hermitian matrix ماتریس هرمیتی

[rohamavation]

در ریاضی ماتریس هرمیتی Hermitan Matrix همون ماتریس خودالحاقیSelf-adjoint Matrix یک ماتریس مربعی با مقادیر مختلطه بطوری که با ترانهاده مزدوخ مختلط خود، برابر است.ماتریس هرمیتین ماتریسی است که برابر با انتقال مزدوج آن است. ماتریس هرمیتین شامل اعداد مختلط است اما مورب آن همیشه دارای اعداد واقعی است. عددی را که می توان به صورت a+ib نشان داد، عدد مختلط می گویند که a قسمت واقعی و b قسمت خیالی است به این ترتیب درایه سطر iام و ستون jام ماتریس هرمیتی برابر با مزدوج مختلط درایه سطر jام از ستون iام است. در نتیجه به نظر می‌رسد که ماتریس خودالحاقی، پس از ترانهاده شدن تشکیل یک ماتریس هرمیتی را می‌دهد اگر درایه‌های ماتریس اولیه با ترانهاده ماتریس خودالحاقی ‌برابر باشند.Hermitian: نشان دهنده یا مربوط به ماتریسی است که در آن آن جفت عناصر که به طور متقارن نسبت به مورب اصلی قرار گرفته اند مزدوج های پیچیده هستند.
من فکر می کردم که هرمیتین مترادف با "واقعی" بود، به این معنی که اگر ماتریس (مثلا A) هرمیتی باشد، به این معنی است که هیچ مقادیر پیچیده ای در ماتریس وجود ندارد. من همچنین معتقدم به این معنی است که مزدوج مختلط ماتریس با ماتریس برابر است مانند:$A = A^\dagger.$ماتریس Hermitian ماتریسی است که برابر است با انتقال مزدوج آن. این مفهوم "ماتریس متقارن" را تعمیم می دهد، زیرا هر ماتریس متقارن واقعی هرمیتی است. با این حال، قطعا ماتریس های پیچیده ای وجود دارد که هرمیتی هستند، مانند$\begin{bmatrix} 0 & i \\ -i & 0 \end{bmatrix}$
با قضیه طیفی، هر ماتریس هرمیتی به طور واحد با تمام مقادیر ویژه واقعی قابل قطریابی است. بنابراین، در حالی که یک ماتریس Hermitian می تواند ورودی های پیچیده ای داشته باشد، در یک مبنای مناسب مانند یک ماتریس واقعی رفتار می کند.
هنگامی که ما یک عملگر خطی (یا تابع خطی) را به عنوان هرمیتی توصیف می کنیم، از رویکردی بدون پایه برای هرمیتی بودن استفاده می کنیم. یک عملگر خطی T:V→V در فضای داخلی محصول V اگر$T = T^*$ به هرمیتی گفته می شود
، جایی که $T^*$ عملگر منحصر به فردی است که $\langle Tx, y \rangle = \langle x, T^* y \rangle$ برای هر x,y∈V.ارتباط بین این دو مفهوم این است که یک n×n
ماتریس Hermitian نمایش ماتریسی یک عملگر هرمیتی در Cn است
مجهز به محصول استاندارد نقطه.
