انتگرال لبگ
ارسال شده: شنبه ۱۴۰۲/۲/۳۰ - ۰۸:۱۴
در ریاضیات، انتگرال‌گیری (Integration) روی یک تابع با مقادیر نامنفی، در ساده‌ترین حالت، به عنوان سطح زیر منحنی آن تابع (یعنی مساحت بین منحنی و محور مربوط به متغیر) در نظر گرفته می‌شود. «انتگرال لبگ» (Lebesgue Integral) این مفهوم را توسعه داده و انتگرال یک تابع را برحسب یک اندازه (Measure) تعیین می‌کند. از آنجایی که این گونه محاسبه انتگرال در ریاضیات مدرن، «نظریه احتمال» (Probability Theory) و «آنالیز ریاضی» (Mathematical Analysis) اهمیت داردانتگرال های Lebesgue ادغام توابع بر روی مجموعه های قابل اندازه گیری هستند که می توانند بسیاری از توابع را که نمی توانند به عنوان انتگرال های ریمان یا حتی انتگرال های ریمان-استیلتس ادغام شوند، ادغام کنند.
انتگرال لبگ در ریاضیات
زمانی که انتگرال و مشتق معرفی شدند، برای محاسبه سطح زیر منحنی هموار (مشتق‌پذیر) از انتگرال استفاده کردند، بخصوص زمانی که تابع مربوط به منحنی، یک تابع نامنفی باشد، مساحت بخش پایین منحنی تا محور افقی، همان انتگرال تابع در نظر گرفته می‌شد.
برای توابع شناخته شده، انتگرال براساس قواعد موجود به شکل انتگرال معین معرفی و برای توابع دیگر، نحوه محاسبه انتگرال به صورت عددی و تقریبی ارائه و مورد بهره‌برداری قرار گرفت.
ولیدر بعضی از مواقع مانند فرآیندهای حدی در آنالیز ریاضی و تئوری احتمالات، نوع خاصی از انتگرال مورد احتیاج بود که توسط «هنری لبگ» (Henri Lebesgue) ریاضیدان فرانسوی، مبانی آن توسعه یافت، بطوری که حتی در فضاهایی خارج از اعداد حقیقی نیز قابل استفاده است.
به طور کلی، انتگرال لبگ به انتگرال یک تابع نسبت به یک اندازه (Measure) اطلاق می‌شود، بخصوص اگر این اندازه، همان «اندازه لبگ» (Lebesgue Measure) باشد.
مقدمه‌ای بر انتگرال ریمانهمانطور که گفته شد، انتگرال تابع مثبت f روی بازه (a,b) را می‌توان به صورت سطح زیر منحنی
f تا محور افقی در نظر گرفت. این موضوع بخصوص برای خانواده توابع چند جمله‌ای به خوبی محسوس است.
سطح زیر منحنی برای همه توابع نمی‌تواند موید، انتگرال باشد. روش‌های انتگرال‌گیری پاسخی به این پرسش است که چگونه باید انتگرال را محاسبه کرد. «انتگرال ریمان» (Riemann Integral) یکی از پاسخ‌ها به این مسئله است که توسط «برنارد ریمان» (Bernhard Riemann)، ریاضیدان آلمانی، در قرن ۱۹ ارائه شد. او توسط مجموع دنباله‌ای از مساحت مستطیل‌هایی که بین منحنی تابع و محور افقی تعریف کرد، تقریبی برای انتگرال معرفی نمود. موفقیت تعریفی که او ارائه داد، به علت همخوانی با انتگرال‌های توابع خوش تعریف و همچنین حل انتگرال برای توابع جدید بود. هر چند ریمان به محاسبه حد و همگرایی این دنباله نپرداخت ولی به کمک مطالعات در زمینه «سری‌های فوریه» (Fourier Series) و «تبدیل فوریه» (Fourier Transform) می‌توان همگرایی این دنباله‌ها را مشخص و اثبات کرد.
در مقابل، انتگرال لبگ نشان می‌دهد چه زمانی می‌توانیم حد را به داخل انتگرال برده یا از آن خارج کنیم. این موضوع توسط قضیه‌های موسوم به «همگرایی یکنوا» (Monotone Convergence Theorem) و «همگرایی مغلوب» (Dominated Convergence Theorem) اثبات می‌شود.
تفسیر شهودی انتگرال از دیدگاه ریمان و لبگبرای درک بهتر روشی که انتگرال ریمان و انتگرال لبگ برای محاسبه انتگرال به کار بردند به سطح زیر منحنی برای یک تابع مثبت با دو رویکرد ریمان و لبگ توجه می‌کنیم. فرض کنید تابعی هموار و دارای پادمشتق (انتگرالپذیر) مانند f داریم و می‌خواهیم انتگرال آن را روی بازه a تا b با شرط a<b بدست آوریم.
