بخش كردن ِ همآهنگ(هارمُنيك) يك پاره خط و دايره آپُلُنيوس

خروش

كنون كه دانستيم وات هاي(حرف هاي) "پ" و "ل" در نام آپُلُنيوس مانند "پُرتغال" و "لُر" و نه مانند "پوشه" و "لوله"
خوانده مي شوند، و از آنجا كه نمايش " ُ " در اينجا با فاصله همراه است، از نوشتن " ُ " چشم پوشي كرده و نام اين
دانشمند يوناني را "آپلنيوس" مينويسم.

خروش

2- چگونه نيمساز دروني و بيروني يك زاويه مثلث، ضلع روبروي ِ
آن را همآهنگ بخش مي كنند

در يك مثلث، هر نيمسازي ضلع روبرو را به نسبت دو ضلع ديگر بخش مي كند.

نسبت دو ضلع ديگر: AP/BP=k

نخست به نيمساز زاويه دروني APB> مي پردازيم و
از نقطه B خطي موازي PC مي كشيم تا امتداد خط AP را در نقطه E ببُرد.

1>= 3> چون PC نيمساز است

1>= 5> و
3>= 6>
در نتيجه
6>= 5> و ازآنجا در مثلث BPE ، ضلع هاي BP و PE با هم برابرند:
BP = PE
در مثلث ABE ، خط PC موازي است با ضلع BE ِ مثلث:

و به همينگونه براي نيمساز بيروني PD داريم:

از رابطه (1) و (2) داريم:

واين يعني كه نيمساز هاي دروني و بيروني گوشه (زاويه) ِ P خط AB را
در دو نقطه C و D قطع مي كنند.
بدين گونه اين دو نقطه خط AB را همآهنگ(هارمنيك)
بخش (تقسيم) كردند.

از معادله (3) پيداست كه اين معادله به جايگاه P ناوابسته هست.

مي دانيم 180= 4>+2>+1>+3>
و از آنجا كه 1>=3> و 4> = 2> مي توان نوشت:
180= 2> *2 +1> *2 و
180= (2>+1>) *2 و

90= 2>+1> (4)

در اينجا ما به دو نكته مهمي دست يافتيم، نخست اينكه معادله (3) به جايگاه P
ناوابسته است، دوم اينكه زاويه روبروي پاره خط CD هميشه 90 درجه است و اين
بر پايه قضيه تالس يعني اينك نقطه P روي دايره به قطر CD قرار دارد.

خروش

3-دايره آپلنيوس

حدود 200 سال پيش از ميلاد، آنچه را ما در بالا بدست آورديم، آپلنيوس چنين بيان كرد:
مكان هندسي نقاطي كه فاصله شان از دو نقطه ثابت A و B نسبت ثابت
k است، دايره ايست با قطر CD
C و D خط AB را همساز به نسبت k بخش مي كنند.
براي كساني از شما خوانندگان اين پست، كه خواهان احساس و درك بيشتر از دايره هاي
آپلنيوس هستند دو لينك مي آورم.با اين برنامه ها كه به زبان جاوا نوشته شده،
براي نمونه مي توان با تغيير مقدار ثابت k تغييرات دايره را دنبال كرد.

http://www.hirnwindungen.de/wunderland/ ... kreis.html

http://www.landshut.org/bnla06/HLG/alt/ ... nius1.html

اگر در بخش كردن همآهنگ پاره خط به نسبت k ، اندازه k تغيير كند چه پيش خواهد آمد؟
براي هرمقدار k ما يك جفت ِ C و D ديگري و از آنجا دايره آپلنيوس ديگري براي نقاط
A و B خواهيم داشت. هرچه k به 1 نزديك تر شود دايره ها بزرگتر
مي شوند.
براي k =1 دايره ما به يك خط، خطي كه ايستار نيم بُر(عمود منصف )
AB است، تبديل مي شود.
مي دانيم كه مي توان خط را، بعنوان دايره اي با شعاع بي پايان در نظر گرفت.

