تابع دابلیوی لامبرت چیست و کاربرد ان

مدیران انجمن: parse, javad123javad

ارسال پست
نمایه کاربر
rohamavation

نام: roham hesami radرهام حسامی راد

محل اقامت: 100 مایلی شمال لندن جاده آیلستون، لستر، لسترشر. LE2

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 3222

سپاس: 5492

جنسیت:

تماس:

تابع دابلیوی لامبرت چیست و کاربرد ان

پست توسط rohamavation »

در ریاضیات، تابع لامبرت W که تابع امگا یا لگاریتم محصولمیگیم یک تابع چند ارزشیه یعنی شاخه های رابطه معکوس تابع f(w) = wew، که در آن w هر عدد مختلط و ew است. تابع نمایی است.به معادلات مثل این برخوردین $y(x)= f(x)-W\left(-a\, e^{f(x)}\right)$
برای هر عدد صحیح k یک شاخه وجود داره که با Wk(z) نشان داده می شود که تابعی با ارزش مختلط از یک آرگومان مختلط است. W0 به عنوان شاخه اصلی شناخته میشه. این توابع دارای ویژگی : اگر z و w هر اعداد مختلطی باشند تابع Lambert W در زمینه جریان سیال در محیط متخلخل به کار گرفته میشه تا شیب رابطی را که دو سیال جدا شده از نظر گرانشی را از هم جداکنه در یک بستر متخلخل شیبدار همگن با شیب و ضخامت ثابت که در آن سیال سنگین تر، در انتهای پایین تزریق می شود، مدل سازی کنه.آشنایی با تابع Lambert W
من این سوال را می‌پرسم زیرا می‌خواهم احساس کنم که چگونه می‌توان تابع Lambert W راساخت. من واقعاً دوست دارم آن را درک کنم.
معادله داریم$xe^x=y \tag{1}$
و ما می خواهیم تمام راه حل واقعی آن را پیدا کنیم.البته امروزه می دانیم که راه حل ها عبارتند از: $x=W_k(y)$
و به طور دقیق تر، در R ما فقط شاخه های k=0 را داریم و k=-1اما در عوض فرض کنید که ما چیزی در مورد تابع لامبرت نمی دانیم. در جستجوی راه حل برای (1) چگونه می توانیم آن را بسلزیم و به طور خاص: با شاخه ها چه خبره
من ترجیح می دهم پاسخ دهم که شامل معادلات ریاضی نیست، هر چه ساده تر، بهتر.حال میرم به مثال نحوه بازنویسی $e^{-x} = -\ln(x)$
به طوری که تابع Lambert W را بتوان اعمال کرد؟مشکل اصلی: راه حل واقعی را پیدا کنید$e^{-x} = -\ln(x)$
اولین کاری که انجام دادم این بود که هر دو طرف را بر $e^{-x}$ تقسیم کردم. با چند قدم دیگر رسیدم$e^x\ln(x) = -1$
این عالی بود، اما هنوز راه حلی نیست.من فقط می‌پرسم، برای رسیدن به پاسخ$W(1)$ باید چه مراحلی را طی کنید.
$w=W(1)$به دلخواه
مطمئن نیستم که این به هیچ وجه مفید تعمیم می یابد $e^{-x}=-\ln(x)$
من می خوام معادله را بر حسب لامبرت دبلیو حل کنم بنابراین سعی می کنم معادله را به شکل tet=constant برسونم$x\to e^t$:$e^{-e^t}=-t$اما می بینم که نمی توانم به این هدف برسم
