به لحاظ هندسی، انتگرال خم تابع حقیقی $f(x)$ بر بازه‌ی (مثلا) $[a٫b]$ میشه مساحت زیر نمودار.
اما برام سواله که حاصل انتگرال‌گیری از توابع مختلط مثلا روی یک خط چیه؟ مساحت؟ حجم؟
درک شهودی از انتگرال‌های مختلط
Re: درک شهودی از انتگرال‌های مختلط
[a,b] یه‌خطِ صافه. کجش کن. چه بلایی سرِ مساحتِ شکلِ زیرِ نمودار اومد؟ همون.
-
rohamavation
نام: roham hesami radرهام حسامی راد
محل اقامت: 100 مایلی شمال لندن جاده آیلستون، لستر، لسترشر. LE2
عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴
پست: 2694-
سپاس: 4748
- جنسیت:
تماس:
Re: درک شهودی از انتگرال‌های مختلط
تو حوزه مکانیک و هوافضا و سازه از اعداد مختلط برای تجزیه و تحلیل ارتعاش سازه ها رفتار جریان سیال در اطراف هواپیما سازه ها استفاده میشه مهمترین کاربرد اعداد مختلط در مهندسی اینه که محاسبات ارتعاشات / نوسانات را بسیار ساده میکنن
فرض کنید می خواهید ببینید که حرکت یک اسپویلر در هر بال چگونه بر پویایی هواپیما تأثیر میزاره. شما می توانید به سیستم در حوزه زمان نگاه کنین اما این می تونه منجر به یک معادله دیفرانسیل مرتبه 3 بشه (حساب واقعاً پیچیده). در عوض میتونین به پاسخ فرکانسی سیستم نگاه کنین. این پاسخ فرکانسی در نهایت حاوی اعداد مختلطه، اما می تواند چیزهای زیادی در مورد پاسخ سیستم به شما بگن ببین جریان روی بال توسط اسپویلر مختل میشه کشش بال افزایش می یابه و لیفت کاهش می یابه. از اسپویلرها می توان برای تخلیه بالابر و فرود آمدن هواپیما استفاده کرد. یا می توان از آنها برای کاهش سرعت هواپیما هنگام آماده شدن برای فرود استفاده کرد.
انتگرال تابع مختلط در امتداد C را به صورت عدد مختلط $∫Cf(z)dz=∫baf(z(t))z′(t)dt$ تعریف میشه. در اینجا فرض کن که $f(z(t))$ به صورت تکه ای در بازه a≤t≤b پیوستیه و به تابع $f(z)$ به صورت تکه ای پیوسته در C اشاره میکنم.شهود پشت اعداد مختلط، دلیل پیدا شدن و جدی گرفتن آنها دلیل اهمیت آنها برای قضیه اساسی جبر، این است که اعداد مختلط از نظر جبری بسته اند
اگر $f(z)$ یک تابع تک‌مقداره پیوسته در ناحیه R از صفحه مختلط باشه، انتگرال f(z) در طول مسیر C در R (شکل ۱) را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:$\large \int _ { C } f ( z ) d z = \int _ { C } ( u + { i } v ) ( d x + { i } d y )$ ,f(z) و dz را به ترتیب به شکل مجموع بخش‌های حقیقی و موهومی $f ( z ) = u + i v$,$d z = d x+ d y$نوشتم. در نتیجه، انتگرال را می‌تونم به صورت مجموع دو بخش حقیقی و موهومی بنویسم: $\large \int _ { C } f ( z ) d z = \int _ { C } ( u d x - v d y ) + { i } \int _ { C } ( v d x + u d y )$ا اغلب انتگرال‌های حقیقی را برای مساحت تفسیر می‌کنیم.انتگرال کانتور
یک کانتور C را در نظر بگیر پارامتر شده توسط$z(t) = x(t) + i y(t)$
برای $a\leq t\leq b$. ما انتگرال تابع مختلط را در امتداد C تعریف می کنم
عدد مختلطه $\int_C f(z)\,dz = \int_a^bf\left(z(t)\right)z’(t)\,dt.$
در اینجا فرض می کنیم که$f\left(z(t)\right)$ به صورت تکه ای در بازه $a \leq t \leq b$ پیوسته است
