تابع کانتور

[rohamavation]

تابع کانتور (Cantor Function) به عنوان یک تابع با رفتار عجیب در ریاضیات برای بیان بسیاری از مثال‌های نقض به کار می‌رود. برعکس یک تابع هموار و پیوسته، تابع کانتور جهش‌های سریع و ناهمواری‌های زیادی دارد و رفتار پیچیده و پر از رمز و راز نشان می‌دهد که پیوسته (Continuous) بوده ولی «مطلقا پیوسته» (Absolute Continuous) نیست. از این جهت که تابع کانتور در ریاضیات مدرن و بخصوص نظریه مجموعه‌ها و نظریه اندازه بسیار کاربرد دارد،.تابع Contour خطوط کانتور را با به هم پیوستن نقاط با ارتفاع یکسان از یک مجموعه داده ارتفاع شطرنجی ایجاد می کند. خطوط خطوط ایزوله هستند که به صورت رستر برای تجسم ایجاد می شوند.
ویژگی های کلیدی زیر این عملکرد را قدرتمند می کند:
خطوط به سرعت و به صورت پویا در مجموعه داده های بسیار بزرگ، مانند ارتفاع جهانی، ایجاد می شوند.
خطوط را می‌توان صاف کرد تا در عین حفظ دقت خطوط، ظاهری زیباتر از نظر نقشه‌کشی ارائه شود.
کنترل دینامیکی بر روی فاصله کانتور ارائه شده است.
گزینه های خروجی شامل خطوط کانتور، خطوط نمایه و خطوط پر شده است.
ایجاد یک لایه کانتور به عنوان یک محصول شطرنجی برای طیف گسترده‌ای از کاربردها ارزشمند است زیرا خطوط را می‌توان بر روی نقشه پوشانده و اطلاعاتی را در مورد زمین ارائه کرد بدون اینکه داده‌های زیربنایی را مبهم کند. آنها در کاربردهایی مانند مهندسی، کشاورزی و مدیریت آب مفید هستند.
خطوط تولید شده توسط این تابع شطرنجی هستند و بنابراین به راحتی برچسب گذاری نمی شوند. برچسب های کانتور در نقشه های دیجیتال اغلب مورد نیاز نیستند، و لایه کانتور اغلب برای دادن زمینه زمین به نقشه ها و تصاویر زیرین استفاده می شود.
خطوط تولید شده از مجموعه داده ارتفاع، شطرنجی با مقدار یک (1) هستند. کانتور شاخص پررنگ دارای مقدار دو (2) است. از Identify برای نمایش مقدار ارتفاع کانتور بر اساس لایه ارتفاع منبع استفاده کنید که ارتفاع کانتور، نقطه، ویژگی های کلیدی و ارتفاعات نقطه را روی نقشه ها و تصاویر برمی گرداند.
فاصله خطوط را می توان به عنوان یک مقدار ثابت تعریف کرد یا با پارامتر Number of Contours پویا تنظیم کرد و به طور خودکار بر اساس نوسانات زمین در نمایشگر تغییر می کند. در حالت پویا، تعداد تقریبی خطوطی که قرار است نمایش داده شوند، تعریف می‌شود و تابع، بازه‌های کانتور مناسب را با حفظ فواصل استاندارد شده مانند 1، 5، 10 و غیره محاسبه می‌کند. تنظیم پارامتر Number of Contours پارامتر Contour Interval را غیرفعال می کند.
وقتی Contour Type روی Contour smooth only تنظیم شده است، لایه ارتفاعی ورودی با استفاده از فیلتر تطبیقی صاف می شود اما خطوطی را ایجاد نمی کند. سپس لایه خروجی صاف شده را می توان صادر کرد و به ابزارهای مختلفی در مجموعه ابزار Raster Surface یا ابزار Contour بردار وارد کرد.