برای اینکه بتوانیم Lambert W را به هر حال اعمال کنیم، سعی می کنیم حداقل یک طرف معادله را به شکل $f(x)e^{f(x)}$ بیاورم$-xe^{-x}=x\ln(x)$و$-x=W(x\ln(x))$
:و$-x=\ln(x)$hint$x\to e^t$خوب$-e^t=t$معلونه$-1=te^{-t}$و$1=-te^{-t}$و$-te^{-t}=1$و$-t=W(1)$و$x=e^{-W(1)}$خوب $x=W(1)$
تابع Lambert-W؟من سعی می کنم از تابع Lambert-W برای حل معادله زیر برای x استفاده کنم$\frac{a}{b} \ln x-x+ c =0$
.اولین قدم من بازنویسی x است به عنوان $e^{\ln x}$خوب $\frac a b \ln x - e^{ln x} + c =0$سپس در b ضرب می کنم
و تقسیم بر a$\ln x - \frac b a e^{\ln x} + \frac b a c =0$من در مورد تابع Lambert-W خوانده ام اما مطمئن نیستم که چگونه جلوتر برم بازم ساده هست معادله خودم را به صورت $\ln(x) - \frac{bx}{a} = - \frac{bc}{a}$
نمایی هر دو طرف را گرفتم:$x e^{-bx/a} = e^{-bc/a}$و در$-b/a$ ضرب کردم. با $u = -bx/a$
ما داریم$u e^u = -\frac{b}{a} e^{-bc/a}$بنابراین $u = W\left(-\frac{b}{a} e^{-bc/a}\right)$، نهایت$x = -\frac{a}{b} W\left(-\frac{b}{a} e^{-bc/a}\right)$آیا تابع لامبرت W جریان نیوتن تابع نمایی است؟تابع لامبرت W که با W(z) نشان داده می شود.، به عنوان تابع معکوس $f(z) = ze^z$تعریف میشه. به عبارت دیگر، اگر w=W(z)، سپس$z = w e^w$ داریمروش نیوتن پیوسته تکنیکی برای یافتن ریشه یک تابع با دنبال کردن جریان میدان بردار گرادیان آن است. به طور خاص، با توجه به یک تابع f(x) و یک نقطه اولیه x0، روش نیوتن پیوسته یک منحنی حل x(t) ایجاد می کند. که معادله دیفرانسیل را برآورده می کند:$\frac{dx}{dt} = -\nabla f(x)$جایی که $\nabla f(x)$ بردار گرادیان fهستش در xدر مورد تابع $f(z) = ze^z$، بردار گرادیان به صورت زیر بدست میارم $\nabla f(z) = (1+z)e^z$بنابراین، معادله دیفرانسیل برای روش نیوتن پیوستهاینطوره$\frac{dz}{dt} = -(1+z)e^z$
که دقیقاً مشتق تابع Lambert W است. بنابراین، منحنی حل با روش نیوتن پیوسته از نقطه$z_0$ شروعمیشه
از رابطه زیر بدست میاد$z(t) = W(z_0 e^{-t}).$
به عبارت دیگر، تابع لامبرت W جریان تابع نمایی تحت روش نیوتن پیوسته هستش. یا به طور معادل، تابع W جریان نیوتن توان استاین در این شکل معنایی نداره $z'(t) = - \nabla f(z(t))$حل $f(z) = ze^z$ فقط می تواند نقاط بحرانی f داشته باشد
به عنوان محدودیت اگر $f(z) = ze^z$
، این بدان معنیه که راه حل ها به z=-1 همگرا میشن ، که به راحتی به صورت مستقیم قابل مشاهده است. این مقدار W نیست
-تابع.روش نیوتن پیوسته، اگر برای حل معادله اسکالر f(z)=y استفاده شود، معادله دیفرانسیل را در نظر می گیرد
$z'(t) = \frac{y - f(z(t))}{\nabla f(z(t))}$