و به تابع $f(z)$ مراجعه کن به صورت تکه ای پیوسته در C. از آنجایی که c یک کانتوره ، $z′(t)$تابع کانتور (Cantor Function) و مجموعه کانتور (Cantor Set) هر دو پیچیده و رفتار نامشخصی دارن بطوری که نحوه ساخت هر یک از آنها به شکل‌های گوناگون میسره. هر چند تابع کانتور همه جا (Everywhere) پیوسته است ولی مشتق آن، تقریبا همه‌جا (Almost Everywhere) صفره$\large {\displaystyle c(x) = { \begin{cases}\sum _{ n = 1 }^{ \infty }{\frac { a_{ n } }{ 2^{ n } }} , & x = \sum _{n = 1}^{\infty }{\frac {2 a_{n}}{3^{ n } }} \in {\mathcal {C}}\ \mathrm { for } \ a_{n}\in \{0,1\}; \\ \sup _{y \leq x, \, y \in {\mathcal {C}}} c(y) , & x \in [ 0 , 1 ] \setminus {\mathcal {C}}\\ \end{cases}}}$یکی از ویژگی‌های جالب تابع کانتورناپیوستگی مطلق یا نداشتن خاصیت مطلقا پیوستهAbsolute Continuity است. از آنجایی که «اندازه لبگ» (Lebesgue Measure) روی مجموعه نامتناهی شمارش‌ناپذیر کانتور برابر با صفر است، برای هر $0 < \epsilon <1$ و δ مثبت، یک دنباله متناهی از زیرفاصله‌های مجزا وجود دارد که مجموع طولشان کمتر از δ است، ولی مجموع طول تابع کانتور آنها از ϵ بیشتر است. در نتیجه تابع کانتور مطلقا پیوسته نیست. همچنین به صورت تکه ای بر روی $a≤t≤b$ پیوسته است
; و بنابراین وجود انتگرال اول من تضمین میشه
سمت راست (1) یک انتگرال واقعی معمولی از یک تابع با ارزش پیچیده است. یعنی اگر $w(t) = u(t) + i v(t)$
، سپس$\int_a^b w(t)\,dt = \int_a^b u(t)\,dt + i \int_a^b v(t)\,dt$
حالا اجازه دهید انتگرال را بنویسم $f(z)= u(x,y)+ iv(x,y)$
از نظر قسمت واقعی و موهومی آن و همچنین دیفرانسیل
$dz=\frac{dz}{dt}dt = \left(\frac{dx}{dt}+ i \frac{dy}{dt}\right)dt = dx+ i dy$
سپس انتگرال مختلط (1) به یک جفت انتگرال خط واقعی تقسیم میشه
$\int_C f(z)\,dz = \int_C\left(u+iv\right)\left(dx+idy\right) = \int_C\left(u\,dx-v\,dy\right) + i
\int_C\left(v\,dx+u\,dy\right)$
مثال 1: بیایید $\int_C \overline{z}\, dz$ را ارزیابی کنیم
، جایی که C با $x=3t,
y=t^2$ داده میشه
، با -$-1\leq t\leq 4.$
منحنی صاف تکه ای:
:$z(t)=3t+ it^2$
، با -$-1\leq t\leq 4.$
اینجا داریم که C$z(t)=3t+ it^2 .$ است.
بنابراین، با شناسایی $f(z)=\overline{z}$
کمن دارم$f\left(z(t)\right)=\overline{3t+it^2}= 3t-it^2 .$
همچنین$z’(t) = 3 + 2it$
، و بنابراین انتگرال است$\int_C f(z)\,dz = \int_a^bf\left(z(t)\right)z’(t)\,dt.$
$195+ 65 i$
فرض کنید می خواهید ببینید که حرکت یک اسپویلر در هر بال چگونه بر پویایی هواپیما تأثیر میزاره. شما می توانید به سیستم در حوزه زمان نگاه کنین اما این می تونه منجر به یک معادله دیفرانسیل مرتبه 3 بشه (حساب واقعاً پیچیده). در عوض میتونین به پاسخ فرکانسی سیستم نگاه کنین. این پاسخ فرکانسی در نهایت حاوی اعداد مختلطه، اما می تواند چیزهای زیادی در مورد پاسخ سیستم به شما بگن ببین جریان روی بال توسط اسپویلر مختل میشه کشش بال افزایش می یابه و لیفت کاهش می یابه. از اسپویلرها می توان برای تخلیه بالابر و فرود آمدن هواپیما استفاده کرد. یا می توان از آنها برای کاهش سرعت هواپیما هنگام آماده شدن برای فرود استفاده کرد.