من در مورد تابع هرمیتی را تابعی تعریف می کند که$f(-x) = \overline{f(x)}$
. ماتریس هرمیتی ماتریسی است که برابر است با ترانس‌کونژوگه خود، یعنی با مختلط مزدوج ماتریس جابجایی آن. برای صحبت در مورد یک عملگر هرمیتی، باید در فضای برداری پیچیده E قرار گرفت
با محصول درونی هرمیتی ⟨⋅،⋅⟩ بر روی آن. سپس یک نقشه خطی f از E به خود هرمیتی است اگر مساوی با مضاف آن باشد، یعنی اگر تساوی داشته باشیم
$\langle f(x),y\rangle = \langle x, f(y)\rangle.$
ماتریسی با ضرایب واقعی، به جز ماتریس واقعی، نام خاصی ندارد. با این وجود، توجه داشته باشید که یک ماتریس هرمیتی دارای مقادیر واقعی در قطر است. علاوه بر این، قضیه طیفی می گوید که هر ماتریس هرمیتی توسط یک ماتریس واحد به یک ماتریس مورب با ورودی های واقعی مزدوج است.در این سوال به فضاهای برداری مختلط با ابعاد محدود اشاره خواهم کرد. من می دانم که مقادیر ویژه یک ماتریس Skew-Hermitian S
کاملاً خیالی هستند، اما تأثیر هندسی آنها بر فضای برداری چیست؟ من می‌دانم که ماتریس‌های هرمیتی H دارای یک پایه متعارف از بردارهای ویژه هستند که کل فضای برداری را در بر می‌گیرند و مقادیر ویژه آنها کاملاً واقعی هستند. تأثیر آنها تا آنجایی است که من می فهمم که ماتریس های هرمیتی H
فقط فضای برداری را در جهت این بردارهای ویژه متعامد با مقادیر ویژه مقیاس کنید و هیچ اثر چرخشی ندارند. آیا تأثیر ماتریس‌های شیبدار-هرمیتی صرفاً چرخشی است؟بهتر است ابتدا مشخص کنیم که چون در یک فضای برداری پیچیده قرار داریم، فضاهای فرعی یک بعدی فضاهای دو بعدی نسبت به ضرب در اعداد واقعی هستند، و بنابراین شاید بهتر است به عنوان یک فضای دو بعدی تجسم شود. در محدوده هر بردار غیر صفر، ضرب در $e^{i \theta}$ مربوط به یک چرخش (در این دهانه "یک بعدی") با زاویه θ.
ماتریس‌های Skew-Hermitian دارای مقادیر ویژه خیالی هستند و درست مانند ماتریس‌های Hermitian، می‌توان آن‌ها را به صورت مورب قرار داد. بنابراین، برای هر ماتریس کج هرمیت A
، یک مبنای متعارف$v_1,\dots,v_n$ وجود دارد به طوری که$A v_j = \pm i\lambda_j v_j$ برای برخی$\lambda_j \geq 0$. بنابراین، ما $\Bbb C^n$ را شکستیم
به عنوان مجموع مستقیم n فضاهای برداری "1 بعدی" متعامد متقابل، هر یک به اندازه یک بردار ویژه vj. در محدوده vj، اقدام A را می توان به صورت ضرب در ± i در نظر گرفت
(چرخش 90∘) و به دنبال آن مقیاس بندی با فاکتور λj.
دیدگاه مفید دیگر از مطالعه Lie Groups می آید. ماتریس های واحد ممکن است به عنوان متناظر با چرخش در$\Bbb C^n$ در نظر گرفته شوند
. ماتریس های واحد نیز به صورت واحد قابل مورب هستند. برای هر ماتریس واحد Mیک مبنای متعارف$v_1,\dots,v_n$جود دارد طوری که $Mv_j = e^{i \theta_j}v_j$ برای برخی از θj∈R
. به عبارت دیگر، در هر یک از n فضاهای برداری "1 بعدی" متعامد، عمل M یک چرخش بر اساس زاویه θ است.