در نظر بگیرید که می‌خواهیم حجم یک کوه را به کمک انتگرال ریمان محاسبه کنیم. سطح دریا را به عنوان مبدا یا همان سطح افق در نظر داشته باشید.
سطح زیرین کوه را به شبکه‌هایی با مساحت ۱ متر مربع تقسیم بندی کنید. ارتفاع کوه در مرکز هر یک از این مربع‌ها در نظر گرفته می‌شود. به این ترتیب حجم یک قطعه از کوه به وسیله ضرب سطح مقطع در ارتفاع، تخمین زده می‌شود. بر همین اساس حجم کوه برابر با مجموع ارتفاع‌ها خواهد بود. پس اگر ارتفاع را با
fi در سطح مقطع iام در نظر بگیریم، خواهیم داشت:$\large Volume = 1 \text{m^2} \times \sum f_i$این بار با رویکرد لبگ به مسئله نگاه می‌کنیم. ابتدا نمودار کانتور (Contour Map) از کوه را ترسیم می‌کنیم. اگر هر یک از این کانتورها با یکدیگر ۱ متر فاصله داشته باشند، سطح هر یک از کانتورها تقریبا برابر با حجم بخشی از کوه خواهد بود. در نتیجه حجم کوه با جمع کردن سطوح کانتور محاسبه می‌شود.
$\large Volume = \sum \text{Contour’s area } \times 1$ در انتگرال ریمان، مقادیر دامنه تابع f، افراز (Partition) شده در حالیکه در انتگرال لبگ، برد تابع
f افراز خواهد شد.تعریف رسمی انتگرال لبگبرای تعریف انتگرال ریمان در اینجا از نماد اندازه μ روی یک مجموعه مثل A استفاده می‌کنیم. می‌دانیم که اندازه روی یک مجموعه از اعداد حقیقی، نامنفی است. در نتیجه
μ(A) را اندازه A می‌نامیم. این اندازه برای مجموعه اعداد حقیقی همان اندازه لبگ (طول فاصله) است.
به این ترتیب با افراز برد تابع f، انتگرال تابع f روی بازه یا مجموعه A به صورت مجموع سطوح منحنی در هر بازه y=t و y=t−dt قرار می‌گیرد. به صورت ابتدایی اندازه برای چنین مجموعه‌ای را به صورت زیر نشان می‌دهیم.$\large \mu \left(\{ x \mid f(x) > t \}\right)\, d t$tفرض کنید که$\large f^{*}(t) = \mu \left(\{ x \mid f(x) > t \}\right)$
به شکل زیر تعریف می‌شود.$\large \int f \, d \mu = \int _{0}^{\infty }f^{*}(t) \, d t$
طرف راست تساوی بالا، انتگرال ریمان و طرف چپ، نشانگر انتگرال لبگ تحت اندازه μ است.توجه داشته باشید که$f^*$ یک تابع نانزولی و نامنفی است. در نتیجه برای انتگرال ریمان یک تابع خوش‌تعریف است که در بازه $[0,\infty)$ تغییر می‌کند. برای کلاس توابع خوش‌تعریف (توابع اندازه‌پذیر) تساوی بالا برقرار خواهد بود.
در حالتی که تابع f ضرورتا مثبت نباشد، تابع اندازه‌پذیر f دارای انتگرال لبگ است اگر سطح بین منحنی f و محور افقی، متناهی باشد. به این ترتیب خواهیم داشت:
$\large \int |f| \, d \mu < + \infty$
با وجود این شرط درست به مانند انتگرال ریمان، مقدار انتگرال لبگ روی دو ناحیه محاسبه شده و انتگرال کلی بدست می‌آید.$\large \int f \, d \mu = \int f^{+} \, d \mu – \int f^{-} \, d \mu$
در رابطه بالا، $f = f^+ – f^-$و$f^-$و$f^+$ تفکیک تابع f به دو تابع نامنفی است که به صورت زیر ساخته می‌شوند.
$\large {\displaystyle {\begin{alignedat}{3}f^{ + }(x) & = \max\{ f(x), 0 \}&{} = {} & { \begin{cases} f(x),&{\text{if }} f(x) > 0 ,\\ 0 , &{\text{otherwise}} \end{cases}}\\ \\f^{-}(x)& = \max\{-f(x),0\} & {} = {} & {\begin{cases} – f(x),&{\text{if }}f(x) < 0 , \\ 0 , & {\text{otherwise}} \end{cases}} \end{alignedat}}}$
otherwiseساختار انتگرال لبگ
همانطور که گفتیم، در انتگرال لبگ از اندازه لبگ در نظریه اندازه استفاده می‌شود. در نتیجه ابتدا براساس توابع ساده اندازه پذیر لبگ، محاسبه انتگرال آغاز و تعریف شده، سپس مفهوم انتگرال لبگ برای توابع دیگر تعریف و به کار گرفته می‌شود. ساده‌ترین تابع در نظریه اندازه، «تابع نشانگر» (Indicator Function) است که محل آغاز تعریف انتگرال لبگ محسوب می‌شود.
