هوپا، انجمن علم ایران

۱) اگر $k$ یک عدد طبیعی باشد، آیا حاصل $Ln(\frac{k}{k+1})$ عددی گنگ است؟ اگر بله، جبری یا متعالی؟ ثابت کنید.

۲) اگر $a_n$ دنباله‌ای از اعداد گنگ مثبت و سری
$$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$$
همگرای مطلق باشد، آیا حاصل این سری عددی گنگ است؟ (منظور از سری یعنی اینکه تمام اعداد گنگ دنباله جمع بسته شود). اگر $a_n$ متعالی باشد چطور؟ ثابت کنید.

شاید سوالاتم سخت باشه چون شنیدم اثبات گنگ بودن اعداد خیلی سخته چه برسه به اعداد متعالی.

۱) بله. گنگِ متعالیه. برهانِ خلف. فرض کن یه k گویا وجود داشته باشه که ln(k/k+1) گویا باشه. اون‌وقت e^ln(k/k+1) متعالیه (لیندمان-وایرشتراس) که یعنی k/k+1 متعالیه که شد تناقض.

۲) sum 1/( pi^2 * k^2) = 1/6