ماتریس های کج-هرمیتی، به یک معنا، با "چرخش های بی نهایت کوچک" مطابقت دارند. اگر یک کج-هرمیتین است، سپس$(I + \frac An)^n$ (برای عدد صحیح مثبت n) تقریباً یک چرخش است. در حد به صورت $n \to \infty$، ما آن را پیدا می کنیم$\lim_{n \to \infty}\left(I + \frac An\right)^n = e^A$یک ماتریس واحد است. در واقع، برای هر M، یک ماتریس هرمیتی A وجود دارد که M را "تولید" می کند
در این معنا.دیدگاه مفید دیگر: می‌توانیم توصیف خود را از M گسترش دهیم برای توصیف یک خانواده کامل از چرخش ها (به نام "زیرگروه یک پارامتر"). برای هر t∈R، خواهیم گفت که M(t)
ماتریسی است که برای آن$M(t) v_j = e^{it\theta_j} v_j$ است. قابل توجه، M(0)=I و M(1)=M
(اولین ماتریس واحدی که توضیح دادیم). "مشتق" این تابع از t در t=0 تبدیل دیگری را ایجاد می کند، و این تبدیل با یک ماتریس کج-هرمیتی مطابقت دارد. به طور خاص، برای هر j
،$\left.\frac d{dt} e^{it \theta_j}v_j\right|_{t = 0} = i\theta_j v_j.$
به این ترتیب، ماتریس های هرمیتی با "فضای مماس" مجموعه ماتریس های واحد در نقطه I مطابقت دارد.
عملیات جبری روی ماتریس‌های هرمیتی
خاصیت هرمیتی برای ماتریس‌هایی که شامل مقادیر مختلط هستند، باعث ساده‌تر شدن محاسبات روی چنین ماتریس‌هایی خواهد شد. در ادامه در مورد جمع، ضرب و معکوس ماتریس‌های هرمیتی صحبت خواهیم کرد.مجموع دو ماتریس هرمیتیفرض کنید A و B
دو ماتریس هرمیتی باشند، نشان می‌دهیم که مجموع این دو ماتریس نیز هرمیتی خواهد بود. به این ترتیب با توجه به تعریف جمع دو ماتریس که توسط مجموع مولفه‌های متناظر آن‌ها بدست می‌آید، خواهیم داشت:$\large {\displaystyle (A+B)_{ij}=A_{ij}+B_{ij}}=$و$\large {\overline {A}}_{ji}+{\overline {B}}_{ji}={\overline {(A+B)}}_{ji}$
تساوی مربوط به خط دوم رابطه بالا، با توجه به هرمیتی بودن ماتریس A و B نوشته شده است. به این معنی که عناصر پایین قطر اصلی، مزدوج مقادیر متناظرشان در بالای قطر اصلی هستند.
ضرب دو ماتریس هرمیتی
شرط لازم و کافی برای آنکه ضرب دو ماتریس هرمیتی، یک ماتریس هرمیتی باشد، آن است که AB=BA باشد. این امر به واسطه روابط زیر حاصل می‌شود.
$\large {\displaystyle (AB)^{\mathsf {H}}={\overline {(AB)^{\mathsf {T}}}}={\overline {B^{\mathsf {T}}A^{\mathsf {T}}}}={\overline {B^{\mathsf {T}}}}{\overline {A^{\mathsf {T}}}}=B^{\mathsf {H}}A^{\mathsf {H}}=BA}$با توجه به رابطه ۲، شرط آن که BA ماتریس هرمیتی باشد آن است که BA=AB باشد و برعکس.
به این ترتیب اگر ضرب دو ماتریس هرمیتی، خاصیت جابجایی داشته باشد، آنگاه حاصل‌ضرب آن‌ها نیز هرمیتی خواهد بود.
معکوس یک ماتریس هرمیتیحال به بررسی ماتریس معکوس A و شرایط هرمیتی بودن آن‌ها خواهیم پرداخت. فرض کنید $A^{-1}$معکوس ماتریس A باشد. همچنین می‌دانیم که ماتریس A، هرمیتی است. از طرفی چون ماتریس یکه I، قطری بوده و عناصر خارج از قطر همگی صفر هستند، یک ماتریس هرمیتی محسوب می‌شود. پس داریم:$\large {\displaystyle I=I^{H}=(A^{-1}A)^{H}=A^{H}(A^{-1})^{H}=A(A^{-1})^{H}}$
به این ترتیب اثبات می‌شود که معکوس یک ماتریس هرمیتی نیز هرمیتی است. به بیان دیگر مطابق با رابطه ۲ داریم:$\large {\displaystyle A^{-1}=(A^{-1})^{H}}$
خصوصیات ماتریس هرمیتی
مشخصه و ویژگی‌ها ماتریس هرمیتی در ادامه مورد بررسی قرار می‌گیرند.