هر تابع ساده (Simple Function) را به کمک ترکیب خطی از تابع نشانگر می‌توان ایجاد کرد. می‌توان نشان داد که تابع نشانگر، لبگ-اندازه‌پذیر است در نتیجه ترکیب خطی از تابع نشانگر که تابع ساده را می‌سازد، نیز اندازه‌پذیر لبگ است.
انتگرال لبگ برای تابع نشانگربرای تابع مشخصه یا نشانگر 1S که در آن S یک مجموعه μ-اندازه‌پذیر است، مقدار انتگرال لبگ به صورت زیر تعیین می‌شود.
$\large {\displaystyle \int 1_{S} \, d \mu = \mu (S)}$
توجه داشته باشید که نتیجه ممکن است شامل +∞ نیز باشد مگر آنکه اندازه μ، متناهی در نظر گرفته شود.
در ادامه به کمک یک مثال، تفاوت انتگرال ریمان و انتگرال لبگ را برای تابع نشانگر روشن‌تر می‌کنیم.
مثال: در این مثال تابع نشانگر اعداد گویا $1_Q$ را در نظر می‌گیریم و نشان می‌دهیم که این تابع، انتگرالپذیر لبگ بوده ولی انتگرالپذیر ریمان نیست.
$1_Q$
را تابع نشانگر اعداد گویا در نظر بگیرید. مقدار این تابع برای هر عدد گویا برابر با ۱ و برای اعداد غیرگویا، صفر خواهد بود. چنین تابع را گاهی با نام «تابع دریکله» (Dirichlet Function) نیز می‌شناسند. واضح است که این تابع در هیچ نقطه‌ای پیوسته نیست.تابع نشانگر اعداد گویا، انتگرالپذیر ریمان روی بازه [0,1] نیست. اگر به هر شکل ممکن، بازه [0,1] را افراز کنید، به هر حال یک عدد گویا و یک عدد غیرگویا (اصم) در داخل افراز قرار می‌گیرند. زیرا مجموعه اعداد گویا و اصم هر دو فشرده (Dense) در اعداد حقیقی هستند. به این ترتیب «مجموع بالایی داربوکس» (Upper Darboux Sums) همگی برابر با ۱ بوده و مقادیر «جمع پایینی داربوکس» (Lower Darboux Sums) هم صفر هستند. در نتیجه انتگرال ریمان موجود نخواهد بود، زیرا این دو مجموع با یکدیگر برابر نیستند.
تابع نشانگر اعداد گویا، انتگرالپذیر لبگ روی بازه [0,1] است. اندازه لبگ را در نظر بگیرید. در این صورت رابطه زیر برقرار است:$\large \int _{[0,1]}1_{\mathbf {Q} } \, d \mu = \mu (\mathbf {Q} \cap [0,1] ) =0$ به این علت برابر با صفر است که مجموعه اعداد گویا، شمارش‌پذیر بوده و می‌دانیم برای چنین مجموعه‌ای، اندازه لبگ صفر است.
dirichlet function
انتگرال لبگ برای تابع ساده
یک تابع ساده به صورت ترکیب خطی از توابع نشانگر ساخته می‌شود. به این ترتیب بین تابع Lebesgue Integral - مفهوم گرافیکی
من در تجسم "مکانیک" انتگرال Lebesgue با مشکل مواجه هستم، اما پس از ویرایش زیاد سوال، فکر می کنم آن را دریافت کرده ام (حداقل برای توابع خوب که نظریه اندازه گیری می تواند تا حدودی بدیهی تلقی شود).
بنابراین تصمیم گرفتم مطالبی را که روی آن کار کرده ام به عنوان پاسخ پیشنهادی پست کنم.