تابع کانتور و خصوصیات آن
تابع کانتور (Cantor Function) و مجموعه کانتور (Cantor Set) هر دو پیچیده و رفتار نامشخصی دارند بطوری که نحوه ساخت هر یک از آن‌ها به شکل‌های گوناگون میسر است. هر چند تابع کانتور همه جا (Everywhere) پیوسته است ولی مشتق آن، تقریبا همه‌جا (Almost Everywhere) صفر است. در ادامه به روشی برای تولید تابع کانتور اشاره خواهیم کرد.
. چنین تابعی را گاهی «تابع لبگ» (Lebesgue Function)، «تابع کانتور-ویتالی» (Cantor-Vitali Function) یا «پلکان شیطان» (Devil’s Staircase) نیز می‌نامند.
cantor function plot
این تابع توسط «گئورگ کانتور» (Georg Cantor)، ریاضیدان آلمانی در سال 1884 طی مقاله‌ای، معرفی شد. این تابع به عنوان یک مثال نقض در مورد «قضیه اساسی حسابان» (Fundamental Theorem of Calculus) به کار گرفته می‌شود. در ادامه متن به همان روشی که جورج کانتور تابع معروف خود را معرفی کرد، گام‌های تولید تابع کانتور را بر می‌داریم.
همانطور که گفته شد، معمولا تابع کانتور را در بازه [0,1] تعریف می‌کنند. به این ترتیب اگر چنین تابعی را با c(x) نشان دهیم، دامنه و برد آن به شکل زیر خواهد بود.$\large c : [0,1] \rightarrow [0,1]$
مشخص است که دامنه و برد این تابع، بازه [0,1] است. برای تعیین یا تعریف تابع کانتور در این بازه، روال زیر را در نظر می‌گیریم.
عدد x را برمبنای یا پایه ۳ نمایش دهید. در نتیجه عدد در دامنه این تابع با ارقام صفر، یک و دو (0,1,2) نمایش داده خواهند شد.
اگر x شامل رقم ۱ بود، تمامی ارقام بعد از آن را با صفر جایگزین کنید.
همچنین تمامی ارقام ۲ که در باقی‌مانده ارقام قرار دارند، را با ۱ جایگزین نمایید.
عدد حاصل را به صورت یک عدد باینری (برمبنای ۲) بخوانید. این عدد همان مقدار تابع کانتور برای x است.
Georg Cantorبرای مثال فرض کنید که مقدار تابع کانتور را در $\frac{1}{4}$
محاسبه کنیم.$\frac{1}{4}$ برمبنای ۳ به صورت 0.02020202
… نوشته می‌شود.
از آنجایی که هیچ رقم ۱ در آن دیده نمی‌شود، گام بعدی را اجرا می‌کنیم.
همه ارقام ۲ در عدد مذکور را به ۱ تبدیل می‌کنیم.عدد حاصل به شکل 0.01010101
در آمده که بیانگر 3/1 برمبنای ۱۰ است. پس $c(\frac{1}{4}) = \frac{1}{3}$
به منظور روشن‌تر شدن موضوع، همین عملیات را برای عدد
1/5 نیز به کار می‌بریم.نمایش عدد 1/5 برمبنای ۳ به صورت 0.01210121…
خواهد بود.همه ارقام بعد از اولین ۱ را به صفر تبدیل می‌کنیم. به این ترتیب حاصل به شکل
0.010000…
درخواهد آمد.از آنجایی که هیچ رقم ۲ در این عدد دیده نمی‌شود، تغییری در عدد حاصل نمی‌شود.
نمایش برمبنای ۲ این عدد به صورت1/4 است. در نتیجه $c(\dfrac{1}{5}) = \frac{1}{4}$
.به این ترتیب می‌توان با توجه به مفهوم «مجموعه کانتور» (Cantor Set)، تابع کانتور را به صورت زیر تعریف کرد.