"به امید اینکه حد z(t) وجود دارد،. پس این حد باید صفر$y - f(z)$ باشه.
اجازه دهید$u(t) = f(z(t))$و$u'(t) = \nabla f(z(t))z'(t)$ و معادله دیفرانسیل ممکن است به صورت نوشته شود
$u'(t) = y - u(t)$
که راه حل دارد$u(t) = e^{-t}u(0) + (1-e^{-t})y$بنابراین ما همیشه داریم
$z(t) = f^{-1} \left(e^{-t} f(z(0)) + (1-e^{-t}) y\right)$
برای حالت اسکالر روش نیوتن پیوسته.
در حالتی که $f(z) = ze^z$ و $f^{-1}(u) = W(u)$، معادله دیفرانسیل می شود
$z' = \frac{y - ze^z}{(1+z)e^z}$
و راه حل این است$z(t) = W\left(e^{-t}z_0e^{z_0} + (1-e^{-t}) y\right)$اگ$y \ge -e^{-1}$، سپس راه حل برای همه t≥0 تعریف میشه مهم نیست چه z0 است و به W(y) همگرا می شود. اگر$y < -e^{-1}$، راه حل فقط در یک t محدود وجود دارد-فاصله $[0,t_0]$ و$z(t_0) = -1$، بنابراین راه حل را نمی توان برای t>t0 ادامه داد.
مشتق z′(t)
از جوابz(t) به جریان نیوتن، قرار نیست ODE در سمت راست راه حل ظاهر شود، بنابراین ممکن است به نظر برسد که فرمول $z'(t) = - \nabla f(z(t))$ صحیح نیست. با این حال، فرمول داده شده درست است زیرا $f(z) = ze^z$
زمانی که مقدار z′(t) از معادله خارج می شود به معادله دیفرانسیل جایگزین می شود:
$z'(t) = \frac{y - f(z(t))}{\nabla f(z(t))}$
اجازهبدین بچه های گرامی انجمن $u(t) = f(z(t))$هر دو طرف را با توجه به t متمایز کنید:
$u'(t) = \nabla f(z(t))z'(t)$
اکنون با استفاده از معادله دیفرانسیل داده شده، مقدار z′(t) را جایگزین کردم
$u'(t) = \nabla f(z(t))\frac{y - f(z(t))}{\nabla f(z(t))}$
حالا$u'(t) = y - u(t)$از آنجایی که $\nabla f(z(t))$ فاکتور گرفته می شود و$u(t)=f(z(t))$.
حال، جواب این معادله دیفرانسیل به صورت زیر ارائه میکنم$u(t) = e^{-t}u(0) + (1-e^{-t})y$