بخشی از این سوء تفاهم مربوط به نمودارهایی بود که به صورت آنلاین یافت می‌شدند که بر خلاف عملکردهای ساده، صفحاتی از سازه‌های افقی و آجری را نشان می‌دادند. علاوه بر این، تعاریف اولیه در فصل مربوط به انتگرال های Lebesgue در باغی از انتگرال ها توسط فرانک ای بورک:
اگر تابع f قابل اندازه گیری در بازه [a,b] محدود شده است
با α<f<β، می توانیم محدوده f را پارتیشن بندی کنیم
:$\alpha=y_0<y_1<\cdots<y_n=\beta$، و علامت$E_{\,k}=\{ x \in [a,b]
\,|\, y_{\,k-1}\leq f<y_{\,k} \}$
برای$k=1, 2, \cdots,n$
.اکنون مجموع پایین تر را تشکیل می دهیم، $\displaystyle\sum_{k=1}^n y_{\,k-1}\,
\mu\,(E_{\,k})$و مجموع بالایی، $\displaystyle\sum_{k=1}^n
y_{\,k}\, \mu\,(E_{\,k})$.مقایسه برتری مجموع پایین‌تر با infimum مجموع بالا در تمام بخش‌های ممکن [α,β]، می بینیم که آیا این دو عدد با هم برابر هستند، بگوییم A، می گوییم f Lebesgue قابل ادغام در [a,b] است$A=L\displaystyle\int_a^bf\,d\mu$ را می نویسیم
... تعریف معنای انتگرال Lebesgue و نه تعریف انتگرال Lebesgue، من را به سمت اشتباه سوق داد و انتگرال Lebesgue را با انتگرال Darboux اشتباه گرفتم (همانطور که در نظرات اشاره شد)، اگرچه بیشتر شبیه به انتگرال ریمان است. ادغام ریمان از مبالغ پایین و بالا استفاده نمی کند. در اینجا یک نمایش گرافیکی وجود دارد:ما به دنبال مجموع همه توابع ساده ممکن (می توانیم آنها را به عنوان توابع مرحله ای در نظر بگیریم)، در زیر منحنی، همانطور که در اینجا به زیبایی توضیح داده شده است، می گردیم. منطقی است که در مورد supremum صحبت کنیم زیرا ما به مقدار مساحت زیر منحنی با توابع ساده نزدیک می شویم که تعداد مراحل محدودی دارند.
شاید متأسفانه برخی از نمادنگاری ایستا آنلاین ممکن است به تصور نادرستی از یک هرم که با صفحات افقی و از داخل به بیرون ساخته شده است اشاره کند، مانند این اسلاید از Coursera، با صفحات افقی آجر مانند، برخلاف عملکردهای ساده:
در ادغام Lebesgue، مانند انتگرال داربوکس، "مجموع پایین تر" و "مجموع بالا" همگرا وجود ندارد. به همین ترتیب بین بی نهایت توابع ساده ممکن به دلیل ماهیت "گام" آنها همپوشانی وجود ندارد. انتگرال Lebesgue بر روی یک تابع قابل اندازه گیری $f: M\rightarrow \mathbb R$ تعریف می شود
:$\int f\,d\mu := \text{sup} \left[\sum_{z\in s(M)} z\,\mu \left( \text{preim}\left(\{z\}\right) \right) \right]$
کجا s مربوط به یک تابع ساده است:
کارکرد در برخی از مجموعه های قابل اندازه گیری (یعنی مجموعه ای مجهز به σ
جبر)، آن را به خط واقعی ببرید: f:M→R.
این فقط مقادیر محدودی می گیرد: $s(M)=\{s_1, s_2,\cdots,s_N\}$
برای برخی N∈N.
این تابع ساده را می توان به صورت $s = \displaystyle \sum_{z\in s(M)} \underbrace{\color{red}{\color{red}{\,z\,}}}_{\small\color{red}{\text{height}}} \, \underbrace{\color{blue}{\chi_{\text{preim}_s}(\{z\})}}_{\small\color{blue}{\text{base}}}$یه نوشت.
، با $\chi_{\text{preim}_s}(\{z\})$
مشخصه یا تابع نشانگر بودنمحدوده یا کد دامنه تابع با تعیین حداکثر مقدار n تقسیم بندی می شود
به k=0 به $k = 2^n n$ فواصل در ارتفاعات $\frac{k}{2^n}$به منظور تعریف دنباله ای از توابع ساده fn:
$f_n(x) = \sum_{k=0}^{n2^n-1}\frac{k}{2^n}\; \chi_{\frac{k}{2^n}\leq f(x)<\frac{k+1}{2^n}}\; +\; n\,\chi_{f(x) \geq n}$
یعنی با مقدار n اگر f(x) مساوی یا بزرگتر از n است،
و در غیر این صورت با کمترین مقدار برای آن بازه،$\frac{k}{2^n}.$
در تابع نشانگر بالای $\frac{k}{2^n}\leq f(x)<\frac{k+1}{2^n}$
می توان به صورت متناوب به صورت $k=\lfloor 2^n f(x) \rfloor.$بیان کرد
با $k=\lfloor 2^n f(x) \rfloor.$
در اینجا توضیح داده شده است. از نظر گرافیکی،
کدنویسی یک مفهوم کمک می کند، بنابراین من سعی کردم این کار را برای این پست انجام دهم و انتگرال Lebesgue$y = x^2$ را نشان دهم.