مطابق با تعریف ارائه شده برای ماتریس هرمیتی، مشخص است که ماتریس مربع A، یک ماتریس هرمیتی است اگر و فقط اگر با ترانهاده همسازه خود برابر باشد. به بیان ریاضی اگر v و w دو بردار و ⟨⋅,⋅⟩ عملگر ضرب داخلی باشند، خواهیم داشت:$\large {\displaystyle \langle w,Av\rangle =\langle Aw,v\rangle }$
رابطه گر A یک ماتریس هرمیتی باشد، آنگاه رابطه زیر برقرار است و برعکس.$\large {\displaystyle \langle v,Av\rangle \in \mathbb {R} ,\quad v\in V}$
درایه‌های قطر اصلی یک ماتریس هرمیتی حتما حقیقی هستند.ماتریس‌های هرمیتی، یک ماتریس نرمال هستند به این معنی که حاصل ضرب‌ آن‌ها در ترانهاده‌شان، خاصیت جابجایی دارد$\large AA^{\mathsf{T}}=A^{\mathsf{T}}A$مقادیر ویژه ماتریس هرمیتی A، مقادیر حقیقی هستند.بردارهای ویژه ماتریس هرمیتی A، بر یکدیگر متعامدند.
برای روشن شدن این خصوصیات، در ادامه توضیحاتی ارائه می‌شود.
نرمال بودن ماتریس هرمیتی
همانطور که گفته شد هر ماتریس هرمیتی، نرمال نیز هست. این ویژگی را به صورت زیر اثبات می‌کنیم.
فرض کنید A یک ماتریس هرمیتی است. در نتیجه خواهیم داشت:$\large \overline{A}^{\mathsf{T}}= A$
دو طرف این تساوی را در ماتریس A ضرب می‌کنیم. (توجه دارید که ماتریس A‌ مربعی است).$\large A\overline{A}^{\mathsf{T}}= AA$
از آنجایی که ماتریس A هرمیتی است، طرف راست تساوی بالا را تغییر می‌دهیم. در نتیجه رابطه به صورت زیر در می‌آید.$\large A\overline{A}^{\mathsf{T}}= AA=\overline{A}^{\mathsf{T}}A$
پس خواهیم داشت:$\large A\overline{A}^{\mathsf{T}}=\overline{A}^{\mathsf{T}}A$
مقادیر ویژه ماتریس هرمیتی
برای نشان دادن این موضوع، از تعریف مقدار ویژه ماتریس استفاده می‌کنیم. اگر λ‌، مقدار ویژه ماتریس A باشد، آنگاه داریم:$\large Av=\lambda v$که در آن v بردار ویژه ماتریس A خواهد بود. حال فرض کنید که
A یک ماتریس هرمیتی است. نشان می‌دهیم که مقدارهای λ که بیان‌گر مقدارهای ویژه ماتریس A هستند، همگی حقیقی خواهند بود. برای این کار ابتدا دو طرف رابطه بالا را در $\overline{v}^{\mathsf{T}}$
ضرب می‌کنیم.$\large \overline{v}^{\mathsf{T}}(Av)=\overline{v}^{\mathsf{T}}(\lambda v)=\lambda \overline{v}^{\mathsf{T}}v=\lambda||v||$
به این ترتیب براساس رابطه ۶، می‌توان نوشت:$\large \overline{v}^{\mathsf{T}}(Av)=(Av)^{\mathsf{T}}\overline{v}=(v^{\mathsf{T}}A)\overline{v}$
رابطه بالایم از آنجا ناشی می‌شود که Av و v هر دو بردار بوده و ضرب ترانهاده بردار ستونی در همان بردار، یک عدد خواهد شد. حال مزدوج مقدار رابطه ۷ را محاسبه می‌کنیم. از آنجایی که اگر دو عدد برابر باشند، مزدوج آن‌ها هم برابر خواهند بود، خواهیم داشت:$\large \overline{\overline{v}^{\mathsf{T}}(Av)}=v^{\mathsf{T}}\overline{(Av)}=\overline{\lambda}||v||$
با توجه به رابطه بالا که اوردم داریم:$\large\overline{\lambda}||v||= \lambda||v||$پس دو مقدار λ و $\overline{\lambda}$ برابرند. این امر برای دو عدد مختلط فقط زمانی رخ می‌دهد که هر دو عدد، جزء موهومی نداشته باشند. در نتیجه مقادیر ویژه ماتریس هرمیتی، اعداد حقیقی هستند.