$\large {\displaystyle c(x) = { \begin{cases}\sum _{ n = 1 }^{ \infty }{\frac { a_{ n } }{ 2^{ n } }} , & x = \sum _{n = 1}^{\infty }{\frac {2 a_{n}}{3^{ n } }} \in {\mathcal {C}}\ \mathrm { for } \ a_{n}\in \{0,1\}; \\ \sup _{y \leq x, \, y \in {\mathcal {C}}} c(y) , & x \in [ 0 , 1 ] \setminus {\mathcal {C}}\\ \end{cases}}}$
رابطه بالا یک فرمول خوش-تعریف (Well-Define) است زیرا بیان هر عدد برمبنای ۳، منحصر به فرد بوده و فقط شامل ارقام ۰ تا ۲ است. از طرفی چون c(0)=0,c(1)=1 تابع c یک تابع یکنوا روی مجموعه کانتور
C است. واضح است که برای هر مقداری مثل $x \in [0,1] \backslash \mathcal{C}$ نیز رابطه 0≤c(x)≤1 برقرار است.
اگر برای همه مقادیر در بازه [0,1
محاسبات گفته شده را اجرا کنیم، به نمودار تابع کانتور خواهیم رسید. در تصویر ۲، نحوه تشکیل نمودار تابع کانتور به نمایش در آمده است. همانطور که می‌بینید، این تابع دارای پرش‌هایی است که در تک نقطه‌هایی با اندازه صفر رخ می‌دهند. بنابراین در عین حال که تابعی پیوسته است، مطلقا پیوسته نیست.
Cantor function animation
تصویر ۲: نمایش تابع کانتور به صورت گام به گام
ویژگی‌های اصلی تابع کانتور
با توجه به ویژگی‌هایی که تعریف تابع کانتور در بر دارد، رفتار آن بسیار متفاوت با توابع معمول و خوش‌تعریف است. در این قسمت به بعضی از خصوصیات جالب تابع کانتور خواهیم پرداخت.
تابع کانتور و پیوستگی مطلق
یکی از ویژگی‌های جالب تابع کانتور، ناپیوستگی مطلق یا نداشتن خاصیت «مطلقا پیوسته» (Absolute Continuity) است. از آنجایی که «اندازه لبگ» (Lebesgue Measure) روی مجموعه‌ نامتناهی شمارش‌ناپذیر کانتور برابر با صفر است، برای هر $0 < \epsilon <1$و δ مثبت، یک دنباله متناهی از زیرفاصله‌های مجزا وجود دارد که مجموع طولشان کمتر از
δ است، ولی مجموع طول تابع کانتور آن‌ها از ϵ بیشتر است. در نتیجه تابع کانتور مطلقا پیوسته نیست.
پس اگر زیرفاصله‌های مجزا را به صورت$(x_k,y_k)$درون [0,1] در نظر بگیریم، برای هر δ>0 اگر داشته باشیم:$\large { \displaystyle \sum \limits _{k = 1}^{M}(y_{k} – x_{k})< \delta }$
آنگاه$\large { \displaystyle \sum \limits _{k = 1}^{M} (c ( y_{k} ) – c ( x_{k} )) = 1 }$
تابع منفرد
تابع کانتور یک نمونه استاندارد از توابع منفرد (Singular Function) محسوب می‌شود. تابعی
f را منفرد می‌گویند اگر دارای خواص زیر باشد:تابع f روی بازه [a,b] پیوسته باشد.
روی مجموعه‌ای از نقاط آن مثل N که دارای اندازه صفر هستند، مشتق‌پذیر بوده ولی در خارج از آن f′(x) موجود نیست. این موضوع بیانگر آن است که تقریبا همه جا (Almost everywhere) مشتق تابع منفرد، صفر است.تابع f در بازه [a,b] ثابت نیست.همانطور که در نمودار مربوط به تصویر ۱ و تعریف تابع کانتور مشاهده کردید، خواص تابع منفرد برای آن برقرار بوده در نتیجه تابع کانتور یک تابع منفرد است.