براي اندازه اي از k كه كوچكتر از 1 هستند، دايره هاي بدست مي آيند
كه در يك سوي ايستار نيم بُر(عمود منصف ) ، و براي مقادير k بزرگتر از 1 اين دايره ها
در سوي ديگرايستار نيم بُر(عمود منصف ) قرار مي گيرند.

عكس بالا را از
http://www.math.unibas.ch/~walser/insti ... is.doc.pdf
برداشتم. اگر عكس مناسب تري يافتم، جايگزين عكس بالا مي كن.

و يا عكس زير كه گرچه مانند عكس پيشين هنري نيست، اما به هندسه
نزديكتر است:

از برسي دايره هاي كه عمود به دايره هاي آپلنيوس هستند و در پيوند با آن
از برسي خطوط ِ پتانسيل در اين جا چشم پوشی مي شود. تنها با آوردن
اين قضيه بسنده مي كنيم كه هر دايره اي كه AB وتر آن باشد، بر دايره هاي
آپلنيوس عمود مي باشد.

خروش

اينك با اين پيش زمينه حل تمرين زير بايد آسان باشد.
بنمايه اين تمرين را دانسته، نخست از شما پنهان مي كنم،
اما سرانجام پس از آنكه حل كرديد (اينبار نوبت شماست)
آن را خواهم نوشت.

آزاده و همايون مي خواهند تعطيلات را در كنار دريا بگذرانند.
آنان همانند شكل زير، بر روي ساحل جاي مي گيرند.

درست در آن هنگام كه آزاده سرگرم ساختن برج شني است،
همايون در سر خيال ويران كردن آنرا دارد.
آزاده نخست برج شني را درست ميكند و به جايگاه خود باز ميگردد.
كنون همايون را تلاش بر آن است از جايگاه خود با توپ فوتبال،
برج شني را بزند. توپ با سرعت ثابت 12 m/s در مسير خطي
در حركت است. همزمان با زدن توپ، آزاده با سرعت ثابت 4 m/s
مي دود تا جلوي توپ را بگيرد.
تلاش كنيد، نخست مكان هاي از ساحل را پيدا كنيد كه آزاده بتواند بدون
دغدغه و هراس از ويراني، برج شني خود را در آنجا بسازد (چون بهنگام مي تواند جلوي توپ را بگيرد)!
سپس همه آن قلمرويي را، پيدا كنيد، كه آزاده مي تواند از برج خود دفاع كند.

a.gh.n

خروش

4 - آپُلُنيوس كي بود

آپُلُنيوس (Apollonius يا Apollonios ) از شهر پرگه Perge يا Perga ِ يونان
(اكنون : مورتينا، آنتاليا، تركيه)

در سال 262 پيش از ميلاد در شهر پرگه زاده شد و در سال 190 پيش از ميلاد در اسكندريه
در گذشت.

آپلنيوس هندسه دان بزرگ و پر آوازه اي بود.
از زندگي آن چندان آگاه نيستيم. اما آثار او تاثير زيادي
بر پيشرفت رياضيات داشتند. بويژه كتاب اصلي و معروف آن كُنيكا
('Conica' يا 'Konika' ) ، كه گردآوري دانش هندسه آن زمان و افزون بر آن
نتايج بدست آورده خودش را در بر مي گيرد، برايمان باز مانده است.
مفهوم هاي مقاطع مخروطي هذلولي، سهمي و بيضي
( Ellipse= ellipse ، Parabel= parabel ، Hyperbel= hyperbola )
نيز از آن او و از اين كتاب آمده است.

بنمايه ها:
http://www.mathematik.ch/mathematiker/apollonius.php
http://www.matheraetsel.de/texte/kegelschnitt1.pdf

a.gh.n

فک می کنم شکل از بی نهایت دایره ی آپولونیوس تشکیل بشه.
الآن که خیلی خوابم، ولی احتمالا" تا فردا بفهمم چی شد!
ادیت----------------------
بهتر بود به جای بی نهایت دایره آپولونیوس می گفتم "یک دایره آپولونیوس + ناحیه ی درون)

خروش

a.gh.n نوشته شده:

آفرين بر شما a.gh.n،

اكنون مانده است كه اندازه شعاع MP دايره و
فاصله همايون تا مركز دايره HM حساب كنيد:

a.gh.n

a.gh.n

آزاده می تونه قلعه شنیش رو تو کل ناحیه ی نارنجی بسازه تا از شر همایون خلاص شه!