متعامد بودن بردارهای ویژه ماتریس هرمیتییکی دیگر از خصوصیات جالب برای ماتریس‌های هرمیتی، متعامد بودن بردارهای ویژه آن‌ها است. به این ترتیب فضایی که از بردارهای ویژه ماتریس‌های هرمیتی ایجاد می‌شود، یک فضای متعامد است. در این قسمت به بررسی این موضوع می‌پردازیم.فرض کنید λ1 و λ2 دو مقدار ویژه متمایز از ماتریس هرمیتی A باشند و همچنین در نظر بگیرید که بردارهای ویژه متناظر با این مقادیر نیز با v و v′ مشخص شده‌اند و از یکدیگر متمایز باشند.در قسمت قبل نشان دادیم که مقادیر ویژه ماتریس هرمیتی، حقیقی هستند. پس باید داشته باشیم:
$\large\lambda_1\langle v,v’\rangle=\langle \lambda_1v,v’\rangle=\langle Av,v’\rangle\\ \large \overset{\text{A Hermitian}} =\langle v,Av’\rangle =\langle v,\lambda_2v’\rangle=\lambda_2\langle v,v’\rangle$توجه داشته باشید که تساوی دوم و سوم به علت خاصیت هرمیتی ماتریس A نوشته شده است.
از آنجایی که مقادیر ویژه λ1 و λ2‌ و بردارهای ویژه متناظر آن‌ها متمایز هستند، تساوی بالا فقط زمانی برقرار است که ضرب داخلی
v و v′ صفر باشد. این موضوع بیانگر متعامد بودن این دو بردار است. در نتیجه فضای تشکیل شده توسط بردارهای ویژه‌ متمایز یک ماتریس هرمیتی، تشکیل یک فضای متعامد می‌دهد.
متقارن
ماتریسی که فقط ورودی های واقعی دارد متقارن است اگر و فقط اگر ماتریس هرمیتی باشد. یک ماتریس واقعی و متقارن به سادگی یک مورد خاص از یک ماتریس هرمیتی است.
اثباتطبق تعریف$ {\displaystyle H_{ij}={\overline {H}}_{ji}}.$ بدین ترتیب${\displaystyle H_{ij}=H_{ji}}$ (تقارن ماتریس) اگر و فقط اگر${\displaystyle H_{ij}={\overline {H}}_{ij}} $(
$H_{{ij}} $واقعی است).بنابراین، اگر یک ماتریس ضد متقارن واقعی در مضرب واقعی واحد فرضی ضرب شود.
