مفهوم بينهايت


مفهوم بينهايت

نوشتهاز سوی Mathematician در سه شنبه 29 خرداد 1386 - 00:43

هرمز پگاه در بحث مستطاب اثبات ناپذیری وجود در قسمت فلسفه و متافیزیک نوشته است:...میتوان گفت كه اگر بینگاریم كه مثلاً پول بی پایانی در جهان هست،
یك شمار پایاندار از پولدار ها میتوانند وجود داشته باشند كه هر كدام دارای
پول بی پایان باشند، چرا كه بینهایت بخش بر دو هم باز بینهایت است و
بینهایت ضربدر 2 هم باز بینهایت!!


این موضوع که یک بینهایت تنها می تواند به تعدادی متناهی بینهایت افراز شود یک دیدگاه عامیانه نسبت به بینهایت است. یک بینهایت را می توان به بینهایت زیرمجموعه ی هم توان خودش افراز نمود.

دو مجموعه را همتوان گوئیم اگر تابعی یک به یک و پوشا میان انها وجود داشته باشد. به این صورت هر مجموعه ای که همتوان با مجموعه ی اعداد طبیعی باشد را اصطلاحاً "شمارا" یا "شمارش پذیر" می گوئیم.

تعریف: مجموعه ای را نامتناهی گوئیم اگر با یک زیر مجموعه ی سره (محض) خود همتوان باشد.

قضیه: مجموعه اعداد گویا شمارش پذیر است (یعنی همتوان با زیر مجموعه ی سره ی خود یا همان اعداد طبیعی است).

حال بیشمار زیر مجموعه ی نامتناهی از اعداد گویا می سازیم:

کد: گزینش همه
{1,2,3,4,...}
{1+(1/2), 2+(1/2), 3+(1/2),...}
{1+(1/3), 2+(1/3), 3+(1/3),...}
.
.
.
{1+(1/n), 2+(1/n), 3+1/n),...}

یا افراز مجموعه اعداد گویا میان هر دو عدد صحیح که به وضوح تعدادی شمارای نامتناهی افراز است.

بدیهی است که مجموعه های نامتناهی غیر همتوان با مجموعه اعداد طبیعی نیز وجود دارند:

قضیه: محموعه اعداد حقیقی ناشمارا است.
غم اين خفته ی چند
خواب در چشم ترم می شکند!
نماد کاربر
 
سپـاس : 1

ارسـال : 168


شهر: Urbana
نام نویسی: 85/11/5

ذکر نشده

نوشتهاز سوی ADMIN در سه شنبه 29 خرداد 1386 - 13:19

جالب بود. ممنون
موجیم که آسودگی ما عدم ماست

ما زنده به آنیم که آرام نگیریم ...
نماد کاربر
مدير کل

مدير کل
 
سپـاس : 1128

ارسـال : 2337


سن: 36 سال
نام نویسی: 84/2/24

مرد

نوشتهاز سوی Mathematician در چهارشنبه 30 خرداد 1386 - 00:31

admin نوشته است:جالب بود. ممنون


خواهش می کنم.

مفهوم بینهایت یکی از مفاهیم مهم ریاضیات بوده و امروزه بدون این مفهوم چیز چندانی از ریاضیات باقی نیست. مهمترین قضیه در این زمینه شاید همین قضیه ی کانتور (مجموعه اعداد حقیقی ناشمارا است) باشد. این قضیه نخستین قضیه ای بود که نشان می داد اگرچه مجموعه اعداد طبیعی و مجموعه اعداد حقیقی هر دو بینهایت تعداد عضو دارند، اما این دو بینهایت یکی نیستند و در واقع مجموعه اعداد حقیقی بینهایت بزگتری عضو دارد.

تصور می کنم که عمده ی بحث بینهایت بر مفهوم تابع آن هم مفهوم تابع یک به یک و پوشا - که اصطلاحاً "تناظر یک به یک" خوانده می شود - ساخته شده باشد. لذا به فرض آگاهی از این مفهوم، به سادگی می توانیم در همینجا کل مفهوم را به گونه ای ساده توصیف نمائیم.

برای بررسی انواع بینهایت، مفهومی معرفی می شود به نام "عدد اصلی" یا "عدد کاردینال" تا تمایز میان بینهایت ها را نشان دهند. برای یک مجموعه متناهی، عدد اصلی برابر با تعداد اعضای آن. برای مجموعه اعداد طبیعی عدد اصلی را با نمادی شبیه N و اندیس صفر نشان می دهد که اصطلاحاً "الف-صفر" گفته می شود. بنا بر این عدد اصلی مجموعه اعداد زوج، محموعه اعداد فرد، محموعه ضرایب 5، مجموعه اعداد گویا، مجموعه اعداد جبری (مجموعه اعدادی که صفر های یک چندجمله ای با ضرایب گویا هستند) همان الف-صفر است. اما عدد اصلی مجموعه اعداد حقیقی، مجموعه اعداد متعالی (اعدادی حقیقی که جبری نیستند)، مجموعه اعداد مختلط و ... به صورت الف-یک خوانده می شود و الف-یک از الف-صفر بزرگتر فرض می شود.

تعریف: به مجموعه همه ی زیر مجموعه های یک مجموعه، مجموعه ی توانی آن مجموعه می گوئیم.

قضیه: عدد اصلی مجموعه ی توانی یک مجموعه از عدد اصلی خود آن مجموعه بزرگتر است.

قضیه: بزرگترین عدد اصلی وجود ندارد (یعنی بزرگترین بینهایت وجود ندارد و یا به عبارت دیگر هر بینهایتی که در نظر بگیرید، بینهایتی از آن بزرگتر می توان فرض کرد).
برهان (برهان خلف): فرض کنیم چنین نباشد، در این صورت بزرگترین عدد اصلی را مثلاً h می نامیم. در این صورت مجموعه ی H به نحوی وجود دارد که h عدد اصلی آن است. بنا بر قضیه، مجموعه ی توانی H که با (P(H نشان می دهند دارای عدد اصلی بزرگتر از h خواهد بود (بنا بر قضیه) پس فرض خلف باطل است و لذا بزرگترین عدد اصلی وجود ندارد.
غم اين خفته ی چند
خواب در چشم ترم می شکند!
نماد کاربر
 
سپـاس : 1

ارسـال : 168


شهر: Urbana
نام نویسی: 85/11/5

ذکر نشده


بازگشت به رياضيات در فيزيك

چه کسی هم اکنون اینجاست ؟

کاربرانی که در این تالار هستند: بدون کاربران عضو شده و 5 مهمان