حداکثر قمروش هم محیط دایره است که اگه یه خورده قدرت لنگ پرانی داشته باشه، (والبته پوشش اجازه بده!) رو محیط هم از پس همایون بر میاد!)
شرمنده اگه جواب درست نبود!

خروش

- اندازه هاي دايره آپلنيوس را درست درآورديد. دست مريزاد.
- به پاسخ اين تمرين كه نگاه كردم شكل زير با توضيحي
كه زيرآن برگردانش را مي آورم، گسترش داده پاسخ شماست.

"آزاده زودتر از توپ به همه نقطه هاي درون دايره مي رسد (اين همان است كه شما هم نشان داديد)
اما افزون بر آن، نقطه هاي ديگري كه نارنجي رنگ شده اند، نيز جا هاي مطمئني هستند. زيرا آزاده
جلوي توپ نابكار را كه در مسير خود، دايره را بهر روي قطع مي كند، بموقع خواهد گرفت."

نظر شما چيست؟
در ضمن رنگ نارنجي شما رنگ و رفته است.

بنمايه:
http://www.math.uni-goettingen.de/zirke ... index.html

a.gh.n

نظر شما چيست؟

آقا دختر مردم را می زنه داغون می کنه!
این کارای غیر اخلاقی چیه آخه؟!

در ضمن رنگ نارنجي شما رنگ و رفته است. Wink

از دیدن این دو تا رنگش پریده! (شایدم تو آب دریا وایتکس ریختن!)

خروش

5- سليندر فلزي در ميدان يك بار خطي

يك سليندر فلزي در ميدان ِ بار خطي ِ همگني كه موازي محور آن است، قرار دارد (شكل زير).

همه ميدان الكتريكي در بيرون سليندر فلزي را ميتوان
بعنوان ميداني در نظر گرفت كه از بار خطي q در بيرون سليندر و از
تصوير اين بار q- در درون سليندر بدست مي آيد. حاصل ضرب فاصله
آنها از محور سليندر برابر است با مربع ِ شعاع سليندر.

اثبات:
نخست پتانسيل اين دو بار خطي را مي نويسيم:

و در اينجا:

و

و بر روي سليندر داريم:

بنابراين اندازه r2/r1 و از آنجا نيز پتانسيل φ برروي سليندر ثابت است.
در هندسه، مكان هندسي نقاطي كه همانند شكل بالا نسبت ثابت r1/r2 نشان مي دهند،
دايره آپلنيوس است.

و پس از مشتق گيري و برابر نهادن آن با صفر، معادله (1) بالا بدست مي آيد.

در اينجا بر آن نبودم كه مبحث پيچيده تئوري ميدان ها (امواج الكترومغناطيسي)
برسي كرده و به بحث بگذارم. تنها خواستم يكي از كاربرد هاي دايره آپلنيوس را، دايره كه
بيش از 2200 سال پيش در آن باره سخن رانده شد، نشان دهم.

----------------------------------------------
بنمايه:

Feldtheorie از Lehner
ISBN:3-540-52319-7 (Berlin...)
ISBN:0-387-52319-7 (New York (

سيد محمد

جناب خروش عذر ميخوام ولي شما اندكي در طرح مسءله ناوارديد لطفا با عرض معذرت(شايد غلط باشه) ميشه منبع مسءله رو بگين تا من لااقل بهتر بفهمم.مطمءن هم هستم كه مشكل از مدارات من نيست.

خروش

سيد محمد نوشته شده:جناب خروش عذر ميخوام ولي شما اندكي در طرح مسءله ناوارديد لطفا با عرض معذرت(شايد غلط باشه) ميشه منبع مسءله رو بگين تا من لااقل بهتر بفهمم.مطمءن هم هستم كه مشكل از مدارات من نيست.

آقاي سيد محمد،

منظور شما از پستي است كه با "5- سليندر فلزي در ميدان يك بار خطي"
آغاز مي شود؟