i، سپس هرمیتی می شود.نرمالهر ماتریس Hermitian یک ماتریس معمولی است. که این است که بگوییم،
${\displaystyle AA^{\mathsf {H}}=A^{\mathsf {H}}A.}$اثبات${\displaystyle A=A^{\mathsf {H}}،}$ بنابراین${\displaystyle AA^{\mathsf {H}}=AA=A^{\mathsf {H}}A.}$
قابل مورب
قضیه طیفی بُعد محدود می گوید که هر ماتریس هرمیتی را می توان با یک ماتریس واحد مورب قرار داد و ماتریس مورب حاصل فقط دارای ورودی های واقعی است. این بدان معناست که همه مقادیر ویژه یک ماتریس هرمیتی A با بعد n واقعی هستند و A دارای n بردار ویژه مستقل خطی است. علاوه بر این، یک ماتریس Hermitian دارای بردارهای ویژه متعامد برای مقادیر ویژه متمایز است. حتی اگر مقادیر ویژه منحط وجود داشته باشد، همیشه می توان یک مبنای متعامد برای Cn متشکل از n بردار ویژه A پیدا کرد.
مجموع ماتریس های هرمیتیمجموع هر دو ماتریس هرمیتی هرمیتی است.
اثبات${\displaystyle (A+B)_{ij}=A_{ij}+B_{ij}={\overline {A}}_{ji}+{\overline {B}}_{ji}={\overline {(A+B)}}_{ji}،}$
همانطور که ادعا شدمعکوس هرمیتی استمعکوس یک ماتریس هرمیتی معکوس نیز هرمیتی است.اثبات
اگر${\displaystyle A^{-1}A=I،}$ سپس${\displaystyle I=I^{\mathsf {H}}=\left(A^{-1}A\right)^{\mathsf {H}}=A^{\mathsf {H}}\left(A ^{-1}\right)^{\mathsf {H}}=A\left(A^{-1}\right)^{\mathsf {H}}،}$ بنابراین${\displaystyle A^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{\mathsf {H}}}$ همانطور که ادعا شد.
حاصلضرب انجمنی ماتریس های هرمیتیحاصل ضرب دو ماتریس هرمیتی A و B هرمیتی است اگر و فقط اگر AB = BA.اثبات
${\displaystyle (AB)^{\mathsf {H}}={\overline {(AB)^{\mathsf {T}}}}={\overline {B^{\mathsf {T}}A^{\mathsf {T}}}}={\overline {B^{\mathsf {T}}}}\ {\overline {A^{\mathsf {T}}}}=B^{\mathsf {H}}A^{\mathsf {H}}=BA.}$بدین ترتیب${\displaystyle (AB)^{\mathsf {H}}=AB}$ اگر و فقط اگر${\displaystyle AB=BA.}$بنابراین اگر A هرمیتی باشد و n یک عدد صحیح باشد، An هرمیتی است.
هرمیتین ABAاگر A و B هرمیتین باشند، ABA نیز هرمیتین است.
اثبات
${\displaystyle (ABA)^{\mathsf {H}}=(A(BA))^{\mathsf {H}}=(BA)^{\mathsf {H}}A^{\mathsf {H}}=A^{\mathsf {H}}B^{\mathsf {H}}A^{\mathsf {H}}=ABA}$
برای یک بردار با ارزش مختلط دلخواه v راه حل ${\displaystyle \mathbf {v} ^{\mathsf {H}}A\mathbf {v} } $واقعی است زیرا
${\displaystyle \mathbf {v} ^{\mathsf {H}}A\mathbf {v} =\left(\mathbf {v} ^{\mathsf {H}}A\mathbf {v} \right)^{\mathsf {H}}.} $
این امر به ویژه در فیزیک کوانتومی که ماتریس‌های هرمیتی عملگرهایی هستند که ویژگی‌های یک سیستم را اندازه‌گیری می‌کنند، مهم است. کل چرخش، که باید واقعی باشد.