بین [0,1]. کد اینجاست و خروجی به صورت زیر است:
در نهایت، در اینجا یک "ساخت" سیستماتیک از انتگرال Lebesgue برای یک سهمی معکوس آمده است، که واقعاً نشان می دهد که چگونه مرحله حیاتی تقسیم بندی محدوده (محور y) در N است.
، که نماد نگاری "هرم" را که اغلب به صورت آنلاین یافت می شود، توضیح می دهد، که بصری است، اما این پتانسیل را دارد که انتگرال را به عنوان انبوهی از صفحات افقی نشان دهد. این یک مانع بزرگ برای درک تفاوت بین انتگرال Lebesgue و Darboux بود.
انتگرال لبگ در ریاضیات
زمانی که انتگرال و مشتق معرفی شدند، برای محاسبه سطح زیر منحنی هموار (مشتق‌پذیر) از انتگرال استفاده کردند، بخصوص زمانی که تابع مربوط به منحنی، یک تابع نامنفی باشد، مساحت بخش پایین منحنی تا محور افقی، همان انتگرال تابع در نظر گرفته می‌شد.
برای توابع شناخته شده، انتگرال براساس قواعد موجود به شکل انتگرال معین معرفی و برای توابع دیگر، نحوه محاسبه انتگرال به صورت عددی و تقریبی ارائه و مورد بهره‌برداری قرار گرفت.
ولیدر بعضی از مواقع مانند فرآیندهای حدی در آنالیز ریاضی و تئوری احتمالات، نوع خاصی از انتگرال مورد احتیاج بود که توسط «هنری لبگ» (Henri Lebesgue) ریاضیدان فرانسوی، مبانی آن توسعه یافت، بطوری که حتی در فضاهایی خارج از اعداد حقیقی نیز قابل استفاده است.
به طور کلی، انتگرال لبگ به انتگرال یک تابع نسبت به یک اندازه (Measure) اطلاق می‌شود، بخصوص اگر این اندازه، همان «اندازه لبگ» (Lebesgue Measure) باشد.
مقدمه‌ای بر انتگرال ریمانهمانطور که گفته شد، انتگرال تابع مثبت f روی بازه (a,b) را می‌توان به صورت سطح زیر منحنی
f تا محور افقی در نظر گرفت. این موضوع بخصوص برای خانواده توابع چند جمله‌ای به خوبی محسوس است.
سطح زیر منحنی برای همه توابع نمی‌تواند موید، انتگرال باشد. روش‌های انتگرال‌گیری پاسخی به این پرسش است که چگونه باید انتگرال را محاسبه کرد. «انتگرال ریمان» (Riemann Integral) یکی از پاسخ‌ها به این مسئله است که توسط «برنارد ریمان» (Bernhard Riemann)، ریاضیدان آلمانی، در قرن ۱۹ ارائه شد. او توسط مجموع دنباله‌ای از مساحت مستطیل‌هایی که بین منحنی تابع و محور افقی تعریف کرد، تقریبی برای انتگرال معرفی نمود. موفقیت تعریفی که او ارائه داد، به علت همخوانی با انتگرال‌های توابع خوش تعریف و همچنین حل انتگرال برای توابع جدید بود. هر چند ریمان به محاسبه حد و همگرایی این دنباله نپرداخت ولی به کمک مطالعات در زمینه «سری‌های فوریه» (Fourier Series) و «تبدیل فوریه» (Fourier Transform) می‌توان همگرایی این دنباله‌ها را مشخص و اثبات کرد.
در مقابل، انتگرال لبگ نشان می‌دهد چه زمانی می‌توانیم حد را به داخل انتگرال برده یا از آن خارج کنیم. این موضوع توسط قضیه‌های موسوم به «همگرایی یکنوا» (Monotone Convergence Theorem) و «همگرایی مغلوب» (Dominated Convergence Theorem) اثبات می‌شود.
تفسیر شهودی انتگرال از دیدگاه ریمان و لبگبرای درک بهتر روشی که انتگرال ریمان و انتگرال لبگ برای محاسبه انتگرال به کار بردند به سطح زیر منحنی برای یک تابع مثبت با دو رویکرد ریمان و لبگ توجه می‌کنیم. فرض کنید تابعی هموار و دارای پادمشتق (انتگرالپذیر) مانند f داریم و می‌خواهیم انتگرال آن را روی بازه a تا b با شرط a<b بدست آوریم.
در نظر بگیرید که می‌خواهیم حجم یک کوه را به کمک انتگرال ریمان محاسبه کنیم. سطح دریا را به عنوان مبدا یا همان سطح افق در نظر داشته باشید.