تابع توزیع تجمعی احتمال
از تابع کانتور به عنوان تابع توزیع تجمعی ۱/۲-۱/۲ در اندازه برنولی (Bernoulli Measure) روی تکیه‌گاه مجموعه کانتور استفاده می‌کنند. در این حالت تابع کانتور به صورت زیر نوشته می‌شود:
$\large c(x) = \mu([0,x])$
این توزیع احتمال، به توزیع کانتور (Cantor Distribution) معروف است و هیچ قسمت گسسته ندارد. همین امر نشانگر آن است که تابع کانتور دارای نقاط ناپیوستگی نیست و نقاط ناپیوستگی در تک نقطه‌ها و با اندازه صفر رخ می‌دهدقضیه اساسی حسابان
در حساب دیفرانسیل و انتگرال (حسابان) قضیه اساسی حسابان که گاهی به آن قضیه اصلی حساب دیفرانسیل و انتگرال (Fundamental theorem of calculus) نیز گفته می‌شود، نقش اساسی در ارتباط بین مشتق و انتگرال ایفا می‌کند.در این قضیه، بیان می‌شود که اگر تابع f انتگرال‌پذیر باشد و F پادمشتق آن در نظر گرفته شود که پیوسته است، آنگاه:
$\large \int_a^b f(x) dx = F(b) – F(a) , \; \; F'(x) =f(x)$
در حالیکه برای تابع کانتور چنین چیزی برقرار نیست. در حقیقت از آنجایی که تابع کانتور برای هر نقطه‌ای که متعلق به مجموعه کانتور نباشد، مقدار ثابتی دارد، می‌توان یک خط موازی محور افقی برایش ترسیم کرد. به این معنی که مشتق در آن نقطه برابر با صفر است. از آنجایی که این اتفاق به جز در نقطه‌هایی با اندازه صفر، رخ می‌دهد می‌گوییم مشتق تابع کانتور تقریبا همه جا (Almost Everywhere) صفر است.
ولی از طرفی این تابع در بازه‌هایی متعلق به مجموعه کانتور دارای پرش عمودی است در نتیجه مشتق در چنین وضعیتی وجود ندارد یا بی‌نهایت است. بنابراین باید قضیه اصلی حسابان را برای توابع تقریبا همه جا مشتق‌پذیر و مطلقا پیوسته به کار برد.تعریفی دیگر برای تابع کانتور
در این قسمت با تعریف دنباله‌ای از توابع {fn} در بازه [0,1] که به سمت تابع کانتور میل می‌کند، گزاره دیگری برای مشخص کردن تابع کانتور معرفی می‌کنیم.
اولین جمله دنباله را به صورت$f_0(x) = x$ انتخاب می‌کنیم. به این ترتیب برای هر عدد صحیحی مثل n≥0 تابع یا عضو بعدی دنباله به صورت زیر تعریف می‌شود.
اگ$0 \leq x \leq \frac{1}{3}$ آنگاه $f_{n+1}(x) = \frac{1}{2} \times f_n(3x)$
اگر $\frac{1}{3} \leq x \leq \frac{2}{3}$
آنگاه $f_{n+1}(x) = \frac{1}{2}$همچنین برای مقادیری که در بازه $\frac{2}{3} \leq x \leq 1$ هستند دنباله تابع به شکل $f_{n+1} = \frac{1}{2}+\frac{1}{2} \times f_n(3x-2)$
خواهد بود.تعریف ارائه شده در نقاط انتهایی $\frac{2}{3}$و$\frac{2}{3}$
سازگار است، زیرا به کمک استقرا برای n می‌توان نشان داد که fn(0)=0 و fn(1)=1 است.
چیزی که باید مورد بررسی قرار گیرد، همگرایی نقطه به نقطه برای fn به تابع کانتور است که در تعریف قبلی ارائه شد.
با توجه به تعریف جدید برای دنباله توابع می‌توان روابط زیر را در نظر گرفت.
$\large \max_{x \in [0, 1]} |f_{n+1}(x) – f_n(x)| \le \frac 1 2 \, \max_{x \in [0, 1]} |f_{n}(x) – f_{n-1}(x)|, \quad n \ge 1$
حد دنباله fn‌در نظر گرفته شود، آنگاه برای هر n≥0 خواهیم داشت:$\large \max_{x \in [0, 1]} |f(x) – f_n(x)| \le 2^{-n+1} \, \max_{x \in [0, 1]} |f_1(x) – f_0(x)|$