هرمیتین پیچیده فضای برداری را روی R تشکیل می دهدماتریس‌های مختلط هرمیتی n-by-n فضای برداری را روی اعداد مختلط C تشکیل نمی‌دهند، زیرا ماتریس هویت In هرمیتی است، اما i In نیست. با این حال، ماتریس‌های هرمیتی مختلط یک فضای برداری را روی اعداد واقعی R تشکیل می‌دهند. در فضای برداری 2n2 بعدی ماتریس‌های مختلط n × n روی R، ماتریس‌های هرمیتی مختلط یک فضای فرعی با بعد n2 را تشکیل می‌دهند. اگر Ejk ماتریس n-by-n را با 1 در موقعیت j,k و صفر در جای دیگر نشان دهد، یک مبنای (متعارف نسبت به محصول داخلی فروبنیوس) را می توان به صورت زیر توصیف کرد:
${\displaystyle E_{jj}{\text{ for }}1\leq j\leq n\quad (n{\text{ matrices}})}$
همراه با مجموعه ای از ماتریس های فرم ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(E_{jk}+E_{kj}\right){\text{ for }}1\leq j<k\leq n\quad \left({\frac {n^{2}-n}{2}}{\text{ matrices}}\right)}$
و ماتریس ها${\displaystyle {\frac {i}{\sqrt {2}}}\left(E_{jk}-E_{kj}\right){\text{ for }}1\leq j<k\leq n\quad \left({\frac {n^{2}-n}{2}}{\text{ matrices}}\right)}$
برایبرای${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(E_{jk}+E_{kj}\right){\text{ for }}1\leq j<k\leq n\quad \left({\frac {n^{2}-n}{2}}{\text{ matrices}}\right)}$
ماتریس ها
${\displaystyle {\frac {i}{\sqrt {2}}}\left(E_{jk}-E_{kj}\right){\text{ for }}1\leq j<k\leq n\quad \left({\frac {n^{2}-n}{2}}{\text{ matrices}}\right)}$
جایی کهi واحد خیالی را نشان می دهد
${\displaystyle i={\sqrt {-1}}~.}$
یک مثال این است که چهار ماتریس پائولی مبنای کاملی برای فضای برداری همه ماتریس‌های هرمیتی پیچیده 2 در 2 بر روی R را تشکیل می‌دهند.
تجزیه ویژهاگر n بردار ویژه متعارف باشد${\displaystyle \mathbf {u} _{1},\dots ,\mathbf {u} _{n}}$ از یک ماتریس هرمیتی به عنوان ستون‌های ماتریس U انتخاب و نوشته می‌شوند، سپس یک تجزیه ویژه A برابر است با
${\displaystyle A=U\Lambda U^{\mathsf {H}}}$ که در آن
${\displaystyle UU^{\mathsf {H}}=I=U^{\mathsf {H}}U}$ و بنابراین
${\displaystyle A=\sum _{j}\lambda _{j}\mathbf {u} _{j}\mathbf {u} _{j}^{\mathsf {H}}،}$
جایی که$\lambda _{j} $مقادیر ویژه در قطر ماتریس مورب هستند
مقادیر مفردمقادیر مفرد ازA مقادیر مطلق مقادیر ویژه آن هستند:از آنجا کهA دارای یک تجزیه ویژه است
${\displaystyle A=U\Lambda U^{H}}$، که در آن
U یک ماتریس واحد است (ستون های آن بردارهای متعامد هستند؛ به بالا مراجعه کنید)، یک تجزیه مقدار منفرد ازA است
${\displaystyle A=U|\Lambda |{\text{sgn}}(\Lambda )U^{H}}$، جایی که
${\displaystyle |\Lambda |}$ و${\displaystyle {\text{sgn}}(\Lambda )}$ ماتریس های مورب حاوی مقادیر مطلق هستند
${\displaystyle {\text{sgn}}(\lambda )} $ازمقادیر ویژه A به ترتیب.${\displaystyle \operatorname {sgn}(\Lambda )U^{H}}$ واحد است، زیرا ستون های
$U^{H}$ فقط در ضرب می شوند
دترمینان ${\displaystyle \det(A)=\det \left(A^{\mathsf {T}}\right)\quad \Rightarrow \quad \det \left(A^{\mathsf {H}}\right)={\overline {\det(A)}}} $