سطح زیرین کوه را به شبکه‌هایی با مساحت ۱ متر مربع تقسیم بندی کنید. ارتفاع کوه در مرکز هر یک از این مربع‌ها در نظر گرفته می‌شود. به این ترتیب حجم یک قطعه از کوه به وسیله ضرب سطح مقطع در ارتفاع، تخمین زده می‌شود. بر همین اساس حجم کوه برابر با مجموع ارتفاع‌ها خواهد بود. پس اگر ارتفاع را با
fi در سطح مقطع iام در نظر بگیریم، خواهیم داشت:$\large Volume = 1 \text{m^2} \times \sum f_i$این بار با رویکرد لبگ به مسئله نگاه می‌کنیم. ابتدا نمودار کانتور (Contour Map) از کوه را ترسیم می‌کنیم. اگر هر یک از این کانتورها با یکدیگر ۱ متر فاصله داشته باشند، سطح هر یک از کانتورها تقریبا برابر با حجم بخشی از کوه خواهد بود. در نتیجه حجم کوه با جمع کردن سطوح کانتور محاسبه می‌شود.
$\large Volume = \sum \text{Contour’s area } \times 1$ در انتگرال ریمان، مقادیر دامنه تابع f، افراز (Partition) شده در حالیکه در انتگرال لبگ، برد تابع
f افراز خواهد شد.تعریف رسمی انتگرال لبگبرای تعریف انتگرال ریمان در اینجا از نماد اندازه μ روی یک مجموعه مثل A استفاده می‌کنیم. می‌دانیم که اندازه روی یک مجموعه از اعداد حقیقی، نامنفی است. در نتیجه
μ(A) را اندازه A می‌نامیم. این اندازه برای مجموعه اعداد حقیقی همان اندازه لبگ (طول فاصله) است.
به این ترتیب با افراز برد تابع f، انتگرال تابع f روی بازه یا مجموعه A به صورت مجموع سطوح منحنی در هر بازه y=t و y=t−dt قرار می‌گیرد. به صورت ابتدایی اندازه برای چنین مجموعه‌ای را به صورت زیر نشان می‌دهیم.$\large \mu \left(\{ x \mid f(x) > t \}\right)\, d t$tفرض کنید که$\large f^{*}(t) = \mu \left(\{ x \mid f(x) > t \}\right)$
به شکل زیر تعریف می‌شود.$\large \int f \, d \mu = \int _{0}^{\infty }f^{*}(t) \, d t$
طرف راست تساوی بالا، انتگرال ریمان و طرف چپ، نشانگر انتگرال لبگ تحت اندازه μ است.توجه داشته باشید که$f^*$ یک تابع نانزولی و نامنفی است. در نتیجه برای انتگرال ریمان یک تابع خوش‌تعریف است که در بازه $[0,\infty)$ تغییر می‌کند. برای کلاس توابع خوش‌تعریف (توابع اندازه‌پذیر) تساوی بالا برقرار خواهد بود.
در حالتی که تابع f ضرورتا مثبت نباشد، تابع اندازه‌پذیر f دارای انتگرال لبگ است اگر سطح بین منحنی f و محور افقی، متناهی باشد. به این ترتیب خواهیم داشت:
$\large \int |f| \, d \mu < + \infty$
با وجود این شرط درست به مانند انتگرال ریمان، مقدار انتگرال لبگ روی دو ناحیه محاسبه شده و انتگرال کلی بدست می‌آید.$\large \int f \, d \mu = \int f^{+} \, d \mu – \int f^{-} \, d \mu$
در رابطه بالا، $f = f^+ – f^-$و$f^-$و$f^+$ تفکیک تابع f به دو تابع نامنفی است که به صورت زیر ساخته می‌شوند.
$\large {\displaystyle {\begin{alignedat}{3}f^{ + }(x) & = \max\{ f(x), 0 \}&{} = {} & { \begin{cases} f(x),&{\text{if }} f(x) > 0 ,\\ 0 , &{\text{otherwise}} \end{cases}}\\ \\f^{-}(x)& = \max\{-f(x),0\} & {} = {} & {\begin{cases} – f(x),&{\text{if }}f(x) < 0 , \\ 0 , & {\text{otherwise}} \end{cases}} \end{alignedat}}}$
otherwiseساختار انتگرال لبگ
همانطور که گفتیم، در انتگرال لبگ از اندازه لبگ در نظریه اندازه استفاده می‌شود. در نتیجه ابتدا براساس توابع ساده اندازه پذیر لبگ، محاسبه انتگرال آغاز و تعریف شده، سپس مفهوم انتگرال لبگ برای توابع دیگر تعریف و به کار گرفته می‌شود. ساده‌ترین تابع در نظریه اندازه، «تابع نشانگر» (Indicator Function) است که محل آغاز تعریف انتگرال لبگ محسوب می‌شود.
هر تابع ساده (Simple Function) را به کمک ترکیب خطی از تابع نشانگر می‌توان ایجاد کرد. می‌توان نشان داد که تابع نشانگر، لبگ-اندازه‌پذیر است در نتیجه ترکیب خطی از تابع نشانگر که تابع ساده را می‌سازد، نیز اندازه‌پذیر لبگ است.
