $b_0=0$

[aalireza]

در ریاضیات سری لوران از یک تابع پیچیدهf(z) نمایشی از آن تابع به عنوان یک سری توانه که شامل شرایط درجه منفیه.

درود. ممکنه یه تابع مثال بزنید که بسط لورانش شامل درجات منفی باشه؟ آیا «تابعی حقیقی» وجود داره که بسط تیلور نداشته باشه ولی بشه بسط لوران واسش نوشت؟

1/x در x=0

ممنون ولی میشه بگید چطوری؟ اگه میتونید و زحمتی نیست کامل توضیح بدید لطفا!

این سؤال واضحه.

آیا یک به‌رویِ ایکس در صفر تعریف شده؟ پس بسط تیلور نداره.

بسطِ لوران حول صفر این تابع هم هم یعنی یه‌جوری شما بتونی مضرب‌هایِ ایکس رو طوری پیدا کنی که:

\frac{1}{x} = \cdots + a_{-2}x^{-2} + a_{-1}x^{-1} + a_0x^0 + a_1x^1+a_2x^2+\cdots


که یعنی مضربِ ایکس به‌توانِ منفیِ یک می‌شه یک و بقیه‌یِ مضارب هم صفر، که شد خودش، که‌یعنی بسطِ لورانش درجه‌یِ منفی داره.

حالاِ تابعِ حقیقی یعنی چی؟ یعنی ورودی و خروجی‌ت حقیقی باشه. خب تو فرض کن ورودی و خروجی یک‌ایکسم حقیقیه.