انتگرال تابع مختلط در امتداد C را به صورت عدد مختلط $∫Cf(z)dz=∫baf(z(t))z′(t)dt$ تعریف میشه. در اینجا فرض کن که $f(z(t))$ به صورت تکه ای در بازه a≤t≤b پیوستیه و به تابع $f(z)$ به صورت تکه ای پیوسته در C اشاره میکنم.شهود پشت اعداد مختلط، دلیل پیدا شدن و جدی گرفتن آنها دلیل اهمیت آنها برای قضیه اساسی جبر، این است که اعداد مختلط از نظر جبری بسته اند
اگر $f(z)$ یک تابع تک‌مقداره پیوسته در ناحیه R از صفحه مختلط باشه، انتگرال f(z) در طول مسیر C در R (شکل ۱) را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:$\large \int _ { C } f ( z ) d z = \int _ { C } ( u + { i } v ) ( d x + { i } d y )$ ,f(z) و dz را به ترتیب به شکل مجموع بخش‌های حقیقی و موهومی $f ( z ) = u + i v$,$d z = d x+ d y$نوشتم. در نتیجه، انتگرال را می‌تونم به صورت مجموع دو بخش حقیقی و موهومی بنویسم: $\large \int _ { C } f ( z ) d z = \int _ { C } ( u d x - v d y ) + { i } \int _ { C } ( v d x + u d y )$ا اغلب انتگرال‌های حقیقی را برای مساحت تفسیر می‌کنیم.انتگرال کانتور
یک کانتور C را در نظر بگیر پارامتر شده توسط$z(t) = x(t) + i y(t)$
برای $a\leq t\leq b$. ما انتگرال تابع مختلط را در امتداد C تعریف می کنم
عدد مختلطه $\int_C f(z)\,dz = \int_a^bf\left(z(t)\right)z’(t)\,dt.$
در اینجا فرض می کنیم که$f\left(z(t)\right)$ به صورت تکه ای در بازه $a \leq t \leq b$ پیوسته است
و به تابع $f(z)$ مراجعه کن به صورت تکه ای پیوسته در C. از آنجایی که c یک کانتوره ، $z′(t)$تابع کانتور (Cantor Function) و مجموعه کانتور (Cantor Set) هر دو پیچیده و رفتار نامشخصی دارن بطوری که نحوه ساخت هر یک از آنها به شکل‌های گوناگون میسره. هر چند تابع کانتور همه جا (Everywhere) پیوسته است ولی مشتق آن، تقریبا همه‌جا (Almost Everywhere) صفره$\large {\displaystyle c(x) = { \begin{cases}\sum _{ n = 1 }^{ \infty }{\frac { a_{ n } }{ 2^{ n } }} , & x = \sum _{n = 1}^{\infty }{\frac {2 a_{n}}{3^{ n } }} \in {\mathcal {C}}\ \mathrm { for } \ a_{n}\in \{0,1\}; \\ \sup _{y \leq x, \, y \in {\mathcal {C}}} c(y) , & x \in [ 0 , 1 ] \setminus {\mathcal {C}}\\ \end{cases}}}$یکی از ویژگی‌های جالب تابع کانتورناپیوستگی مطلق یا نداشتن خاصیت مطلقا پیوستهAbsolute Continuity است. از آنجایی که «اندازه لبگ» (Lebesgue Measure) روی مجموعه نامتناهی شمارش‌ناپذیر کانتور برابر با صفر است، برای هر $0 < \epsilon <1$ و δ مثبت، یک دنباله متناهی از زیرفاصله‌های مجزا وجود دارد که مجموع طولشان کمتر از δ است، ولی مجموع طول تابع کانتور آنها از ϵ بیشتر است. در نتیجه تابع کانتور مطلقا پیوسته نیست. همچنین به صورت تکه ای بر روی $a≤t≤b$ پیوسته است
; و بنابراین وجود انتگرال اول من تضمین میشه
سمت راست (1) یک انتگرال واقعی معمولی از یک تابع با ارزش پیچیده است. یعنی اگر $w(t) = u(t) + i v(t)$
، سپس$\int_a^b w(t)\,dt = \int_a^b u(t)\,dt + i \int_a^b v(t)\,dt$
حالا اجازه دهید انتگرال را بنویسم $f(z)= u(x,y)+ iv(x,y)$
از نظر قسمت واقعی و موهومی آن و همچنین دیفرانسیل
$dz=\frac{dz}{dt}dt = \left(\frac{dx}{dt}+ i \frac{dy}{dt}\right)dt = dx+ i dy$
سپس انتگرال مختلط (1) به یک جفت انتگرال خط واقعی تقسیم میشه
$\int_C f(z)\,dz = \int_C\left(u+iv\right)\left(dx+idy\right) = \int_C\left(u\,dx-v\,dy\right) + i
\int_C\left(v\,dx+u\,dy\right)$
مثال 1: بیایید $\int_C \overline{z}\, dz$ را ارزیابی کنیم
، جایی که C با $x=3t,
y=t^2$ داده میشه
، با -$-1\leq t\leq 4.$
منحنی صاف تکه ای:
:$z(t)=3t+ it^2$
، با -$-1\leq t\leq 4.$
اینجا داریم که C$z(t)=3t+ it^2 .$ است.
بنابراین، با شناسایی $f(z)=\overline{z}$
کمن دارم$f\left(z(t)\right)=\overline{3t+it^2}= 3t-it^2 .$
همچنین$z’(t) = 3 + 2it$
، و بنابراین انتگرال است$\int_C f(z)\,dz = \int_a^bf\left(z(t)\right)z’(t)\,dt.$
$195+ 65 i$