انتگرال لبگ برای تابع نشانگربرای تابع مشخصه یا نشانگر 1S که در آن S یک مجموعه μ-اندازه‌پذیر است، مقدار انتگرال لبگ به صورت زیر تعیین می‌شود.
$\large {\displaystyle \int 1_{S} \, d \mu = \mu (S)}$
توجه داشته باشید که نتیجه ممکن است شامل +∞ نیز باشد مگر آنکه اندازه μ، متناهی در نظر گرفته شود.
در ادامه به کمک یک مثال، تفاوت انتگرال ریمان و انتگرال لبگ را برای تابع نشانگر روشن‌تر می‌کنیم.
مثال: در این مثال تابع نشانگر اعداد گویا $1_Q$ را در نظر می‌گیریم و نشان می‌دهیم که این تابع، انتگرالپذیر لبگ بوده ولی انتگرالپذیر ریمان نیست.
$1_Q$
را تابع نشانگر اعداد گویا در نظر بگیرید. مقدار این تابع برای هر عدد گویا برابر با ۱ و برای اعداد غیرگویا، صفر خواهد بود. چنین تابع را گاهی با نام «تابع دریکله» (Dirichlet Function) نیز می‌شناسند. واضح است که این تابع در هیچ نقطه‌ای پیوسته نیست.تابع نشانگر اعداد گویا، انتگرالپذیر ریمان روی بازه [0,1] نیست. اگر به هر شکل ممکن، بازه [0,1] را افراز کنید، به هر حال یک عدد گویا و یک عدد غیرگویا (اصم) در داخل افراز قرار می‌گیرند. زیرا مجموعه اعداد گویا و اصم هر دو فشرده (Dense) در اعداد حقیقی هستند. به این ترتیب «مجموع بالایی داربوکس» (Upper Darboux Sums) همگی برابر با ۱ بوده و مقادیر «جمع پایینی داربوکس» (Lower Darboux Sums) هم صفر هستند. در نتیجه انتگرال ریمان موجود نخواهد بود، زیرا این دو مجموع با یکدیگر برابر نیستند.
تابع نشانگر اعداد گویا، انتگرالپذیر لبگ روی بازه [0,1] است. اندازه لبگ را در نظر بگیرید. در این صورت رابطه زیر برقرار است:$\large \int _{[0,1]}1_{\mathbf {Q} } \, d \mu = \mu (\mathbf {Q} \cap [0,1] ) =0$ به این علت برابر با صفر است که مجموعه اعداد گویا، شمارش‌پذیر بوده و می‌دانیم برای چنین مجموعه‌ای، اندازه لبگ صفر است.
dirichlet function
انتگرال لبگ برای تابع ساده
یک تابع ساده به صورت ترکیب خطی از توابع نشانگر ساخته می‌شود. به این ترتیب بین تابع Lebesgue Integral - مفهوم گرافیکی
من در تجسم "مکانیک" انتگرال Lebesgue با مشکل مواجه هستم، اما پس از ویرایش زیاد سوال، فکر می کنم آن را دریافت کرده ام (حداقل برای توابع خوب که نظریه اندازه گیری می تواند تا حدودی بدیهی تلقی شود).
بنابراین تصمیم گرفتم مطالبی را که روی آن کار کرده ام به عنوان پاسخ پیشنهادی پست کنم.
بخشی از این سوء تفاهم مربوط به نمودارهایی بود که به صورت آنلاین یافت می‌شدند که بر خلاف عملکردهای ساده، صفحاتی از سازه‌های افقی و آجری را نشان می‌دادند. علاوه بر این، تعاریف اولیه در فصل مربوط به انتگرال های Lebesgue در باغی از انتگرال ها توسط فرانک ای بورک:
اگر تابع f قابل اندازه گیری در بازه [a,b] محدود شده است
با α<f<β، می توانیم محدوده f را پارتیشن بندی کنیم
:$\alpha=y_0<y_1<\cdots<y_n=\beta$، و علامت$E_{\,k}=\{ x \in [a,b]
\,|\, y_{\,k-1}\leq f<y_{\,k} \}$
برای$k=1, 2, \cdots,n$
.اکنون مجموع پایین تر را تشکیل می دهیم، $\displaystyle\sum_{k=1}^n y_{\,k-1}\,
\mu\,(E_{\,k})$و مجموع بالایی، $\displaystyle\sum_{k=1}^n
y_{\,k}\, \mu\,(E_{\,k})$.مقایسه برتری مجموع پایین‌تر با infimum مجموع بالا در تمام بخش‌های ممکن [α,β]، می بینیم که آیا این دو عدد با هم برابر هستند، بگوییم A، می گوییم f Lebesgue قابل ادغام در [a,b] است$A=L\displaystyle\int_a^bf\,d\mu$ را می نویسیم
... تعریف معنای انتگرال Lebesgue و نه تعریف انتگرال Lebesgue، من را به سمت اشتباه سوق داد و انتگرال Lebesgue را با انتگرال Darboux اشتباه گرفتم (همانطور که در نظرات اشاره شد)، اگرچه بیشتر شبیه به انتگرال ریمان است. ادغام ریمان از مبالغ پایین و بالا استفاده نمی کند. در اینجا یک نمایش گرافیکی وجود دارد:ما به دنبال مجموع همه توابع ساده ممکن (می توانیم آنها را به عنوان توابع مرحله ای در نظر بگیریم)، در زیر منحنی، همانطور که در اینجا به زیبایی توضیح داده شده است، می گردیم. منطقی است که در مورد supremum صحبت کنیم زیرا ما به مقدار مساحت زیر منحنی با توابع ساده نزدیک می شویم که تعداد مراحل محدودی دارند.