و چون $u(t) = f(z(t))$، با ایجاد جایگزینی که داریم:z(t)=f-1(e-tf(z(0))+(1-e-t)y)
این معادله حالت اسکالر روش نیوتن پیوسته را نشان می دهد.$z(t) = f^{-1} \left(e^{-t} f(z(0)) + (1-e^{-t}) y\right)$
پانل‌های کناریتابع دبلیوی لامبرت، معکوس تابع $f(w)=we^w$ است. به‌طوری که w عددی مختلط است اما حالا بروم سراغ کاربرد این تابع. یکی از کاربردهای تابع دبلیوی لامبرت در حل معادلات نمایی است. مثلاً فرض کنید می‌خواهیم معادلۀ $x^x=a$ را برحسب x حل کنیم. برای حل این معادله، ابتدا از طرفینِ معادله، لگاریتم طبیعی می‌گیریم:$x^x=a \Rightarrow x\ln x=\ln a$و سپس با تغییر متغیرِ $x=e^y$ در معادلهٔ $x\ln x=\ln a$ کار را ادامه می‌دهیم:$e^y\ln e^y=\ln a \Rightarrow ye^y=\ln a$
سپس از طرفین معادلۀ$ye^y=\ln a$ تابع دبلیوی لامبرت می‌گیریم:$ye^y=\ln a \Rightarrow w(ye^y)=w(\ln a)\Rightarrow y=w(\ln a)$ و در نهایت:$y=w(\ln a) \Rightarrow x=e^{w(\ln a)}$
همانطور که دیدید با استفاده از تابع دبلیوی لامبرت توانستیم این معادله $x^x=a$ را حل کنیم.در ریاضیات، تابع دبلیوی لامبرت که به نام‌های تابع اُمِگا و لگاریتم ضربی هم نامیده می‌شود، یک تابع چندمقداری است. ایدهٔ اصلیِ تعریف این تابع چندمقداری نوشتنِ وارونی برای تابعِ ${\displaystyle f(x)=xe^{x}}{\displaystyle f(x)=xe^{x}}$ است چون ضابطهٔ {\displaystyle f}f یک‌به‌یک نیست، بنابراین وارونِ آن نیز یک تابع نمی‌شود. به یاد آورید که تابع یک ضابطهٔ ریاضی است که هر عضو از مجموعهٔ دامنه‌اش را تنها به یک عضو از مجموعهٔ هم‌دامنه‌اش می‌نگارد.
تابع Lambert W برای حل معادلاتی استفاده می شود که در آنها کمیت ناشناخته هم در پایه و هم در نما یا داخل و خارج یک لگاریتم رخ می دهد. استراتژی این است که چنین معادله ای را به یکی از شکل$ ze^z = w$ تبدیل کنید و سپس z را حل کنید.من روش کلی به منظور کنجکاوی و برای کاربردهای بیشتر.میدم معادله فرم را در نظر بگیرید$p^x = ax + b$
از طریق جایگزینی$x = -t - \frac{b}{a}$ می توانید آن را به صورت زیر بازنویسی کنید$ta^t = z$
البته با و $ p≠0, p>0 and a≠0.$
گفته می شود ، و شما مستقیماً راه حل را از نظر عملکرد Lambert دارید:
$t = \frac{W(z\ln(a))}{\ln(a)}$
موارد دیگر$x^x = t ~~~~~~~~~~~ \text{ roham has solution} ~~~~~~~ x = \frac{t}{W(t)}$
بدون تعویض$p^x = ax + b ~~~~~~~~~~~ \text{ roham has solution} ~~~~~~~ x = \frac{W\left(-\frac{\ln(p)}{a}p^{-b/a}\right)}{\ln(p)} - \frac{b}{a}$اطلاعات بیشتر در مورد عملکرد W
$W(x) \approx \ln(x) - \ln(\ln(x)) + o(1)$
$W(x) = \sum_{k = 1}^{+\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{k!}x^k$من یک مثال میدم $5+a-6e^{a/2}=0$ توجه $x=-\frac{5+a}{2} \quad\to\quad a=-2x-5$و$-2x=6e^{-x-5/2}$و$-2xe^{5/2}=6e^{-x}$و$xe^x=-3e^{-5/2}= -\frac{3}{e^{5/2}}$از تعریف تابع W Lambertداریم $x=W\left(-\frac{3}{e^{5/2}}\right)$این عملکرد چند ارزش دارد. به طور رسمی دو شاخه واقعی $W_0$ و $W_-1$ نامیده می شوند.$a=-2W_n\left(-\frac{3}{e^{5/2}}\right)-5$وn = 0 و n = -1که دو رشه اونها $a\simeq -4.30168 \quad \text{and}\quad a\simeq -0.637368$مثال دوم $\frac{2e^x}{e^{2x}+1+2x}$کافی هست $e^{2x}+1+2x=0$من اینطور $e^{2x}=-1-2x \Rightarrow e^{-(-2)x}=-2\left(x-\left(\frac{-1}{2}\right)\right)$که به صورت $x=\frac{-1}{2}-\frac{1}{2}W\left(\frac{1}{e}\right)$نوشته فرم کلی $x=W(x)e^{W(x)}$ خوب $W(x)\approx L_1-L_2+\frac{L_2}{L_1}+\frac{L_2(L_2-2)}{2L_1^2}+\frac{L_2(2L_2^2-9L_2+6)}{6L_1^3}+\cdots$ میدونیم $L_1=\log(x)$و$L_2=\log(L_1)$عملکرد Lambert اینطور هست$f(x)=xe^x$انگاه $W(x)=f^{-1}(x)$در $y=x^x$داریم $\ln(y)=x\ln(x)=e^{\ln(x)}\ln(x)$این متناسب با فرم $f(u)=ue^u$که $\ln(x)=W\left[\ln(y)\right]$میتوان نوشت $\therefore x=e^{W\left[\ln(y)\right]}$
باز هم به فرم زیر نگاه کنید $\begin{align*}
n \ln (n) =x \quad & \Rightarrow \quad \ln n^n=x \\
& \Rightarrow \quad n^n=e^x \\
& \Rightarrow \quad n=e^{x/n} \\
& \Rightarrow \quad n \times \frac{x}{n}=\frac{x}{n}e^{x/n} \\
& \Rightarrow \quad x=\frac{x}{n}e^{x/n} \\
& \Rightarrow \quad W(x)=W \left(\frac{x}{n}e^{x/n} \right) \\
& \Rightarrow \quad W(x)=\frac{x}{n} \\
& \Rightarrow \quad \boxed{n=\frac{x}{W(x)}} \\
& \Rightarrow \quad n=\frac{x}{x/e^{W(x)}} \quad \text{(roham
$W(x)e^{W(x)}=x$)}\\
& \Rightarrow \quad \boxed{n=e^{W(x)}} \\
\end{align*}$
تصویر

ارسال پست