شاید متأسفانه برخی از نمادنگاری ایستا آنلاین ممکن است به تصور نادرستی از یک هرم که با صفحات افقی و از داخل به بیرون ساخته شده است اشاره کند، مانند این اسلاید از Coursera، با صفحات افقی آجر مانند، برخلاف عملکردهای ساده:
در ادغام Lebesgue، مانند انتگرال داربوکس، "مجموع پایین تر" و "مجموع بالا" همگرا وجود ندارد. به همین ترتیب بین بی نهایت توابع ساده ممکن به دلیل ماهیت "گام" آنها همپوشانی وجود ندارد. انتگرال Lebesgue بر روی یک تابع قابل اندازه گیری $f: M\rightarrow \mathbb R$ تعریف می شود
:$\int f\,d\mu := \text{sup} \left[\sum_{z\in s(M)} z\,\mu \left( \text{preim}\left(\{z\}\right) \right) \right]$
کجا s مربوط به یک تابع ساده است:
کارکرد در برخی از مجموعه های قابل اندازه گیری (یعنی مجموعه ای مجهز به σ
جبر)، آن را به خط واقعی ببرید: f:M→R.
این فقط مقادیر محدودی می گیرد: $s(M)=\{s_1, s_2,\cdots,s_N\}$
برای برخی N∈N.
این تابع ساده را می توان به صورت $s = \displaystyle \sum_{z\in s(M)} \underbrace{\color{red}{\color{red}{\,z\,}}}_{\small\color{red}{\text{height}}} \, \underbrace{\color{blue}{\chi_{\text{preim}_s}(\{z\})}}_{\small\color{blue}{\text{base}}}$یه نوشت.
، با $\chi_{\text{preim}_s}(\{z\})$
مشخصه یا تابع نشانگر بودنمحدوده یا کد دامنه تابع با تعیین حداکثر مقدار n تقسیم بندی می شود
به k=0 به $k = 2^n n$ فواصل در ارتفاعات $\frac{k}{2^n}$به منظور تعریف دنباله ای از توابع ساده fn:
$f_n(x) = \sum_{k=0}^{n2^n-1}\frac{k}{2^n}\; \chi_{\frac{k}{2^n}\leq f(x)<\frac{k+1}{2^n}}\; +\; n\,\chi_{f(x) \geq n}$
یعنی با مقدار n اگر f(x) مساوی یا بزرگتر از n است،
و در غیر این صورت با کمترین مقدار برای آن بازه،$\frac{k}{2^n}.$
در تابع نشانگر بالای $\frac{k}{2^n}\leq f(x)<\frac{k+1}{2^n}$
می توان به صورت متناوب به صورت $k=\lfloor 2^n f(x) \rfloor.$بیان کرد
با $k=\lfloor 2^n f(x) \rfloor.$
در اینجا توضیح داده شده است. از نظر گرافیکی،
کدنویسی یک مفهوم کمک می کند، بنابراین من سعی کردم این کار را برای این پست انجام دهم و انتگرال Lebesgue$y = x^2$ را نشان دهم.
بین [0,1]. کد اینجاست و خروجی به صورت زیر است:
در نهایت، در اینجا یک "ساخت" سیستماتیک از انتگرال Lebesgue برای یک سهمی معکوس آمده است، که واقعاً نشان می دهد که چگونه مرحله حیاتی تقسیم بندی محدوده (محور y) در N است.
، که نماد نگاری "هرم" را که اغلب به صورت آنلاین یافت می شود، توضیح می دهد، که بصری است، اما این پتانسیل را دارد که انتگرال را به عنوان انبوهی از صفحات افقی نشان دهد. این یک مانع بزرگ برای درک تفاوت بین انتگرال Lebesgue و Darboux بود.